高考数学压轴大题解析几何

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高考数学压轴大题解析几何

高考数学压轴大题-解析几何 1. 设双曲线C:相交于两个不同的点A、B.‎ ‎(I)求双曲线C的离心率e的取值范围:‎ ‎(II)设直线l与y轴的交点为P,且求a的值.‎ 解:(I)由C与t相交于两个不同的点,故知方程组 有两个不同的实数解.消去y并整理得 ‎ ‎(1-a2)x2+‎2a2x-‎2a2=0. ①‎ 双曲线的离心率 ‎(II)设 由于x1+x2都是方程①的根,且1-a2≠0,‎ 2. 已知为椭圆C的两焦点,P为C上任意一点,且向量 的夹角余弦的最小值为.‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆C的方程; ‎ ‎(Ⅱ)过 的直线与椭圆C交于M、N两点,求(O为原点)的面积的最大值及相应的直线的方程.‎ 解:(Ⅰ)设椭圆的长轴为‎2a,‎ ‎∴ ‎ ‎=‎ ‎=‎ 又 ‎ ‎ ∴ ‎ 即 ∴ ‎ ‎∴椭圆方程为 ‎ ‎(Ⅱ) 由题意可知NM不可能过原点,则可设直线NM的方程为:‎ 设 ‎ ‎= ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 . ‎ 由韦达定理得:‎ ‎ ‎ ‎ ∴‎ ‎ = = ‎ ‎ 令 , 则 ‎ ∴=.‎ ‎ 又令, 易知在[1,+∞)上是增函数,‎ 所以当,即 时有最小值5. ‎ ‎∴有最大值 ∴ 的面积有最大值.‎ 直线的方程为.‎ 1. 椭圆E的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率=,过点C(-1,0)的直线交椭圆于A、B两点,且满足:= ().‎ ‎(Ⅰ)若为常数,试用直线的斜率k(k≠0)表示三角形OAB的面积.‎ ‎(Ⅱ)若为常数,当三角形OAB的面积取得最大值时,求椭圆E的方程.‎ ‎(Ⅲ)若变化,且= k2+1,试问:实数和直线的斜率分别为何值时,椭圆E的短半轴长取得最大值?并求出此时的椭圆方程.‎ 解:设椭圆方程为(a>b>0),‎ 由==及a2= b‎2+c2得a2=3 b2,‎ 故椭圆方程为x2+3y2= 3b2. ① ‎ ‎(Ⅰ)∵直线:y = k(x+1)交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,并且= (≥2),‎ ‎∴(x1+1,y1) =(-1-x2,-y2),‎ 即 ②‎ 把y = k(x+1)代入椭圆方程,得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2= 0,‎ 且 k2 (3b2-1)+b2>0 (*),‎ ‎∴x1+x2= -, ③ ‎ ‎ x1x2=, ④‎ ‎∴=|y1-y2| =|+1|·| y2| =·| k |·| x2+1|. ‎ 联立②、③得x2+1=,‎ ‎∴=· (k≠0). ‎ ‎(Ⅱ)=·‎ ‎=·‎ ‎≤· (≥2).‎ 当且仅当3| k | =,即k =时,取得最大值,此时x1+x2= -1.‎ 又∵x1+1= -( x2+1),‎ ‎∴x1=,x2= -,代入④得3b2=.此时3b25,的值符合(*)‎ 故此时椭圆的方程为x2+3y2=(≥2). ‎ ‎(Ⅲ)由②、③联立得:‎ x1=-1, ‎ ‎ x2=-1,‎ 将x1,x2代入④,得=+1.‎ 由k2=-1得=+1‎ ‎=+1.‎ 易知,当时,3b2是的减函数,‎ 故当时,取得最大值3. 所以,当,k =±1(符合(*))时,椭圆短半轴长取得最大值,‎ 此时椭圆方程为x2 + 3y2 = 3. ‎ 1. 已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与共线.‎ ‎ (I)求椭圆的离心率;‎ ‎ (II)设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值.‎ 解:(I)设椭圆方程为 ‎ 则直线AB的方程为.‎ ‎ 化简得.‎ ‎ 令 ‎ 则 ‎ ‎ 共线,得 ‎(II)证明:由(I)知,所以椭圆可化为.‎ ‎ 在椭圆上,‎ ‎ ‎ ‎ 即 ①‎ ‎ 由(I)知 ‎ ‎ 又又,代入①得 ‎ 故为定值,定值为1.‎ 1. 已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点.‎ ‎(I)求过点O、F,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;‎ ‎(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.‎ 解:(I)‎ ‎ 圆过点O、F,‎ ‎ 圆心M在直线上。‎ ‎ 设则圆半径 ‎ ‎ ‎ 由得 ‎ 解得 ‎ 所求圆的方程为 ‎ (II)设直线AB的方程为 ‎ 代入整理得 ‎ 直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根。‎ ‎ 记中点 ‎ 则 ‎ 的垂直平分线NG的方程为 ‎ 令得 ‎ ‎ ‎ 点G横坐标的取值范围为 1. 