数学(心得)之谈“策略教学”的优化策略

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数学(心得)之谈“策略教学”的优化策略

数学论文之谈“策略教学”的优化策略 ‎ ‎ 上学期学校组织的六年级数学调研中,有这样一道题:学校图书馆买来两种图书,简装《水浒》每本33元,精装《西游记》每本52元。两种书一共用去406元,这两种书各买多少本?‎ 通过调研,我们发现学生在解答这道题时失分较多。显然学生把这道题“归属”到了“鸡兔同笼”的问题范畴,认为应当用“假设”的策略来解决。可问题是题中并没有告知两种书的总本数,学生一下子找不到现成的解题模式可以套用,失分也就在情理中了。尽管也有一部分学生找到了正确答案,即“简装《水浒》买了6本,精装《西游记》买了4本”,但从他们的解题过程中并不能看出清晰的解题思路,更看不出他们所采用的是哪种解题策略,如果不是凭借一种直觉的话,那充其量也就是凑出来的。当然从几百份试卷中,我们也发现了一些比较独特的解法:‎ ‎①   因为52是偶数,所以《水浒》的本数也一定是偶数。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 《水浒》本数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 6‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是否符合题意 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 否 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 否 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(406-33×2)÷52=6(本)……28(元)‎ ‎(406-33×4)÷52=5(本)……14(元)‎ ‎(406-33×6)÷52=4(本)‎ 答:简装《水浒》买了6本,精装《西游记》买了4本。‎ ‎②   406÷(33+52)=4(本)……66(元)‎ ‎66÷33+4=6(本)‎ 答:《水浒》买了6本,《西游记》买了4本。‎ ‎③   解:设《水浒》买了x本,《西游记》买了y本。‎ ‎33x+52y=406‎ 推算出 x=6,y=4。‎ 答:《水浒》买了6本,《西游记》买了4本。‎ ‎④   406÷(33+52)≈5(套)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 《水浒》‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 《西游记》‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 价钱 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 比较 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 5‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 5‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 5×33+5×52=425(元)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 多19元 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 6‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 6×33+4×52=406(元)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 正好 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答:简装《水浒》买了6本,精装《西游记》买了4本。‎ 笔者又把这道题给五年级的部分学生解答,结果绝大多数学生都能应用“一一列举”的解题策略顺利地作出解答。列表如下:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 《西游记》的本数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 5‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 6‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 7‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 《水浒》的本数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 6‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其实并不是五年级学生解决问题的策略意识比六年级学生强,而是因为上述这道题与五年级学生所学的诸如“旅游团23人到旅馆住宿,住3人间和2人间(每个房间不能有空床位),有多少种不同的安排”恰好类型相同。