高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题23不等式

高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题23不等式

专题 23 不等式 【标题 01】把两个不等式直接相减违背了不等式的性质 【习题 01】若 ,  满足 2 2     ， 2     ,则  的取值范围是 . 【经典错解】因为 2 2     ， 2     ,两式对应相减得 2 pp a b- < - < - ，所以  的取值范围 是 2 pp a b- < - < - . 【详细正解】因为 2     ,所以 2       ， 又因为 2 2 p pa- < < ，所以两式相加得 3 02 p a b- < - < ，所以  的取值范围是 3 02 p a b- < - < . 【习题 01 针对训练】设 (0, )2   ， [0, ]2   ，那么 2 3   的取值范围是( ) A.(0， 5 6  ) B.(－ 6  ， 5 6  ) C. (0, ) D.( , )6   【标题 02】不等式推理时忽略了不等式性质 【习题 02】“ a b ”是 “ 2 2ac bc ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【经典错解】 2 2a b ac bc   ,所以“ a b ”是 “ 2 2ac bc ”的充分条件. 2 2ac bc a b   ,所以 “ a b ”是 “ 2 2ac bc ”的必要条件，所以选 C . 【详细正解】 2 2a b ac bc 不能推出 ,因为 0c  时，不等式 2 2ac bc 不成立，所以“ a b ”是 “ 2 2ac bc ”的非充分条件. 2 2ac bc a b   ,所以“ a b ”是 “ 2 2ac bc ”的必要条件，所以选 B . 【深度剖析】（1）经典错解错在不等式推理时忽略了不等式性质. (2)在不等式两边同时乘以一个数时，一 定要注意这个数是正数，还是负数，还是零,不能随意. 【习题 02 针对训练】给出三个条件：① 2 2ac bc ；② a b c c  ；③ 2 2a b .其能成为 a b 的充分条件的个 数为（ ） A． 0 个 B．1个 C． 2 个 D．3个 【标题 03】把不是一元二次不等式的看成了一元二次不等式导致漏解 【习题 03】对于任意实数 x ，不等式 2 1 0mx mx   恒成立，则实数 a 的取值范围（ ） A． ( , 4)  B． ( , 4]  C． ( 4,0) D． ( 4,0] 【经典错解】由题得 042  mm ,即 04  m ；综上所求实数 m 的取值范围是 ( 4,0] ,故选 C. 【详细正解】当 0m 时,不等式显然成立；当 0m 时, 042  mm ,即 04  m ；综上所求实数 m 的取值范围是 ( 4,0] ,故选 D. 【习题 03 针对训练】若不等式 对任意实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【标题 04】经典错解错在不讲逻辑在解分式不等式的两边同时乘了分母 【习题 04】解不等式 【经典错解】由题得 2 3 2 5x x x      ，所以解集为 ( 5, )  【详细正解】   2 3 2 3 51 1 0 0 5 2 02 2 2 x x x x xx x x               5 2x x   或 ，解集为    , 5 2,x    【深度剖析】（1）经典错解错在不讲逻辑在解分式不等式的两边同时乘了分母.(2)由于分母 2x  不知道 是正数还是负数，所以不能在不等式的两边同时乘以 2x  ，此时要么分类讨论，要么按照详细正解解答. 【习题 04 针对训练】不等式 11 1 x 的解集为（ ） A． ),1[]0,(   B． ),0[  C． ),1(]0,(   D． ),1()1,0[  【标题 05】没有把一元二次不等式的二次项的系数变成正数 【习题 05】不等式－x2－x＋2＜0 的解集为（ ） A. {x｜x＜－2 或 x＞1 } B. {x｜－2＜x＜1 } C. {x｜x＜－1 或 x＞2 } D. {x｜－1＜x＜2 } 【经典错解】由题得 ( 1)( 2) 0 2 1x x x       故选 B. 