江苏省2020届高三下学期2月模拟考试数学试题 Word版含解析

江苏省2020届高三下学期2月模拟考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 江苏省2020年2月高三最后一届特供模拟试卷数学试题含附加题 一､填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.请把答案写在答题纸的指定位置上.‎ ‎1.已知集合A={﹣2,1,},B={x|x2＞2},则A∩B=_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合B,再求A∩B得解.‎ ‎【详解】∵集合A={﹣2,1,},‎ B={x|x2＞2}={x|x或x},‎ ‎∴A∩B={﹣2}.‎ 故答案为:{﹣2}.‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎2.设i为虚数单位,若复数满足,则的虚部为_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知求出复数z，再求出及其虚部.‎ ‎【详解】由(1﹣i)z=i,得z,‎ ‎∴,‎ 则的虚部为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数和复数虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎3.采取分层抽样的方式从军区总院和鼓楼医院共抽取100名医生支援湖北,已知从军区总院全体900名医生中抽取的人数为40,则鼓楼医院的医生总人数为_____.‎ - 26 -‎ ‎【答案】1350.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出从鼓楼医院抽取的医生总人数为60, 设鼓楼医院的医生总人数为m,所以,解方程即得解.‎ ‎【详解】已知从军区总院全体900名医生中抽取的人数为40,‎ 则从鼓楼医院抽取的医生总人数为100﹣40=60,‎ 设鼓楼医院的医生总人数为m,所以,∴m=1350,‎ 故答案为:1350.‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样的概念及其运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎4.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:y2﹣4x2=1的渐近线方程为_____.‎ ‎【答案】y=±2x.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出双曲线的标准方程，再求其渐近线方程得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以a2=1,b2,因为焦点在y轴上,‎ 所以渐近线的方程为:yx,即y=±2x,‎ 故答案为:y=±2x.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎5.已知某厂生产的6个网球中有2个是劣等品,且劣等品只要被检测就一定会被发现,现从这6个网球中任取3个进行检测,则检测出劣等品的概率是_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ - 26 -‎ ‎【分析】‎ 利用古典概型的概率公式求解即可.‎ ‎【详解】∵某厂生产的6个网球中有2个是劣等品,且劣等品只要被检测就一定会被发现,‎ 现从这6个网球中任取3个进行检测,‎ 基本事件总数n,‎ 检测出劣等品包含的基本事件个数m12,‎ 则检测出劣等品的概率是p.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为__________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】模拟程序的运行，可得 S=1，i=1 ‎ - 26 -‎ 满足条件S<40，执行循环体，S=3，i=2 满足条件S<40，执行循环体，S=7，i=3 满足条件S<40，执行循环体，S=15，i=4 满足条件S<40，执行循环体，S=31，i=5 满足条件S<40，执行循环体，S=63，i=6 此时，不满足条件S<40，退出循环，输出i的值为6． 故答案为：6．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是程序框图，属于基础题．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．‎ ‎7.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=4S5=100,则an的通项公式为_____.‎ ‎【答案】an=2n﹣1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过解方程组得到a1=1,d=2,即得等差数列的通项.