高考数学压轴大题解析几何

高考数学压轴大题解析几何

高考数学压轴大题-解析几何 1. 设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.‎ ‎（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：‎ ‎（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.‎ 解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组 有两个不同的实数解.消去y并整理得 ‎ ‎（1－a2）x2+‎2a2x－‎2a2=0. ①‎ 双曲线的离心率 ‎（II）设 由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，‎ 2. 已知为椭圆C的两焦点，P为C上任意一点，且向量 的夹角余弦的最小值为.‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆C的方程； ‎ ‎(Ⅱ)过 的直线与椭圆C交于M、N两点，求（O为原点）的面积的最大值及相应的直线的方程.‎ 解：(Ⅰ)设椭圆的长轴为‎2a,‎ ‎∴ ‎ ‎=‎ ‎=‎ 又 ‎ ‎ ∴ ‎ 即 ∴ ‎ ‎∴椭圆方程为 ‎ ‎(Ⅱ) 由题意可知NM不可能过原点,则可设直线NM的方程为:‎ 设 ‎ ‎= ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 . ‎ 由韦达定理得:‎ ‎ ‎ ‎ ∴‎ ‎ = = ‎ ‎ 令 , 则 ‎ ∴=.‎ ‎ 又令, 易知在[1,+∞）上是增函数,‎ 所以当,即 时有最小值5. ‎ ‎∴有最大值 ∴ 的面积有最大值.‎ 直线的方程为.‎ 1. 椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率=，过点C(-1，0)的直线交椭圆于A、B两点，且满足：= ()．‎ ‎(Ⅰ)若为常数，试用直线的斜率k(k≠0)表示三角形OAB的面积．‎ ‎(Ⅱ)若为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程．‎ ‎(Ⅲ)若变化，且= k2＋1，试问：实数和直线的斜率分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．‎ 解：设椭圆方程为(a＞b＞0)，‎ 由==及a2= b‎2+c2得a2=3 b2，‎ 故椭圆方程为x2＋3y2= 3b2． ① ‎ ‎(Ⅰ)∵直线：y = k(x＋1)交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，并且= (≥2)，‎ ‎∴(x1+1，y1) =(-1-x2，-y2)，‎ 即 ②‎ 把y = k(x+1)代入椭圆方程，得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2= 0，‎ 且 k2 (3b2-1)+b2＞0 （*），‎ ‎∴x1+x2= -， ③ ‎ ‎ x1x2=， ④‎ ‎∴=|y1-y2| =|+1|·| y2| =·| k |·| x2+1|． ‎ 联立②、③得x2+1=，‎ ‎∴=· (k≠0)． ‎ ‎(Ⅱ)=·‎ ‎=·‎ ‎≤· (≥2)．‎ 当且仅当3| k | =，即k =时，取得最大值，此时x1+x2= -1．‎ 又∵x1+1= -( x2+1)，‎ ‎∴x1=，x2= -，代入④得3b2=．此时3b25，的值符合(*)‎ 故此时椭圆的方程为x2＋3y2=(≥2)． ‎ ‎(Ⅲ)由②、③联立得：‎ x1=-1， ‎ ‎ x2=-1，‎ 将x1，x2代入④，得=+1．‎ 由k2=-1得=+1‎ ‎=＋1．‎ 易知，当时，3b2是的减函数，‎ 故当时，取得最大值3． 所以，当，k =±1(符合(*))时，椭圆短半轴长取得最大值，‎ 此时椭圆方程为x2 + 3y2 = 3． ‎ 1. 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.‎ ‎ （I）求椭圆的离心率；‎ ‎ （II）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.‎ 解：（I）设椭圆方程为 ‎ 则直线AB的方程为.‎ ‎ 化简得.‎ ‎ 令 ‎ 则 ‎ ‎ 共线，得 ‎（II）证明：由（I）知，所以椭圆可化为.‎ ‎ 在椭圆上，‎ ‎ ‎ ‎ 即 ①‎ ‎ 由（I）知 ‎ ‎ 又又，代入①得 ‎ 故为定值，定值为1.‎ 1. 已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点.‎ ‎（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；‎ ‎（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.‎ 解：（I）‎ ‎ 圆过点O、F，‎ ‎ 圆心M在直线上。‎ ‎ 设则圆半径 ‎ ‎ ‎ 由得 ‎ 解得 ‎ 所求圆的方程为 ‎ （II）设直线AB的方程为 ‎ 代入整理得 ‎ 直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。‎ ‎ 记中点 ‎ 则 ‎ 的垂直平分线NG的方程为 ‎ 令得 ‎ ‎ ‎ 点G横坐标的取值范围为 1. 已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为 ‎(I) 证明线段是圆的直径;‎ ‎(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。