‎ 苏教国标版自四年级上册起每册都安排了一个“解决问题的策略”教学单元,这样安排虽有利于学生对某一种解题策略的掌握和应用,但也存在一定的局限性。一旦所解决的问题与所学的不相匹配,那么大部分学生将束手无策。从以上案例中我们不难发现一些问题:其一,学生拥有的“策略性知识”越多(按理说六年级的学生所拥有的“策略性知识”‎ 要比五年级的学生多),但并不意味着他们解决问题的能力就越强。从拥有策略性知识到解决问题能力的真正提升,其间还要经历哪几个阶段?其二,尽管有部分学生已具备了一些数学思想方法(如上述第3种解法,学生应用的是代数思想),但由于缺乏一些相关的知识技能,因而也影响到学生策略水平的提高。数学思想、策略虽总领于方法,但没有方法把握与数学模型的支撑,策略的运用仍无从实施。究竟有别于方法的策略教学更多地应关注什么、追求什么?其三,同样的教学内容,由于教师的认识水平、教学策略的不同以及学生之间个性特征、思维习惯的差异,导致不同的学生在解决同样的问题时呈现出不同的思维水平。“解决问题的策略”教学应遵循哪些基本原则?如何帮助学生进一步优化解题策略?‎ 二、策略的优化 数学课程标准中明确指出“解决问题”是数学课程目标的四大领域之一,而让学生“形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神”又是这一目标的具体内容之一。学习解决问题的策略,就是要帮助学生积累一些策略性的知识,提高解决问题的效率,提升学生的思维水平和智慧,促进其元认知的发展。解决问题的策略,其学习过程一般分为三个阶段:‎ 第一个阶段是知道学习的解决问题的策略是什么、有什么功用、包含哪些具体的操作步骤。这是陈述性知识的学习阶段。以“转化策略”的教学为例,课始,通过比较不规则的两个图形面积的大小,向学生揭示出“把不规则的图形通过适当的变化,变成规则的图形,使原本比较困难的问题变成了比较容易解决的问题,这样一种解决问题的策略叫转化。”接着引导学生回忆“在哪些知识的学习中应用过转化策略”,通过回顾和梳理,帮助学生发现“我们在学习一个新的知识时,几乎都是通过转化,把未知的变成已知的,从而获得新进展、新突破的”‎ ‎,从而明确转化的方向——困难转容易,未知化已知。这是“转化策略”教学的第一个阶段。‎ 再以“学会逆向思考”的教学为例,课始通过对我国载人航天工程总设计师王永志院士应用逆向思维,成功发射第一种中近程火箭的事例介绍,向学生揭示出“在我们的数学学习中,也经常要用到逆向思维。有些数学问题,如果从正面入手按习惯思维找不到解题的突破口时,不妨变换一下思考的角度,逆向进行思考,往往就会收到意想不到的效果”。借助感性的材料说明“逆向思考”的解题策略是怎么一回事,它有着什么样的功效,基本的思考方向是怎样的,这同样属于第一个阶段的教学。‎ 第二个阶段是结合该解决问题的策略适用的情景,对如何运用这一策略进行练习,逐步达到能够熟练甚至自动地执行认知策略的操作程序。这是将陈述性知识转化为程序性知识阶段。以“转化策略”的教学为例,教师通过精心设计的两组练习:‎ ㈠   第一组练习题:‎ ‎⑴   36.3×4.5+6.37×45‎ ‎⑵   □15+1□8+36□=900‎ ‎⑶   + + +‎ ㈡   第二组练习题:‎ ‎⑴  ‎ ‎ 用分数表示各图中的涂色部分。(见课本第74页练习十四第2题)‎ ‎⑵    兄弟三人合资购买一套别墅。老大出资20万元,老二出的钱数与另外两人的钱数比是1︰2,老三出的钱数与另外两人出的钱数比是1︰3。这套别墅一共多少万元?‎ 由“扶”到“放”,让学生对几种常用的转化方法如“变形法”、“数形转化”、“分割法”、“关系转化”等有了一定的了解,让学生真切地感受到了转化的价值。在这个过程中,教师让学生不断地积累使用转化策略的经验,为策略的习得奠定了基础。这一阶段的学习属于第二个阶段。‎ 在“学会逆向思考”的教学中,教师同样借助不同类型的三组题:‎ 第一组题:求出□里的数。1÷( ×□- )=‎ 第二组题:将50拆分成10个素数之和,要求其中最大的素数尽可能地大,那么这个最大的素数是多少?‎ 第三组题:小虎算加法,把一个加数个位上的2当作了7,把另一个加数十位上的9当作了4,结果加得和是128。正确的答案应该是多少?‎ 让学生了解逆向思维的三种实施途径,即“由顺而倒”、“由正及反”、 “执果析因”,并通过相关的练习加以巩固和强化,使学生的逆向思维能力逐步得到提高。这是将陈述性知识上升到程序性知识的学习阶段。‎ 第三个阶段是清晰地把握策略的适用条件,知道在什么时候、在什么地方使用这一策略,并主动运用和监控这一策略的使用。这是达到元认知阶段,只有达到这一阶段的解决问题的策略才具有广泛的可迁徙性。以“转化策略”的教学为例,教师在最后阶段让学生设计测量“土豆和三角积木(三棱柱)”体积的实验方案,并思考“哪种方案更便于操作”、“用同种方案还可以测量出哪些物体的体积”以及“哪些立体图形的体积都可以用‘底面积×高’来计算”等,意在让学生主动运用和监控“转化”策略的使用,这属于第三个阶段。当然一节课就让学生达到策略学习的第三个阶段也是不大现实,比较困难的,还需要在后续的学习中不断地激发学生使用该策略的意识,进一步提高学生使用该策略的能力以及多种策略综合运用的能力,这样才有助于学生解决问题能力的提高。‎ 解决问题的策略教学,还应遵循以下教学原则:一是渐进性原则。通常一次只能教少量的策略性知识,而且要通过一定量的练习让学生熟悉此类策略的适用情境,掌握运用此类策略的常用方法,使学生对此类策略的认识不仅仅停留在表层阶段,而要尽量向纵深发展。