【详细正解】不等式变形为   2 2 0 2 1 0 1 2x x x x x x          或 ，所以不等式解集为{x｜x ＜－2 或 x＞1 },故选 A. 【习题 05 针对训练】不等式 (1 2 ) 0x x  的解集为 【标题 06】图像分析不彻底 【习题 06】变量 yx、 满足线性约束条件 3 2 0 2 1 x y y x y x           ，则目标函数 ykxz  ，仅在点 (0,2) 取得最 小值，则 k 的取值范围是( ) A． 3k   B． 1k  C． 3 1k   D． 1 1k   【经典错解】作出不等式组对应的平面可行域（如图所示） ykxz  ， 所以 y kx z  ，当 z 最小时，直线在 y 轴上的纵截距最大，当动直线 PM 的斜率大于直线 PR 的斜率 3 时，目标函数 z kx y  ，仅在点 (0,2) 取得最小值，则 k 的取值范围是 3k   ，所以选 择 A . 【详细正解】作出不等式组对应的平面可行域（如上图所示）， z kx y  ，所以 y kx z= - ，当 z 最小时 直线在 y 轴上的纵截距最大，当动直线 PM 的斜率大于直线 PR 的斜率 3 且小于直线 PQ 的斜率1时，目 标函数 ykxz  ，仅在点 (0,2) 取得最小值，则 k 的取值范围是 3 1k   ，所以选择C . 【习题 06 针对训练】若 ,x y 满足约束条件 1, 1, 2 2, x y x y x y          目标函数 2z ax y  仅在点 (1,0) 处取得最小值，则 实数 a 的取值范围是（ ） A. ( 4,2) B. ( 4,1) C. ( , 4) (2, )   D. ( , 4) (1, )   【标题 07】画线性约束条件对应的平面区域时出现错误 【习题 07】已知 1 1 2 2 log ( 4) log (3 2)x y x y     ,若 x y   恒成立, 则  的取值范围是 . 【经典错解】要使不等式成立,则有 4 0 3 2 0 4 3 2 x y x y x y x y              ,即 4 0 3 2 0 3 x y x y x          ,设 z x y  ,则 y x z  . 作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线 y x z  ,由图象可知当直线 y x z  经过点 B 时,直线的截 距最小,此时 z 最大,由 4 0 3 x y x      ,解得 7 3 y x     ,代入 z x y  得 3 7 10z x y     ,所以要使 x y   恒成立,则  的取值范围是 10l > ,即 (10, )+¥ , 【习题 07 针对训练】已知实数 ,x y 满足： 2 1 0 2 1 0 x y x x y          ， 2 2 1z x y   ，则 z 的取值范围是( ) A． 5[ ,5]3 B． 0,5 C． 0,5 D． 5[ ,5)3 【标题 08】把动点对应的平面区域扩大了 【习题 08】直角坐标系 xoy 中，已知两定点 (1,0)A ， (1,1)B .动点 ( , )P x y 满足      10 20 OAOP OBOP ，则点 ( , )M x y x y  构成的区域的面积等于 . 【经典错解】由      10 20 OAOP OBOP ，得      10 20 x yx ,所以 1 0x   ，和不等式 0 2x y   对应相加 得 1 2y   ， 所以 2 1y    ，所以 2 2x y    .以 x y 为横坐标，以 x y 为纵坐标，作一个矩 形，得矩形的面积为8 . 【详细正解】由      10 20 OAOP OBOP ，得      10 20 x yx 设 M（s，t），则 s x y t x y      ，解得 1 ( )2 1 ( )2 x s t y s t       ，由 0 2 0 1 x y x       ，得 0 2 0 2 s t s       .作出不等式组对应 的平面区域，是一个平行四边形，计算得平面区域的面积为 4 ，所以填 4 . 【习题 08 针对训练】已知点 ( , )M a b 在由不等式 0, 0, 2, x y x y       确定的平面区域内，则点 ( , )N a b a b  所在 的平面区域面积是 ________. 