‎ ‎【详解】设公差为d,由S10=4S5=100,可得,解得a1=1,d=2,‎ 故an=2n﹣1,‎ 故答案为:an=2n﹣1.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和基本量的计算，考查等差数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则不等式f（1）＜f(2lgx)的解集为_____.‎ ‎【答案】{x|x或0＜x}.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得1<2|lgx|，解不等式得解.‎ ‎【详解】∵函数f(x)是偶函数,‎ - 26 -‎ ‎∴∀x∈R,都有f(﹣x)=f(x)=f(|x|);‎ 又∵由于f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,‎ ‎∴不等式f（1）＜f(2lgx)⇔f（1）＜f(|2lgx|)⇔1<2|lgx|;‎ ‎∴lgx或lgx.‎ 解得x或0＜x;‎ 不等式f（1）＜f(2lgx)的解集为:{x|x或0＜x}.‎ 故答案为:{x|x或0＜x}.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查对数不等式和绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9.在平面直角坐标系xOy中,奇函数y=f(x)的图象可由函数g(x)=cos(3x+φ)(|φ|)的图象向左平移个单位得到,则φ=_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把函数g(x)=cos(3x+φ)(|φ|)的图象向左平移个单位得到y=cos(3xφ)的图象,‎ 所以φ=kπ,k∈Z,解方程即得解.‎ ‎【详解】由题意可得函数g(x)=cos(3x+φ)(|φ|)的图象向左平移个单位得到奇函数y=f(x)的图象,‎ 而把函数g(x)=cos(3x+φ)(|φ|)图象向左平移个单位得到y=cos(3xφ)的图象,‎ ‎∴φ=kπ,k∈Z,∴φ,‎ 故答案为:.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数图象的变换，考查三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10.已知某四面体A﹣BCD的两个面ABC和BCD均是边长为2的正三角形,且AD=1,则该四面体的体积为_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取AD中点O,连接OB,OC,求出OB,OC，先求出和该四面体的体积.‎ ‎【详解】如图,‎ ‎△ABC与△BCD均为等边三角形,边长为2,AD=1,‎ 取AD中点O,连接OB,OC,可得OB=OC,‎ 且AD⊥平面OBC ‎∴.‎ ‎∴.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中,A的坐标为(2,0),B是第一象限内的一点,以C为圆心的圆经过O､A､B三点,且圆C在点A,B处的切线相交于P,若P的坐标为(4,2),则直线PB的方程为_____.‎ ‎【答案】x+7y﹣18=0.‎ - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出圆C（1,1），半径r=|AC|, 设PB的方程为y﹣2=k(x﹣4),由题得，解方程即得解.‎ ‎【详解】根据题意,A的坐标为(2,0),以C为圆心的圆经过O､A､B三点,‎ 则圆心C在线段OA的垂直平分线上,‎ 设圆心C的坐标为(1,b),‎ 圆C在点A,B处的切线相交于P,若P的坐标为(4,2),则kPA1,则kAC1,‎ 解可得:b=1,即C(1,1),圆C的半径r=|AC|,‎ 其圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,直线PB的斜率必定存在,‎ 设PB的方程为y﹣2=k(x﹣4),即kx﹣y﹣4k+2=0,‎ 则有,解可得k或1(舍);‎ 故PB的方程为y﹣2(x﹣4),变形可得x+7y﹣18=0;‎ 故答案为:x+7y﹣18=0.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎12.已知函数f(x),若g(x)=f(x)﹣kx有两个不等的零点,则实数k的取值范围为_____.‎ ‎【答案】（﹣∞，1）∪（e，e）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等价于k有2个不等实根有2个不等根，设h（x）‎ - 26 -‎ ‎，作出函数的图象分析得解.‎ ‎【详解】函数g（x）＝f（x）﹣kx有两个不等的零点，即方程f（x）＝kx有2个不等根，‎ 因为x≠0，所以也等价于k有2个不等实根，根据条件令h（x），‎ 因为x＜0时，h（x）＝11，‎ x＞0时，h′（x），当0＜x＜e时，h（x）单调递增，当x＞e时，h（x）单调递减，‎ 且当x→+∞时，h（x）→e，‎ 作出函数h（x）的图象如图：‎ 根据图象可知，k∈（﹣∞，1）∪（e，e），‎ 故答案为：（﹣∞，1）∪（e，e）．