‎ 如五年级上册“一一列举策略”的教学,教材是凭借简单的组合问题以及租船问题,向学生介绍列举的常用方法的——先分类,再有序列举,意在让学生能初步体会到蕴含其中的分类思想。在随后学习“公因数和公倍数”、“正比例和反比例”等有关知识时,仍然会用到“列举”的解题策略,这时学生对“列举策略”的认识也就更为全面、深入了。‎ 二是系统性原则。解决问题策略的教学需要的是潜移默化,润物无声,它一般是不能立竿见影的,必须坚持长期、系统的教学训练方能取得满意的效果。在学习一类策略之前,可结合有关内容进行适当的渗透;在学习此类策略之后,更要及时地跟进,通过一些变式练习让学生从已有的策略性知识中选择合适的策略,进一步提升解决问题的能力和水平。‎ ‎“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一。它出自我国古代的一部算书《孙子算经》。比如:今有鸡兔同笼,上有二十一头,下有五十八足,问鸡兔各几何?一次偶然的机会,笔者在参观中国珠算博物馆时,意外地发现了“鸡兔同笼”问题的另一类解法,即借助算盘来求解的方法。先假设21只都是兔,从算盘的最左边一档起拨上四颗下珠,表示一只兔有四只脚,这样共有21档84颗下珠。因为84比58多出了26,再从最左边一档起,每档依次拨去两颗下珠(把一只鸡看成兔就多出了4-2=2只脚),共拨十三次。这样共有13档,每档只有两颗下珠;有8档,每档有四颗下珠。也就是说鸡有13只,兔有8只。‎ 儿子上四年级,按理说“鸡兔同笼”问题要到六年级时才正式接触。如果借助算盘这一古老的教具来阐释“鸡兔同笼”问题的算理,孩子是不是也能欣然接受呢?如果在孩子学习用“假设”这种解决问题的策略解答“鸡兔同笼”问题之前,就对此类问题有了一定的感性认识,有了一定的经验储备,那不是更有利于孩子实现从“感性”到“理性”‎ 的跨越,实现从“经验”到“能力”的提升吗?在孩子学习“解决问题的策略——假设”后,我们再通过一些变式练习,如“广场前有三轮车、摩托车共9辆,它们共有24只轮子。三轮车和摩托车各有多少辆”、“学校正在进行乒乓球单打和双打比赛,共有12张球台,40人在比赛。进行单打、双打比赛的球台各几张”等,使孩子对此类策略的学习更为扎实、有效。‎ 三是活动性原则。我们可以结合一类策略的学习,开展一些数学观察、实验等活动,以检验学生自觉运用策略的意识是否形成,实践能力和创新精神是否得到了发展。“没有了活动,就没有了载体,学生的学习就容易遇到障碍;不理解活动的本质,不理解活动背后的理论支撑,就容易失去活动的方向。”‎ 在学习了圆柱体的侧面积、表面积以及体积的计算方法后,教材与配套的练习册中均安排了比较多的变式练习,如计算蔬菜大棚需要多少塑料薄膜、大棚所占空间是多少,做一只多层蛋糕需要多少奶油等等。有些题目由于远离学生的生活实际,给学生解题带来了一定的困难。如何帮助学生搭起数学与生活的桥梁,更好地理解数学本质,提高解决实际问题的能力,这些问题萦绕在头脑中,久久挥之不去。一次上班途中,笔者蓦然发现在熟悉的校园中就有许多与圆柱体有关的实际问题——‎ 那一排郁郁葱葱的香樟树,每一棵树干下端都刷上了一层白色油漆,刷一棵大约需要多少油漆?把所有的都刷上一遍呢?葫芦池上那彩虹般的小桥,不就类似于菜农搭的蔬菜大棚吗?如果在桥的内侧抹上水泥,那么抹水泥部分的面积该怎么求呢?滑梯下面的立柱贴满了“马赛克”,近看不就像是一只超大的“奶油蛋糕”吗?求贴“马赛克”部分的面积也就相当于求大、小圆柱的哪几部分的面积呢?草坪旁那一只只路灯造型新颖,灯管下面的底座都刷上了绿色的油漆。那底座犹如一根圆柱铁管被斜着切成了两半,如果要求刷漆部分的面积,该如何应对呢?……‎ 接下来的数学课,笔者把学生领出了教室。在暖风吹拂下,我们漫步校园,边看边思考着“生活中有哪些与圆柱有关的实际问题”。活动中,学生或独立思考,或相互商讨,最终他们想到了多种不同的转化策略。同时根据学生不同的个性特点、思维方式、能力水平,教师适当地作出评价,让绝大多数学生都能在活动中获得成功的体验,产生继续应用和改进策略的学习动力。‎ 四是择优性原则。有别于方法的策略教学,不能仅满足于方法与建模,还要帮助学生学会在面对问题时,知道从何入手,怎样调整;要在学生自主尝试运用个性化的策略解决问题的基础上,通过相互交流理解不同的策略,比较不同的策略,促使学生自主优化、选择并正确运用合适的策略。没有学生个性化的尝试,就不可能促成策略的建构与优化;没有对策略的理解与比较,也不可能对策略作出适当的选择和运用。‎ 回看文前的案例,我们在让学生独立思考的基础上,可以从中择选几种不同的解题方法,然后组织学生进行比较、分析。如第一种解法,虽然同样采用的是“列举”的策略,但难能可贵的是学生敏锐地捕捉到了题中数据的特点,由于总钱数406是偶数,而精装《西游记》的单价也是偶数,因此购买简装《水浒》(单价是奇数)的本数也一定是偶数。这样有选择地列举明显要比简单地一一列举“高明”许多。再如第二种解法,显然采用的是“假设”的策略(假设成套购买,可以买4套),但学生在计算过程中发现“余下的钱数恰好是33的倍数”,因此无须过多调整,一下就可求出正确的答案。在对不同策略的解读中,学生从中领悟到:我们在解决问题时不必拘泥于某一种解题策略,有时可以综合应用多种解题策略。在此基础上再敦促学生调整、优化自己的解题策略,从而不断提升学生的解决问题的能力和水平。‎
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