数学卷·2018届天津市宝坻区林亭口高中高二上学期第一次质检数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届天津市宝坻区林亭口高中高二上学期第一次质检数学试卷 （解析版）

2016-2017 学年天津市宝坻区林亭口高中高二（上）第一次质检 数学试卷 　 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，每题只有一个正确答案） 1．若一个几何体的三视图都是三角形，则这个几何体可能是（　　） A．圆锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱台 2．若经过（a，﹣3）和（1，2）两点的直线的倾斜角为 135°，则 a 的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．4 3．一个体积为 8cm3 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（　　） A．8πcm2 B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2 4．如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）则该几何体的表面积和体积分别为 （　　） A．24πcm2，12πcm3 B．15πcm2，12πcm3 C．24πcm2，36πcm3 D．以上都不正确 5．已知直线 a、b 与平面 α、β、γ，下列条件中能推出 α∥β 的是（　　） A．a⊥α 且 a⊥β B．α⊥γ 且 β⊥γ C．a⊂α，b⊂β，a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β 6．如图所示，平面 α∩平面 β=l，A∈α，B∈α，AB∩l=D，C∈β，C∉l，则平面 ABC 与平面 β 的交线是（　　） A．直线 AC B．直线 AB C．直线 CD D．直线 BC 7．如图是某平面图形的直观图，则原平面图形的面积是（　　） A．4 B．2 C．4 D．8 8．PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面，C 为圆周上除 A、B 外的任意一点，下列不成立 的是（　　） A．PC⊥CB B．BC⊥平面 PAC C．AC⊥PB D．PB 与平面 PAC 的夹角是∠BPC 9．下列命题中错误的是（　　） A．如果平面 α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么 l⊥γ B．如果平面 α⊥β，那么平面 α 中一定存在直线平行于平面 β C．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β D．如果平面 α⊥β，那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84π，则 圆台较小底面的半径为（　　） A．7 B．6 C．5 D．3 　 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分） 11．已知 A（3，5），O 为坐标原点，则与 OA 垂直的直线斜率为　　． 12．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一个球面上， 则这个球的表面积是　　． 13．空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点． ①若 AC=BD，则四边形 EFGH 是　　； ②若 AC⊥BD，则四边形 EFGH 是　　． 14．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是　　． 15．以下四个命题中，不正确的有　　． ①直线 a，b 与平面 α 成等角，则 a∥b； ②两直线 a∥b，直线 a∥平面 α，则必有 b∥平面 α； ③一直线与平面的一斜线在平面 α 内的射影垂直，则必与斜线垂直； ④两点 A，B 与平面 α 的距离相等，则直线 AB∥平面 α 　 三、解答题（本题共 60 分，写出必要的文字说明或步骤） 16．已知几何体的三视图如图， ①指出该几何体形状； ②求它的表面积和体积． 17．已知正方方体 ABCD﹣A1B1C1D1 （1）异面直线 BA1 和 CB1 的夹角是多少？ （2）A1B 和平面 CDA1B1 所成的角？ （3）平面 CDA1B1 和平面 ABCD 所成二面角的大小？ （此题写出必要的步骤或说明，画出必要的辅助线） 18．如图所示，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，PA=AD=a． （1）求证：MN∥平面 PAD； （2）求证：MN⊥平面 PCD． 19．如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1= ，D 是 A1B1 中 点． （1）求证 C1D⊥平面 AA1B1B； （2）当点 F 在 BB1 上什么位置时，会使得 AB1⊥平面 C1DF？并证明你的结论． 20．如图正方形 ABCD 中，O 为中心，PO⊥面 ABCD，E 是 PC 中点，求证： （1）PA∥平面 BDE； （2）面 PAC⊥面 BDE． （3）若 PA=PB=PC=PD=AB，求二面角 P﹣AB﹣D 的余弦值． 　 