【标题 09】思维不严谨 【习题 09】设变量 ,x y 满足约束条件 1 6 2 x y x y y         ，则目标函数 z xy 的取值范围为（ ） A．[2,8] B． 35[2, ]4 C．[2,9] D． 35[8, ]4 【经典错解】如图，可行域为 ABC 的边界及内部，双曲线 zy x = 与可行域有公共点时，由于最优解一般 在顶点取得，所以把点 ,B,CA 的坐标代入得选择 B . 【详细正解】如图，可行域为 ABC 的边界及内部，双曲线 zy x = 与可行域有公共点时，当曲线经过点 A 时， z 最小，当曲线和直线 BC 相切时， z 最大.联立 6 zy x x y ì =ïíï + =î 得 2 6 0 36 4 0x x z z- + = D = - = 9z = 所以 2 9z  ．故选C ． 【习题 09 针对训练】已知实数 ,x y 满足 1 3 5 4 y x x x y        ，则 2x y 的最小值是 . 【标题 10】不等式性质理解不透彻 【习题 10】已知 2( )f x ax c  ，且 4 (1) 1f    ， 1 (2) 5f   ，则 (3)f 的取值范围是 . 【经典错解】∵ (1)f a c  ， (2) 4f a c  ，所以 4 1a c     , 1 4 5a c    . 所以1 4c a   1 4 5a c    两式相加得 0 3a  所以 0 9 27a  因为 4 1a c     , 1 4 5a c    所以 16 4 4 4a c     5 4 1c a    两式相加得1 7c  所以 7 1c     因为 (3) 9f a c  所以 7 9 26a c    所以 (3)f 的取值范围是[ 7,26] . 【详细正解】∵ (1)f a c  ， (2) 4f a c  ，∴ 1[ (2) (1)]3a f f  ． 4 1(1) (2)3 3c f f   ， ∴ 8 5(3) 9 (2) (1)3 3f a c f f    ．∵ 1 (2) 5f   ， 8 8 40(2)3 3 3f   . 又 4 (1) 1f    ， 5 5 20(1)3 3 3f   . ∴ 1 (3) 20f   . 【习题 10 针对训练】已知 1 3 1 1 x y x y        ，则 6 3x y 的取值范围是________. 【标题 11】利用基本不等式时忽略了取等条件 【习题 11】下列命题中正确的是( ) A．当 10 1,lg 2lgx x x x > ¹ + ³且 B．当 0 2   ， 2sin sin   的最小值为 2 2 C．当 0x ， 21  x x D．当 10 2 ,x x x   时 无最大值 【经典错解】基本不等式使用时注意“一正、二定、三相等”，选项 A 中的 lg x 的符号不确定，可正可负； 选项 B 中， sin (0.1]q Î ， 2 2sin 2 sin 2 2sin sin     ，所以选择 B . 【详细正解】基本不等式使用时注意“一正、二定、三相等”，选项 A 中的 lg x 的符号不确定，可正可负； 选项 B 当且仅当 2sin  时取到等号，而 sin 的最大值为1； 0x ， 2121  x x x x 当且仅当 1x 取到等号.所以选择C . 【习题 11 针对训练】若直线 )0,(022  babyax 始终平分圆 082422  yxyx 的周长，则 ba 1 2 1  的最小值为 . 【标题 12】忽略了线性约束条件中不等式的等号 【习题 12】某所学校计划招聘男教师 x 名，女教师 y 名，x 和 y 须满足约束条件       6 2 52 x yx yx ，则该校招聘 的教师最多是 名． A．6 B．8 C．10 D．13 【经典错解】招聘老师的人数 z x y  ,作出不等式组对应的可行域，当直线 y x z   经过可行域的点 (6,7) 时， z 最大 6 7 13   ，故选 D . 【详细正解】招聘老师的人数 z x y  ,作出不等式组对应的可行域，当直线 y x z   经过可行域的点 (5,5) 时， z 最大 5 5 10   ，故选C . 【深度剖析】（1）经典错解错在忽略了线性约束条件中不等式的等号. （2）不等式组中的第三个不等式 6x  ，没有等号,所以点 (6,7) 不在可行域内，所以点 (6,7) 不是最优解.