已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为 ‎(I) 证明线段是圆的直径;‎ ‎(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时,求p的值。‎ ‎(I)证明1: ‎ 整理得: ‎ 设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则 即 整理得:‎ 故线段是圆的直径 证明2: ‎ 整理得: ‎ ‎……..(1)‎ 设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则 即 去分母得: ‎ 点满足上方程,展开并将(1)代入得:‎ 故线段是圆的直径 证明3: ‎ 整理得: ……(1)‎ 以线段AB为直径的圆的方程为 展开并将(1)代入得: 故线段是圆的直径 ‎(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则 ‎ ‎ 又因 ‎ ‎ ‎ 所以圆心的轨迹方程为 设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则 当y=p时,d有最小值,由题设得 .‎ 解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则 ‎ ‎ 又因 ‎ ‎ ‎ 所以圆心的轨迹方程为 设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则 因为x-2y+2=0与无公共点,‎ 所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为 将(2)代入(3)得 ‎ 解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则 圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则 ‎ ‎ 又因 ‎ ‎ ‎ 当时,d有最小值,由题设得 ‎.‎ ‎11、(如图)设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线 ‎ 与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.‎ ‎ D F B y x A O E (1)若,求的值;‎ ‎ (2)求四边形面积的最大值.‎ ‎11.(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为,‎ ‎ 直线的方程分别为,. 2分 D F B y x A O E ‎ 如图,设,其中,‎ ‎ 且满足方程,‎ ‎ 故.①‎ ‎ 由知,得;‎ ‎ 由在上知,得.‎ ‎ 所以, 化简得, 解得或. 6分 ‎ (Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点到的距离分别为 ‎ ,‎ ‎ . 9分 ‎ 又,所以四边形的面积为 ‎ ,‎ ‎ 当,即当时,上式取等号.所以的最大值为. 12分 ‎ 解法二:由题设,,. 设,,由①得,,‎ ‎ 故四边形的面积为 ‎ 9分 ‎ ,‎ ‎ 当时,上式取等号.所以的最大值为. 12分 ‎12、已知椭圆的离心率. 直线()与曲线交于不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为. ‎ ‎ (1) 求椭圆的方程;‎ ‎(2) 若圆与轴相交于不同的两点,求的面积的最大值.‎ ‎12、(1)解:∵椭圆的离心率, ∴. …… 2分 ‎ 解得. ∴ 椭圆的方程为. …… 4分 ‎(2)解法1:依题意,圆心为.‎ ‎ 由 得. ∴ 圆的半径为. …… 6分 ‎∵ 圆与轴相交于不同的两点,且圆心到轴的距离,‎ ‎∴ ,即. ‎ ‎∴ 弦长. …… 8分 ‎∴的面积 …… 9分 ‎ ‎ ‎ . …… 12分 ‎ 当且仅当,即时,等号成立.‎ ‎ ∴ 的面积的最大值为. …… 14分 解法2:依题意,圆心为.‎ ‎ 由 得.∴ 圆的半径为. …… 6分 ‎ ∴ 圆的方程为.‎ ‎∵ 圆与轴相交于不同的两点,且圆心到轴的距离,‎ ‎∴ ,即.‎ ‎ 在圆的方程中,令,得,‎ ‎ ∴ 弦长. (资料来源:数学驿站 www.maths168.com) …… 8分 ‎∴的面积 …… 9分 ‎ ‎ ‎ ‎ . ……12分 当且仅当,即时,等号成立. ∴ 的面积的最大值为.‎ ‎15、已知椭圆:()的上顶点为,过的焦点且垂直长轴的弦长为.若有一菱形的顶点、在椭圆上,该菱形对角线所在直线的斜率为.‎ ‎⑴求椭圆的方程;‎ ‎⑵当直线过点时,求直线的方程;‎ ‎⑶(本问只作参考,不计入总分)当时,求菱形面积的最大值.‎ ‎15、解:⑴依题意,……1分,解……2分,得……3分,所以,……4分,椭圆的方程为……5分。‎ ‎⑵直线:……7分,设:……8分,由方程组得……9分,当时……10分,、的中点坐标为,……12分,是菱形,所以的中点在上,所以……13分,解得,满足,所以的方程为……14分。‎ ‎⑶(本小问不计入总分,仅供部分有余力的学生发挥和教学拓广之用)因为四边形为菱形,且,所以,所以菱形的面积,由⑵可得 ‎,因为,所以当且仅当时,菱形的面积取得最大值,最大值为。‎
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