2018-2019学年江苏省邗江中学高二上学期期中考试数学试题（Word版）

2018-2019学年江苏省邗江中学高二上学期期中考试数学试题（Word版）

江苏省邗江中学2018-2019学年度第一学期 高二数学期中试卷 命题人：管永建 说明：本试卷分填空题和解答题两部分,共160分,考试用时120分钟. ‎ 第Ⅰ卷（填空题 共70分）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1.命题“，”的否定是 ▲ ．‎ ‎2.函数在点处切线的斜率为 ▲ ．‎ ‎3.若双曲线的焦距为,则其离心率 ▲ ．‎ ‎4.函数的单调减区间为 ▲ ． ‎ ‎5. 已知圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，则该圆的方程为 ▲ ．‎ ‎6. “”是“”成立的 ▲_ 条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）‎ ‎7.抛物线上的点到焦点的距离为5，为坐标原点，则 ▲ ．‎ ‎8. 已知抛物线的准线经过双曲线的右顶点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．‎ ‎9.已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上．直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 ▲ ．‎ ‎10. 若函数在区间上有极小值，则实数的取值范围为 ▲ ．‎ ‎11.已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，点A是椭圆的右顶点，O为坐标原点，若椭圆上的一点M满足MF1⊥MF2，|MA|=|MO|，则椭圆的离心率为_____ ▲ _．‎ ‎12. 已知直线，分别与直线和曲线交于点M,N两点，则线段MN长度的最小值是 ▲ ．‎ ‎13．在平面直角坐标系中，点Q为圆上的一动点，直线与直线相交于点P,则当实数k变化时，线段PQ长的最小值是 ▲ ．‎ ‎14.已知函数，（为自然对数的底数），若使得函数有三个零点，则m的取值范围是 ▲ ．‎ 第Ⅱ卷（解答题 共90分）‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15.（本题满分14分）‎ 已知直线.‎ ‎（1）求过点且与直线平行的直线方程；‎ ‎（2）若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数的取值范围.‎ ‎16.（本题满分14分）‎ 已知命题：方程表示圆；命题：方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎（1）若命题为真命题时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎17.（本题满分14分）‎ 已知圆一动直线过与圆相交于两点，是的中点，与直线相交于 ‎（1）当时，求直线的方程；‎ ‎（2）探索是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.‎ ‎18.（本题满分16分）‎ 一个创业青年租用一块边长为‎4百米的等边△ABC田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在BC上．规划在小路MN与AP的交点O（O与M、N不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口（小路的宽度不计）．为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON段的建造费用为每百米3万元．‎ ‎（1）若拟修的小路AO段长为百米，求小路ON段的建造费用；‎ ‎（2）设∠BAP＝，求cos的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．‎ ‎19.（本题满分16分）‎ 如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若，求直线的方程；‎ N D M C B A y x O ‎（第19题图）‎ ‎（3）求证：为定值． ‎ ‎20.（本题满分16分）‎ 已知函数．‎ ‎(1)求过点的的切线方程;‎ ‎(2)当时,求函数在上的最大值;‎ ‎(3)证明:当时,不等式对任意均成立(其中为自然对数的底数,)．‎ 江苏省邗江中学2018-2019学年度第一学期 高二数学期中试卷 参考答案 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1. ，．2. 3.，4. 如写成也正确 ‎5. 6.必要不充分 7. 8. ‎ ‎ 9. 10. 11. 12.13．2 ，14.‎ ‎15.解：（1)与直线平行的直线的斜率为， ……………………2 分 因为点在该直线上，‎ 所以所求直线方程为， ……………………4 分 即直线方程为. ……………………6 分 ‎（2）直线与两坐标轴的交点分别为，… …8分 则所围成的三角形的面积为， …………10 分 ‎ 由题意可知，‎ 化简得， ‎ 解得或，‎ 所以实数的取值范围是. ……………………14 分 ‎16.解：‎ ‎（1）若命题为真命题时，‎ 则由方程 即表示圆， ……………………2 分 ‎∴解之得 ……………………4 分 ‎∴ ……………………6 分 ‎（2）由成立得 ……………………8 分 ‎∴，‎ 若是的必要不充分条件，则， ……………………10 分 ‎∴ ……………………12 分 解之得 ‎∴ ……………………14 分 ‎17.解：（1）①当直线与轴垂直时，易知符合题意……… 1分 ‎②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为 则由，得 ……… 4分 ‎ ……………………5 分 综上，所求的直线的方程为………6分 ‎(2)‎ 当直线与轴垂直时，易得，‎ 则 ‎……… 8分 ‎②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为 ‎ 则由，得， ……………………12 分 则 综上，与直线的斜率无关，因此与倾斜角也无关，‎ 且………14分 ‎18.解（1）在△AOM中，‎ ‎ ∴ …………………2 分 ‎ 化简得：‎ ‎ ∵＞0，∴＝1， …………………4 分 则，3×1＝3‎ ‎ 答：小路ON段的建造费用为3万元． ……………………6 分 ‎ （2）由正弦定理得：‎ ‎ 则，‎ ‎ ‎ ‎……………………9 分 设小路AO段与ON段的建造总费用为 则， ……………………11 分 ‎，若满足，且，‎ 列表如下：‎ ‎(，)‎ ‎(，)‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎﹢‎ 则当＝时，有极小值，此时也是的最小值 ‎∴ ……………………15 分 答：当cos，小路AO段与ON段的建造总费用最小．……16 分 N D M C B A y x O ‎（第19题图）‎ ‎19.解（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.‎ 得 解得 ……………………2 分 所以，椭圆的标准方程为. …………………4分 ‎（2）由（1）知，设，‎ 因为，得，所以， ………………6 分 代入椭圆方程得或，所以或，‎ 所以的方程为：或. ……………9 分 ‎（3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线的方程， ‎ 联立椭圆方程得：解得,. ……12 分 由，得直线BD的方程：， ①‎ 直线AC方程为， ②‎ 联立①②得， ………………………………15 分 从而=2为定值. ……………………………16 分 解法2：设D坐标为(x3，y3），‎ 由C,M,D三点共线得，所以， ① ………………10 分 由B,D,N三点共线得，将 代入可得 ‎， ② ……………………………12 分 ‎ ①和②相乘得，‎ ‎. …………………………16 分 ‎20.解：‎ ‎(1)设切点坐标为,则切线方程为,‎ 将代入上式,得,‎ ‎∴切线方程为; ……………………3 分 ‎(2)当时,,‎ ‎∴, ……………………4 分 当时,,当时,,‎ ‎∴在递增,在递减, ……………………6 分 ‎∴当时,的最大值为;‎ 当时,的最大值为; ……………………8 分 ‎(3)可化为,‎ 设 ‎,要证时对任意均成立, ‎ 只要证,下证此结论成立． ……………………9 分 ‎∵,∴当时,,‎ 设,则,∴在递增, …11 分 又∵在区间上的图象是一条不间断的曲线,且,‎ ‎∴使得,即, ……13 分 当时,;当时,;‎ ‎∴函数在递增,在递减,‎ ‎∴,‎ ‎∵在递增,∴,‎ 即,‎ ‎∴当时,不等式对任意均成立．‎ ‎ ……………………16 分