所以要找其他的整数点. 【习题 12 针对训练】已知实数 yx, 满足：       01 2 012 yx x yx ， |122|  yxz ，则 z 的取值范围是( ) A． ]5,3 5[ B． )5,0[ C． ]5,0[ D． )5,3 5[ 【标题 13】找整数点时没有关注最优解要在线性约束条件的可行域内 【习题 13】某工厂生产甲、乙两种产品，需要经过金工和装配两个车间加工，有关数据如表： 试问应加工这两种产品各多少件才能使工厂获得的利润最大？ 【经典错解】解：设共生产甲、乙两种产品各 x 件和 y 件，工厂获得的利润为 z，则 4 3 480 2 5 500 0, 0 , x y x y x y x y N          z=300x＋520y． 作出可行域(如图)． 考虑 z=300x＋520y，将它变形为 15 1 26 520y x z   ，这是斜率为 15 26  、随 z 变化的一族平行直线． 1 520 z 是直线在 y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时 目标函数 z=300x＋520y 取得最大值． 由图可见，当直线 z=300x＋520y 经过可行域上的点 M 时，截距最大，即 z 最大． 4 3 480 2 5 500 x y x y      得 M 的坐 标为 2 2(64 ,74 )7 7 ．取最靠近点 M 的点，逐一检验，得（63,75）是最优解. 所以 max 300 63 520 75 57900z      所以加工这两种产品各 63 和 75 件时，工厂获得的利润最大． 【详细正解】前面同上.但是点（63,75）不满足线性约束条件中的 2x+5y≤500，所以点（63,75）根本不在 可行域内，接着取点 M 附近的点（这些点必须满足线性约束条件）,得点（64,74）是最优解.所以 max 300 64 520 74 57680z      ，所以加工这两种产品各 64 和 74 件时，工厂获得的利润最大． 【习题 13 针对训练】某人有楼房一幢，室内面积共计 180m2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每 间面积为 18m2，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费 40 元；小房间每间面积为 15m2，可以住游客 3 名，每 名游客每天住宿费 50 元；装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需要 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，每天能获得最大的房租收益？（注： 设分割大房间为 x 间，小房间为 y 间，每天的房租收益为 z 元） （1）写出 x,y 所满足的线性约束条件； （2）写出目标函数的表达式； （3）求 x,y 各为多少时，每天能获得最大的房租收益？每天能获得最大的房租收益是多少？ 【标题 14】误认为线性规划的所有最值都是在顶点取得 【习题 14】设变量 yx, 满足约束条件       2 2 1 y yx yx ，则目标函数 22 yxz  的取值范围为 _______. A． ]8,2[ B． ]13,4[ C． ]13,2[ D． ]13,2 5[ 【经典错解】画出不等式组对应的平面区域，得它是一个以 3 1(0,2), ( , ), (3,2)2 2A B C 为顶点的一个三角形， 当 3, 2x y  时， 2 2 max 3 2 13z    ，当 3, 2x y  时， 2 2 min 3 1 5( ) ( )2 2 2z    .故选 D. 【详细正解】画出不等式组对应的平面区域，得它是一个以 3 1(0,2), ( , ), (3,2)2 2A B C 为顶点的一个三角形， 2 2 2 2 2( ( 0) ( 0) )z x y x y      ,它表示平面区域内的点（x,y）到原点（0,0）的距离的平方. 当 3, 2x y  时 ， 2 2 max 3 2 13z    . 原 点 到 直 线 x+y-2=0 的 距 离 为 | 2 | 2 1 1 d    ， 所 以 2 min 2 2z   ，故选 C. 