2016-2017 学年天津市宝坻区林亭口高中高二（上）第一 次质检数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，每题只有一个正确答案） 1．若一个几何体的三视图都是三角形，则这个几何体可能是（　　） A．圆锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱台 【考点】简单空间图形的三视图． 【分析】我们可考察圆锥、四棱锥的俯视图，都不符合条件；考察三棱台的侧视图或俯视图 都不符合．据此可判断出答案． 【解答】解：我们知道圆锥的俯视图是一个圆加一个点，故不符合条件，应排除 A； 四棱锥的俯视图是一个四边形加四条线段，不符合条件，应排除 B； 三棱台的侧视图可能是一个梯形，不符合条件，应排除 D． 而一个三棱锥的三视图都是三角形，因此这个几何体可能是三棱锥． 故选 C． 　 2．若经过（a，﹣3）和（1，2）两点的直线的倾斜角为 135°，则 a 的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．4 【考点】直线的倾斜角． 【分析】首先，根据斜率公式得到 k= =tan135°=﹣1，然后，求解 a 的值即可． 【解答】解：根据斜率公式：k= =tan135°=﹣1， ∴1﹣a=﹣5， ∴a=6． 故选：B． 　 3．一个体积为 8cm3 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（　　） A．8πcm2 B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2 【考点】球内接多面体；球的体积和表面积． 【分析】先根据正方体的顶点都在球面上，求出球的半径，然后求出球的表面积． 【解答】解：正方体体积为 8，可知其边长为 2，体对角线为 =2 ， 即为球的直径，所以半径为 ，表面积为 4π 2=12π． 故选 B． 　 4．如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）则该几何体的表面积和体积分别为 （　　） A．24πcm2，12πcm3 B．15πcm2，12πcm3 C．24πcm2，36πcm3 D．以上都不正确 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由已知中的三视图及其尺寸，我们易判断这个几何体是圆锥，且底面直径为6，圆 锥的母线长为 5，代入圆锥的表面积和体积公式，我们易得结论． 【解答】解：由三视图可得该几何体为圆锥， 且底面直径为 6，即底面半径为 r=3，圆锥的母线长 l=5 则圆锥的底面积 S 底面=π•r2=9π 侧面积 S 侧面=π•r•l=15π 故几何体的表面积 S=9π+15π=24πcm2， 又由圆锥的高 h= =4 故 V= •S 底面•h=12πcm3 故选 A． 　 5．已知直线 a、b 与平面 α、β、γ，下列条件中能推出 α∥β 的是（　　） A．a⊥α 且 a⊥β B．α⊥γ 且 β⊥γ C．a⊂α，b⊂β，a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β 【考点】平面与平面平行的判定． 【分析】根据垂直于同一直线的两个平面平行可知选项 A 是否正确；平面与平面垂直的性 质，判断选项 B 的正误，对于选项 C 可知两个平面可能相交，选项 D，若 a 与 b 平行时， 两平面相交，对选项逐一判断即可． 【解答】解：选项 A，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确； 选项 B，α⊥γ，β⊥γ 可能推出 α、β 相交，所以 B 不正确； 选项 C，a⊂α，b⊂β，a∥b，α 与 β 可能相交，故不正确； 选项 D，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，如果 a∥b 推出 α、β 相交，所以 D 不正确； 故选：A 　 6．如图所示，平面 α∩平面 β=l，A∈α，B∈α，AB∩l=D，C∈β，C∉l，则平面 ABC 与平面 β 的交线是（　　） A．直线 AC B．直线 AB C．直线 CD D．直线 BC 【考点】平面的基本性质及推论． 【分析】欲寻找平面 ABC 与平面 β 的交线，根据平面的基本性质中公理三，只须找出这两 个平面的公共点即可． 【解答】解：由题意知，D∈l，l⊂β，∴D∈β． 又 D∈AB，∴D∈平面 ABC， 即 D 在平面 ABC 与平面 β 的交线上． 又 C∈平面 ABC，C∈β， ∴点 C 在平面 β 与平面 ABC 的交线上． 从而有平面 ABC∩平面 β=CD． 故选：C 　 7．如图是某平面图形的直观图，则原平面图形的面积是（　　） A．4 B．2 C．4 D．8 【考点】平面图形的直观图． 【分析】利用三角形面积公式求出直观图的面积，进而根据 =2 ，得到答案． 【解答】解：由已知中的图象可得：直观图的面积为： ×2×2×sin45°= ， 由 =2 ， 可得原图面积为：4， 故选：A 　 8．PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面，C 为圆周上除 A、B 外的任意一点，下列不成立 的是（　　） A．PC⊥CB B．BC⊥平面 PAC C．AC⊥PB D．