‎ ‎(I)证明1: ‎ 整理得: ‎ 设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则 即 整理得:‎ 故线段是圆的直径 证明2: ‎ 整理得: ‎ ‎……..(1)‎ 设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则 即 去分母得: ‎ 点满足上方程,展开并将(1)代入得:‎ 故线段是圆的直径 证明3: ‎ 整理得: ……(1)‎ 以线段AB为直径的圆的方程为 展开并将(1)代入得: 故线段是圆的直径 ‎(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则 ‎ ‎ 又因 ‎ ‎ ‎ 所以圆心的轨迹方程为 设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则 当y=p时,d有最小值,由题设得 .‎ 解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则 ‎ ‎ 又因 ‎ ‎ ‎ 所以圆心的轨迹方程为 设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则 因为x-2y+2=0与无公共点,‎ 所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为 将(2)代入(3)得 ‎ 解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则 圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则 ‎ ‎ 又因 ‎ ‎ ‎ 当时,d有最小值,由题设得 ‎.‎ ‎11、（如图）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线 ‎ 与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．‎ ‎ D F B y x A O E （1）若，求的值；‎ ‎ （2）求四边形面积的最大值．‎ ‎11．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，‎ ‎ 直线的方程分别为，． 2分 D F B y x A O E ‎ 如图，设，其中，‎ ‎ 且满足方程，‎ ‎ 故．①‎ ‎ 由知，得；‎ ‎ 由在上知，得．‎ ‎ 所以， 化简得， 解得或． 6分 ‎ （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为 ‎ ，‎ ‎ ． 9分 ‎ 又，所以四边形的面积为 ‎ ，‎ ‎ 当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 ‎ 解法二：由题设，，． 设，，由①得，，‎ ‎ 故四边形的面积为 ‎ 9分 ‎ ，‎ ‎ 当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 ‎12、已知椭圆的离心率. 直线（）与曲线交于不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为． ‎ ‎ (1) 求椭圆的方程；‎ ‎(2) 若圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值.‎ ‎12、（1）解：∵椭圆的离心率, ∴. …… 2分 ‎ 解得. ∴ 椭圆的方程为． …… 4分 ‎（2）解法1：依题意，圆心为．‎ ‎ 由 得. ∴ 圆的半径为． …… 6分 ‎∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，‎ ‎∴ ，即． ‎ ‎∴ 弦长． …… 8分 ‎∴的面积 …… 9分 ‎ ‎ ‎ . …… 12分 ‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ ‎ ∴ 的面积的最大值为． …… 14分 解法2：依题意，圆心为．‎ ‎ 由 得.∴ 圆的半径为． …… 6分 ‎ ∴ 圆的方程为．‎ ‎∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，‎ ‎∴ ，即．‎ ‎ 在圆的方程中，令，得，‎ ‎ ∴ 弦长． （资料来源：数学驿站 www.maths168.com） …… 8分 ‎∴的面积 …… 9分 ‎ ‎ ‎ ‎ . ……12分 当且仅当，即时，等号成立. ∴ 的面积的最大值为．‎ ‎15、已知椭圆：（）的上顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．若有一菱形的顶点、在椭圆上，该菱形对角线所在直线的斜率为．‎ ‎⑴求椭圆的方程；‎ ‎⑵当直线过点时，求直线的方程；‎ ‎⑶（本问只作参考，不计入总分）当时，求菱形面积的最大值．‎ ‎15、解：⑴依题意，……1分，解……2分，得……3分，所以，……4分，椭圆的方程为……5分。‎ ‎⑵直线：……7分，设：……8分，由方程组得……9分，当时……10分，、的中点坐标为，……12分，是菱形，所以的中点在上，所以……13分，解得，满足，所以的方程为……14分。‎ ‎⑶（本小问不计入总分，仅供部分有余力的学生发挥和教学拓广之用）因为四边形为菱形，且，所以，所以菱形的面积，由⑵可得 ‎，因为，所以当且仅当时，菱形的面积取得最大值，最大值为。‎