【深度剖析】（1）经典错解错在误认为线性规划的所有最值都是在顶点取得.(2)线性规划的问题一般在顶 点取到最值，但是并不代表所有的情况都是如此.最好是利用数形结合画图分析.本题的最小值就不是在顶 点取得，是在垂足那一点取得. 【习题 14 针对训练】已知 x y， 满足约束条件 2 2 0 2 4 0 3 3 0 x y x y x y            ，目标函数 2 2z x y  的最大值为（ ） A. 2 5 5 B. 4 5 C. 13 D.13 高中数学经典错题深度剖析及针对训练 第 23 讲：不等式参考答案 【习题 01 针对训练答案】 D 【习题 01 针对训练解析】由题设得 0 2   ， 0 3 6    ，∴ 06 3      ，∴ 26 3       . 故选 D . 【习题 02 针对训练答案】 B 【习题 02 针对训练解析】①中 0c  ，故①能推出 a b ；②中，若 0c  时得 a b ，故②不能推出 a b ； ③中，当 2, 1a b    时有 2 2a b ，但不能得出 a b ；故能成为 a b 的充分条件只有①，故选 B . 【习题 04 针对训练答案】C 【习题 04 针对训练解析】原不等式可化为  1 1 0 0 1 0, 11 1 x x x xx x          ，解得 ( ,0] (1, )x   .故选 C. 【习题 05 针对训练答案】 )2 1,0( 【习题 05 针对训练解析】 0)21(  xx ，得 0)12( xx 可得 2 10  x . 【习题 06 针对训练答案】 A 【习题 06 针对训练解析】作出不等式组表示的区域，直线 2z ax y  的斜率为 2 ak   ，从图可看出，当 1 2k   即 1 2, 4 22 a a       时，仅在点 (1,0) 处取得最小值.故选 A . 【习题 07 针对训练答案】C 【习题 07 针对训练解析】画出 ,x y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令 2 2 1u x y   ，则 1 2 uy x   ，先画出直线 y x ，再平移直线 2 2 9x y  ，当经过点 (2, 1)A  ， 1 2( , )3 3B 时，代入u ，可 知 5 53 u   ，∴ | | [0,5)z u  ，故选C ． 【习题 09 针对训练答案】 4 【习题 09 针对训练解析】因为实数 ,x y 满足 1 3 5 4 y x x x y        ，如图所示，令 2x y k ,所以 2xy k  .由于当 0k  时抛物线的开口向下，所以不合条件.所以 0k  ，有两种情况当 k 取最小值即抛物线过点 3 1( , )2 2A .所以 2x y 的最小值是 9 2 .当抛物线与直线 31 0( 3)2x y x     相切的情况， 4k  ，即 2x y 的最小值是 4 . 【习题 11 针对训练解析】由 082422  yxyx 得   2 22 1 13x y    ，则圆心坐标为 2,1 ， ∵直线 )0,(022  babyax 平分圆的周长，即直线过圆心， ∴ 1a b  ，∴  1 1 1 1 3 3 3 2 222 2 2 2 2 2 b aa ba b a b a b              ， 当且仅当 2 b a a b  ，即 2 1, 2 2a b    时取等号， ∴ ba 1 2 1  的最小值为 3 2 2 2  . 【习题 12 针对训练答案】 B 【习题 12 针对训练解析】作出可行域如下图所示： 【习题 13 针对训练解析】 根据题意得： (1) 18 15 180 1000 600 8000 , x y x y x y N               Nyx yx yx , 4035 6056 【习题 14 针对训练答案】B 【习题 14 针对训练解析】在直角坐标系内作出不等式组 2 2 0 2 4 0 3 3 0 x y x y x y            所表示的平面区域，如下图所示，目 标函数 2 2z x y  中 z 的几何意义为坐标原点与可行域内点连线距离的平方，由图可知，其最小值为原点到 直线 2 2 0x y   距离的平方，所以 2 min 2 2 2 4 51 2 z      ，故选 B.