PB 与平面 PAC 的夹角是∠BPC 【考点】直线与平面垂直的性质． 【分析】由 PA⊥以 AB 为直径的圆所在的平面，可证 A 正确，由圆的性质可得 AC⊥BC， 可得 B 正确，由 B 及线面垂直的性质可得 D 正确． 【解答】解：对于选项 A，由题意可得 AC⊥BC，由 PA⊥以 AB 为直径的圆所在的平面可 知 PA⊥BC， 又 AC∩PA=A，可得：BC⊥平面 PAC， 因为：PC⊂平面 PAC， 所以：BC⊥PC， 故 A 正确， 对于选项 B，由于，BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA=A，可得：BC⊥平面 PAC，故 B 正确， 对于选项 C，假设 AC⊥PB，结合选项 B，可得 AC⊥平面 PBC，则 AC⊥PC，又由于 AC⊥ PA，故 C 不正确， 对于选项 D，利用直线与平面垂直的性质可得 BC⊥PC，故 D 正确， 故选：C． 　 9．下列命题中错误的是（　　） A．如果平面 α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么 l⊥γ B．如果平面 α⊥β，那么平面 α 中一定存在直线平行于平面 β C．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β D．如果平面 α⊥β，那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】A．如果平面 α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，作图，利用线面垂直的判定定理可证得 l⊥γ， 可判断 A 正确； B．令平面 α∩β=l，那么平面 α 中平行于 l 的直线平行于平面 β，可判断 B 正确； C．利用反证法，假设平面 α 内存在直线垂直于平面 β，由面面垂直的判定定理可导出矛盾， 可判断 C 正确； D．如果平面 α⊥β，那么平面 α 内不垂直于交线的直线不垂直于平面 β，可判断 D 错误． 【解答】解：对于 A，若平面 α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l， 设 γ∩α=a，λ∩β=b， 在平面 γ 内作直线 m⊥a，由面面垂直的性质定理知，m⊥α，l⊂α，故 m⊥l； 在平面 γ 内作直线 n⊥b，同理可知，n⊥l，由题意知，m、n 为相交直线，故 l⊥λ，故 A 正 确； 对于 B，如果平面 α⊥β，α∩β=l，那么平面 α 中平行于 l 的直线一定平行于平面 β，故 B 正 确； 对于 C，假设平面 α 内存在直线垂直于平面 β，由面面垂直的判定定理可知，α⊥β， 这与平面 α 不垂直于平面 β 矛盾，故假设不成立，故 C 正确； 对于 D．如果平面 α⊥β，那么平面 α 不垂直于交线的直线不垂直于平面 β，故 D 错误． 综上所述，以上命题错误的是 D， 故选：D． 　 10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84π，则 圆台较小底面的半径为（　　） A．7 B．6 C．5 D．3 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】设出上底面半径为 r，利用圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长 为 3，圆台的侧面积为 84π，求出上底面半径，即可． 【解答】解：设上底面半径为 r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线 长为 3，圆台的侧面积为 84π，所以 S 侧面积=π（r+3r）l=84π，r=7 故选 A 　 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分） 11．已知 A（3，5），O 为坐标原点，则与 OA 垂直的直线斜率为　﹣ 　． 【考点】直线的点斜式方程． 【分析】先求出直线 OA 的斜率，由此能求出与 OA 垂直的直线斜率． 【解答】解：∵A（3，5），O 为坐标原点， ∴直线 OA 的斜率为 kOA= ， ∴与 OA 垂直的直线斜率为 k=﹣ ． 故答案为：﹣ ． 　 12．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一个球面上， 则这个球的表面积是　50π　． 【考点】球内接多面体；球的体积和表面积． 【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求 出球的直径，然后求出球的表面积． 【解答】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一个 球面上， 所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为： ， 所以球的半径为： ；则这个球的表面积是： =50π． 故答案为：50π． 　 13．空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点． ①若 AC=BD，则四边形 EFGH 是　菱形　； ②若 AC⊥BD，则四边形 EFGH 是　矩形　． 【考点】棱锥的结构特征． 