2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

‎4.2.2　　对数运算法则 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.理解积、商、幂的对数，能进行简单的对数运算．‎ ‎2．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．‎ 通过本节课的学习，掌握对数的运算法则及换底公式，会用对数的运算法则进行化简求值，进一步提升数学抽象与数学运算素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 积、商、幂的对数 若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，则有 ‎(1)积的对数：__loga(MN)＝logaM＋logaN__．‎ ‎(2)商的对数：__loga＝logaM－logaN__．‎ ‎(3)幂的对数：__logaMn＝nlogaM__．‎ 思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？‎ 提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到n项的乘积．‎ 知识点 换底公式 若a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，则有__logab＝__．‎ 思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？‎ ‎(2)你能用换底公式推导出结论logNnMm＝logNM吗？‎ 提示：(1)logab＝，logab＝．‎ ‎(2)logNnMm＝＝＝·＝logNM．‎ - 5 -‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 利用对数的运算法则求值 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　计算：‎ ‎(1)loga2＋loga(a＞0且a≠1)；‎ ‎(2)log318－log32；‎ ‎(3)2log510＋log50.25；‎ ‎(4)2log525＋3log264；‎ ‎(5)log2(log216)；‎ ‎(6)62log63－20log71＋log4．‎ ‎[解析]　(1)loga2＋loga＝loga(2×)＝loga1＝0．‎ ‎(2)log318－log32＝log3(18÷2)＝log39＝2．‎ ‎(3)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25‎ ‎＝log5(100×0.25)＝log525＝2．‎ ‎(4)2log525＋3log264＝2log552＋3log226＝4＋18＝22．‎ ‎(5)log2(log216)＝log24＝2．‎ ‎(6)原式＝6log69－20×0＋log44－2＝9－2＝7．‎ 规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法：‎ ‎(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．‎ ‎(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．计算log535＋2log2－log5－log514的值．‎ ‎[解析]　log535＋2log2－log5－log514‎ ‎＝log535＋2×＋log550－log514‎ ‎＝log5＋1＝3＋1＝4．‎ 题型 - 5 -‎ 利用对数的运算法则化简 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　用lg x，lg y，lg z表示下列各式：‎ ‎(1)lg (xyz)；(2)lg；(3)lg；(4)lg．‎ ‎[解析]　(1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z．‎ ‎(2)lg＝lg (xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z．‎ ‎(3)lg＝lg (xy3)－lg＝lg x＋3lg y－lg z．‎ ‎(4)lg＝lg－lg (y2z)＝lg x－2lg y－lg z．‎ 规律方法：关于对数式的化简 首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．lg 2＝a，lg 3＝b，试用a、b表示lg 108，lg．‎ ‎[解析]　lg 108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg 33＋lg 22＝3lg 3＋2lg 2＝2a＋3B．‎ lg＝lg 18－lg 25＝lg (2×32)－lg＝lg 2＋lg 32－lg 102＋lg 22＝lg 2＋2lg 3－2＋2lg 2＝3a＋2b－2．‎ 题型 换底公式及其应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　(1)已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645的值；‎ ‎(2)设3x＝4y＝6z＞1，求证：－＝．‎ ‎[分析]　在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x，y，z，并结合换底公式与对数的运算性质证明．‎ ‎[解析]　(1)由18b＝5，得log185＝b，‎ ‎∴log3645＝＝ ‎＝＝．‎ ‎(2)设3x＝4y＝6z＝t，∵3x＝4y＝6z＞1，‎ ‎∴t＞1，∴x＝，y＝，z＝，‎ - 5 -‎ ‎∴－＝－＝＝＝．‎ ‎∴－＝．‎ 规律方法：换底公式的应用 ‎(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值．‎ ‎(2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．‎ ‎(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式＝logbA．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．(1)若3a＝7b＝，求＋的值；‎ ‎(2)设4a＝5b＝m，且＋＝1，求m的值．‎ ‎[解析]　(1)∵3a＝7b＝，‎ ‎∴a＝log3，b＝log7，‎ ‎∴＋＝＋ ‎＝＋＝＝＝2．‎ ‎(2)∵4a＝5b＝m，∴a＝log4m，b＝log5m，‎ 又＋＝1，∴＋＝1，‎ 即logm4＋2logm5＝1，‎ ‎∴logm100＝1，∴m＝100．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　已知lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求log的值．‎ ‎[错解]　∵lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0．‎ ‎∴(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y．‎ ‎∵＝1或4，‎ ‎∴log＝log1＝0或log＝log4＝4．‎ ‎[辨析]　误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．‎ - 5 -‎ ‎[正解]　∵lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0．‎ ‎∴(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y．‎ ‎∵x＞0，y＞0，x－2y＞0，∴x＝y应舍去．‎ ‎∴＝4，∴log＝log4＝4．‎ - 5 -‎