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查利用导数研究函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎13.在△ABC中,D为AC的中点,若cos∠DBC,cos∠DBA,且•2,则的值为_____.‎ - 26 -‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得b2=4+a2﹣c2,再根据cos∠ABC=cos(∠DBA+∠DBA)求出c2，即得的值.‎ ‎【详解】记AB=c,AC=b,BC=a,‎ 则•cbcos∠BAC2,即b2=4+a2﹣c2,‎ 因为D为AC的中点,所以S△DCB=S△DBA,即,所以a,‎ 又由cos∠ABC=cos(∠DBA+∠DBA),解得c2,‎ 则acc2,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查和角的余弦公式的应用和平面向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中,异于原点的A､B､C三点满足OA2+2OB2+3OC2=6,则△ABC面积的最大值为_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图,以A为坐标原点建立坐标系,设AB=a,O(x,y),先求出y的最大值为,再求出，再利用基本不等式求出△ABC面积的最大值得解.‎ ‎【详解】如图,以A为坐标原点建立坐标系,设AB=a,O(x,y),‎ ‎∵OA2+2OB2+3OC2=6,‎ ‎∴OA2+2OB2=6﹣3OC2,‎ ‎∴x2+y2+2[(x﹣a)2+y2]=6﹣3OC2,化简得,‎ - 26 -‎ 所以y的最大值为,‎ 所以,‎ 所以,当且仅当“”时取等号,经验证成立.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查坐标法解决最值问题，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 二､解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.已知角θ∈(0,π),且满足sinθ.‎ ‎（1）若θ是锐角,求tan(θ);‎ ‎（2）若θ是钝角,求cos(2θ).‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出，代入差角的正切公式得解；（2）先求出，再代入和角的余弦公式得解.‎ ‎【详解】（1）∵θ是锐角,‎ - 26 -‎ ‎∴cosθ＞0,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴;‎ ‎（2）∵θ是钝角,‎ ‎∴cosθ＜0,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的余弦和差角的正切公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎16.将正方体ABCD﹣A1B1C1D1沿三角形A1BC1所在平面削去一角可得到如图所示的几何体.‎ ‎（1）连结BD,BD1,证明:平面BDD1⊥平面A1BC1;‎ ‎（2）已知P,Q,R分别是正方形ABCD､CDD1C1､ADD1A1的中心(即对角线交点),证明:平面PQR∥平面A1BC1.‎ ‎【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接AC,证明A1C1⊥平面BDD1, 平面BDD1⊥平面A1BC1即得证;（2）连接A1D,BD,C1D,证明PQ∥平面A1BC1,PR∥平面A1BC1, 平面PQR∥平面A1BC1即得证.‎ - 26 -‎ ‎【详解】（1）连接AC,∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1,‎ ‎∴AA1∥CC1,‎ ‎∴A,A1,C,C1共面,‎ ‎∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1,‎ ‎∴DD1⊥平面A1C1D1,‎ ‎∵A1C1在平面A1C1D1内,‎ ‎∴DD1⊥A1C1,‎ ‎∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1,‎ ‎∴四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ ‎∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1,‎ ‎∴AA1⊥平面ABCD ‎∵BD在平面A1C1D1内,‎ ‎∴AA1⊥BD,‎ ‎∵AC∩AA1=A且都在平面AA1C1C捏,‎ ‎∴BD⊥平面AA1C1C,‎ ‎∵A1C1在平面AA1C1C内,‎ ‎∴BD⊥A1C1,‎ ‎∵BD∩DD1=D,且都在平面BDD1内,‎ ‎∴A1C1⊥平面BDD1,‎ ‎∵A1C1在平面A1BC1内,‎ ‎∴平面BDD1⊥平面A1BC1;‎ ‎（2）连接A1D,BD,C1D,‎ ‎∵P,Q,R分别是正方形ABCD,CDD1C1,ADD1A1的中心,‎ ‎∴P,Q,R分别是BD,C1D,A1D的中点,‎ ‎∴PQ∥BC1,‎ ‎∵BC1在平面A1BC1内,PQ不在平面A1BC1内,‎ ‎∴PQ∥平面A1BC1,‎ 同理可得PR∥平面A1BC1,‎ - 26 -‎ 又PQ∩PR=P且都在平面PQR内,‎ ‎∴平面PQR∥平面A1BC1.