【分析】①结合图形，由三角形的中位线定理可得 EF∥AC，GH∥AC 且 EF= AC，GH= AC，由平行四边形的定义可得四边形 EFGH 是平行四边形，再由邻边相等地，得到四边形 EFGH 是菱形． ②由①知四边形 EFGH 是平行四边形，再由邻边垂直得到四边形 EFGH 是矩形． 【解答】解：如图所示：①∵EF∥AC，GH∥AC 且 EF= AC，GH= AC ∴四边形 EFGH 是平行四边形 又∵AC=BD ∴EF=FG ∴四边形 EFGH 是菱形． ②由①知四边形 EFGH 是平行四边形 又∵AC⊥BD， ∴EF⊥FG ∴四边形 EFGH 是矩形． 故答案为：菱形，矩形 　 14．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是　2：1　． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】设圆锥、圆柱的母线为 l，底面半径为 r，求出圆锥、圆柱的侧面积，即可求出比 值． 【解答】解：设圆锥、圆柱的母线为 l，底面半径为 r， 所以圆锥的侧面积为： =πrl 圆柱的侧面积为：2πrl 所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1 故答案为：2：1 　 15．以下四个命题中，不正确的有　①②③④　． ①直线 a，b 与平面 α 成等角，则 a∥b； ②两直线 a∥b，直线 a∥平面 α，则必有 b∥平面 α； ③一直线与平面的一斜线在平面 α 内的射影垂直，则必与斜线垂直； ④两点 A，B 与平面 α 的距离相等，则直线 AB∥平面 α 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】在①中，a 与 b 相交、平行或异面；在②中，b∥平面 α 或 b⊂平面 α；在③中， 当这条直线不在这个平面内时，这条直线与斜线相交、平行或异面，；在④中，直线 AB 与 平面 α 平行、相交或 AB⊂α． 【解答】解：在①中，直线 a，b 与平面 α 成等角，则 a 与 b 相交、平行或异面，故①错 误； 在②中，两直线 a∥b，直线 a∥平面 α，则 b∥平面 α 或 b⊂平面 α，故②错误； 在③中，一直线与平面的一斜线在平面 α 内的射影垂直， 当这条直线在这个平面内时，则必与斜线垂直线， 当这条直线不在这个平面内时，这条直线与斜线相交、平行或异面，故③错误； 在④中，两点 A，B 与平面 α 的距离相等，则直线 AB 与平面 α 平行、相交或 AB⊂α，故④ 错误． 故答案为：①②③④． 　 三、解答题（本题共 60 分，写出必要的文字说明或步骤） 16．已知几何体的三视图如图， ①指出该几何体形状； ②求它的表面积和体积． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（1）由三视图中有两个矩形，一个三角形，可得该几何体是三棱柱； （2）根据棱柱的表面积和体积的计算公式，代入计算，可得答案． 【解答】解：（1）由三视图中有两个矩形，一个三角形，可得该几何体是三棱柱； （2）S 表=2×S 底+S 侧=2× ×1× + =2+2 ； V=S 底 h= =1． 　 17．已知正方方体 ABCD﹣A1B1C1D1 （1）异面直线 BA1 和 CB1 的夹角是多少？ （2）A1B 和平面 CDA1B1 所成的角？ （3）平面 CDA1B1 和平面 ABCD 所成二面角的大小？ （此题写出必要的步骤或说明，画出必要的辅助线） 【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角． 【分析】（1）连结 A1D，BD，由 A1D∥B1C，得∠BA1D 是异面直线 BA1 和 CB1 的夹角， 由此能求出异面直线 BA1 和 CB1 的夹角． （2）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出 A1B 和平面 CDA1B1 所成的角． （3）求出平面 CDA1B1 和的法向量和平面 ABCD 的法向量，利用向量法能求出平面 CDA1B1 和平面 ABCD 所成二面角的大小． 【解答】解：（1）连结 A1D，BD，∵A1D∥B1C， ∴∠BA1D 是异面直线 BA1 和 CB1 的夹角， ∵A1D=A1B=AB， ∴∠BA1D=60°． ∴异面直线 BA1 和 CB1 的夹角是 60°． （2）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为 1， 则 A1（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0）， =（0，1，﹣1）， =（1，0，1）， =（0，1，0）， 设平面 CDA1B1 的法向量 =（x，y，x）， 则 ，取 x=1，得 =（1，0，﹣1）， 设 A1B 和平面 CDA1B1 所成的角为 θ， 则 sinθ= = ，∴θ=30°． ∴A1B 和平面 CDA1B1 所成的角为 30°． （3）平面 CDA1B1 和的法向量 =（1，0，﹣1）， 平面 ABCD 的法向量 =（0，0，1）， 设平面 CDA1B1 和平面 ABCD 所成二面角的大小为 α， 则 cosα= = ． ∴α=45°． ∴平面 CDA1B1 和平面 ABCD 所成二面角的大小为 45°． 　 18．如图所示，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，PA=AD=a． （1）求证：MN∥平面 PAD； （2）求证：MN⊥平面 PCD． 