2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学（理）试题

‎2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试卷 （理科）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）‎ ‎1. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2．抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知双曲线的离心率为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知是椭圆上一点，是其左、右焦点，若，则的面积为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知抛物线：，过点的直线交抛物线于,若为坐标原点，则直线 的斜率之积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 如果满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9． 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）‎ A. B. C. 3 D. 2‎ ‎12．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）‎ 二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．双曲线的实轴长为 ．‎ ‎14．已知双曲线：，若直线交该双曲线于两点，且线段的中点为点,则直线的斜率为 ．‎ ‎15.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则 ．‎ ‎16. 已知椭圆：，点与的焦点不重合，若关于的两焦点的对称点分别为 ‎，，线段的中点在上，则 ．‎ 三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知圆经过点 且圆心在直线上．‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线截圆所得弦长为 ，求直线的方程．‎ C B A D C1‎ A1‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，‎ ‎，，是棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线 的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围.‎ P D B C A E F ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，‎ 底面，分别为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，试问在线段上是否存在点，使得二面角 的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为 短轴两个端点为且四边形是边长为的正方形．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足 ‎，连接，交椭圆于点．证明：为定值．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 如图，抛物线：与椭圆：‎ 在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线交于、 两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 数学答案 （理科）‎ 一．选择题 ‎1-6 DCBBCD 7-12 ACBDAB 二．填空题 ‎13.4 14. 15.4 16.16‎ 三．解答题 ‎17. （Ⅰ） 设圆心 ．‎ 所以 ，圆 的方程为 ． ……………4分 ‎ （Ⅱ） 若直线 的斜率不存在，方程为 ，此时直线 截圆所得弦长为 ，符合题意；‎ 若直线 的斜率存在，设方程为 ，即 ．‎ 由条件知，圆心到直线的距离 ‎ ‎ 直线 的方程为 ．‎ 综上，所求方程为 或 ． ……………10分 ‎18. 不妨设，则，‎ ‎（Ⅰ ）因为是中点，所以,从而，故，‎ 又因为侧棱垂直于底面， ，所以，‎ ‎，‎ ‎ ; ……………6分 ‎ （Ⅱ）以如图，以为原点，为轴正向建立空间直角坐标系，‎ 则 所以直线与所成角的余弦值是 ……………12分 ‎19. 解：（Ⅰ）由题意知，‎ ‎.又双曲线的焦点坐标为，，‎ 椭圆的方程为. ……………4分 ‎（Ⅱ）若直线的倾斜角为，则，‎ 当直线的倾斜角不为时，直线可设为，‎ ‎，由 ‎ ‎ ‎ 设，，……………6分 ‎ ……………8分 ‎ ……………10分 ‎，综上所述：范围为 ……………12分 ‎20. 证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF，MA在ΔCPD中，F为PC的中点，‎ ‎,且MF=，正方形ABCD中E为AB中点， 且AE=，‎ 且，故：EFMA为平行四边形， ……2分 又EF平面PAD，AM平面PAD EF//平面PAD ……4分 ‎（Ⅱ）如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系：‎ ‎，，，，‎ 由题易知平面PAD的法向量为， ……6分 假设存在Q满足条件：设，，‎ ‎，，，‎ 设平面PAQ的法向量为，‎ ‎ ……10分 ‎，由已知：‎ 解得：，所以：满足条件的Q存在，是EF中点。 ……12分 ‎21.（Ⅰ）由题意得 ，所以 ，，‎ 所以所求的椭圆方程为 ． ……………4分 ‎（Ⅱ） 由（1）知，，．由题意可设 ，‎ 因为 ，所以 ． ……………6分 由 整理得 ，因为 ，‎ 所以 ， ……………8分 所以 ，， ……………10分 所以 ．‎ 即 为定值 ． ……………12分 ‎22. 解: (Ⅰ)因为的面积为,所以， ……………2分 代入椭圆方程得， 抛物线的方程是： ……………4分 ‎（Ⅱ）显然直线不垂直于轴，故直线的方程可设为，‎ 与联立得.‎ 设,则 ‎.……………6分 由直线OC的斜率为 ‎,故直线的方程为，与联立得 ‎，同理，‎ 所以 ………8分 可得 要使，只需 ………10分 即 解得，‎ 所以存在直线: 符合条件 ………… 12分 ‎ ‎