【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）取 CD 的中点 E，连接 NE，ME，可证 NE∥PD，EM∥DA，从而面 NEM∥ 面 PDA，即可证明 MN∥平面 PAD； （2）先证明 MN⊥CD，由 PM=MC，M、N 分别是 AB、PC 的中点，可证 MN⊥PC， CD∩PC=C，从而得证． 【解答】 证明：（1）取 CD 的中点 E，连接 NE，ME， ∵M、N 分别是 AB、PC 的中点， ∴NE∥PD，EM∥DA， ∴面 NEM∥面 PDA， ∴MN∥平面 PAD； （2）∵底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD， ∴CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD=A ∴CD⊥平面 PAD， ∴CD⊥PD， ∵EN∥PD ∴EN⊥CD 又∵CD⊥EM，EM∩EN=E ∴CD⊥平面 ENM ∴MN⊥CD ∵PM= = = =MC，M、N 分别是 AB、PC 的中点， ∴MN⊥PC，CD∩PC=C ∴MN⊥平面 PCD． 　 19．如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1= ，D 是 A1B1 中 点． （1）求证 C1D⊥平面 AA1B1B； （2）当点 F 在 BB1 上什么位置时，会使得 AB1⊥平面 C1DF？并证明你的结论． 【考点】平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）欲证 C1D⊥平面 AA1B1B，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 C1D 与平面 AA1B1B 内两相交直线垂直，而 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱， 则∠A1C1B1=90°，从而 C1D⊥A1B1，AA1⊥C1D，满足定理所需条件； （2）作 DE⊥AB1 交 AB1 于 E，延长 DE 交 BB1 于 F，连接 C1F，则 AB1⊥平面 C1DF，点 FB1B 的中点即为所求，根据 C1D⊥平面 AA1BB，AB1⊂平面 AA1B1B，则 C1D⊥AB1，AB1 ⊥DF，DF∩C1D=D，满足线面垂直的判定定理，则 AB1⊥平面 C1DF． 【解答】（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱， ∴A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°． 又 D 是 A1B1 的中点，∴C1D⊥A1B1． ∵AA1⊥平面 A1B1C1，C1D⊂平面 A1B1C1， ∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面 AA1B1B． （2）解：作 DE⊥AB1 交 AB1 于 E，延长 DE 交 BB1 于 F，连接 C1F，则 AB1⊥平面 C1DF， 点 F 即为所求． ∵C1D⊥平面 AA1B1B，AB1⊂平面 AA1B1B， ∴C1D⊥AB1．又 AB1⊥DF，DF∩C1D=D， ∴AB1⊥平面 C1DF． 四边形 AA1B1B 为正方形，此时点 F 为 B1B 的中点． 　 20．如图正方形 ABCD 中，O 为中心，PO⊥面 ABCD，E 是 PC 中点，求证： （1）PA∥平面 BDE； （2）面 PAC⊥面 BDE． （3）若 PA=PB=PC=PD=AB，求二面角 P﹣AB﹣D 的余弦值． 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）取 PC 中点 F，连结 EF、OE、OF，推导出平面 PAD∥平面 EFO，由此能证明 PA∥平面 BDE． （2）推导出 AC⊥BD，PO⊥BD，从而 BD⊥平面 PAC，由此能证明面 PAC⊥面 BDE． （3）以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量 法能求出二面角 P﹣AB﹣D 的余弦值． 【解答】证明：（1）∵正方形 ABCD 中，O 为中心，∴O 是 AC 中点， 取 PC 中点 F，连结 EF、OE、OF， ∵E 是 PC 中点，∴OE∥PD，OF∥PA， ∵PD∩PA=P，OE∩OF=O，PD，PA⊂平面 PAD，OE， OF⊂平面 EFO， ∴平面 PAD∥平面 EFO， ∵PA⊂平面 PAD，∴PA∥平面 BDE． （2）∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC⊥BD， ∵PO⊥面 ABCD，∴PO⊥BD， ∵PO∩AC=O，∴BD⊥平面 PAC， ∵BD⊂平面 BDE， ∴面 PAC⊥面 BDE． 解：（3）以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 PA=PB=PC=PD=AB=2， 则 P（0，0， ），A（ ，0，0），B（0， ，0）， =（ ）， =（0， ）， 设平面 PAB 的法向量 =（x，y，z）， 则 ，取 x=1，得 =（1，1，1）， 平面 ABD 的法向量 =（0，0，1）， 设二面角 P﹣AB﹣D 的平面角为 θ， 则 cosθ= = = ． ∴二面角 P﹣AB﹣D 的余弦值为 ．