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化能力.‎ ‎17.某工厂打算设计一种容积为2m3的密闭容器用于贮藏原料,容器的形状是如图所示的直四棱柱,其底面是边长为x米的正方形,假设该容器的底面及侧壁的厚度均可忽略不计.‎ ‎（1）请你确定x的值,使得该容器的外表面积最小;‎ ‎（2）若该容器全部由某种每平方米价格为100元的材料做成,且制作该容器仅需将购置的材料做成符合需要的矩形,这些矩形即是直四棱柱形容器的上下底面和侧面(假设这一过程中产生的费用和材料损耗可忽略不计),再将这些上下底面和侧面的边缘进行焊接即可做成该容器,焊接费用是每米500元,试确定x的值,使得生产每个该种容器的成本(即原料购置成本+焊接费用)最低.‎ ‎【答案】（1）当时,该容器的表面积最小.（2）当时,生产每个容器的成本最低.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设该容器高为h, 设该容器的外表面积为S,求出 - 26 -‎ ‎,再利用导数求函数的最小值得解；（2）设生产每个容器的成本为C(单位:元), 则,再利用导数求函数的最小值得解.‎ ‎【详解】（1）设该容器高为h,据体积为2m3得x2h=2,即,‎ 设该容器的外表面积为S,则,‎ 则,‎ 令S′＞0,解得,此时函数S(x)单调递增,令S′＜0,解得,此时函数S(x)单调递减,‎ ‎∴当时,该容器的表面积最小;‎ ‎（2）设生产每个容器的成本为C(单位:元),‎ 则,‎ ‎∴,‎ 令C′＞0,解得,此时函数C(x)单调递增,令C′＜0,解得,此时函数C(x)单调递减,‎ ‎∴当时,生产每个容器的成本最低;‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在实际生活中的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18.已知椭圆1(a>b>0)的左右焦点分别为F1､F2,左右顶点分别为A､B,上顶点为T,且△TF1F2为等边三角形.‎ ‎（1）求此椭圆的离心率e;‎ ‎（2）若直线y=kx+m(k>0)与椭圆交与C､D两点(点D在x轴上方),且与线段F1F2及椭圆短轴分别交于点M､N(其中M､N不重合),且|CM|=|DN|.‎ ‎①求k的值;‎ - 26 -‎ ‎②设AD､BC的斜率分别为k1,k2,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）①,②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设的半焦距为c,由题得a=2c,即得椭圆的离心率；（2）①设C(x1,y1),D(x2,y2),联立直线和椭圆方程得到，化简即得解；②先分析得到,求出，进一步分析得到的取值范围.‎ ‎【详解】（1）设的半焦距为c,‎ 由△TF1F2为等边三角形.得a=2c,‎ 即椭圆的离心率;‎ ‎（2）①设C(x1,y1),D(x2,y2),由y=kx+m,可知,N(0,m),‎ 联立y=kx+m与,整理得(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2m2﹣a2b2=0,‎ 其中△=4a2b2(a2k2+b2﹣m2)＞0,‎ 易知,x1+x2=xM+xN,即,‎ 解得,‎ 因为,k＞0,所以,‎ ‎②由M在线段F1F2,且M,N不重合,‎ 可知,,‎ - 26 -‎ 从而,‎ 即,,并结合在曲线上,则有,‎ 所以,‎ 从而可得,∈,‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的范围问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎19.已知函数且a≠1,函数.‎ ‎（1）判断并证明f(x)和g(x)的奇偶性;‎ ‎（2）求g(x)的值域;‎ ‎（3）若∀x∈R,都有|f(x)|≥|g(x)|成立,求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案见解析.（2）.（3）.‎ ‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用定义判断函数的奇偶性得解；（2）利用双勾函数的图象和性质求出值域；（3）考虑到函数f(x),g(x)都是奇函数,故只需保证x≥0时都有|f(x)|≥|g(x)|即可,再对a分两种情况a＞1和0＜a＜1讨论，利用导数求出实数a的取值范围是.‎ ‎【详解】（1）首先,f(x),g(x)的定义域都是R,是关于原点对称的,‎ 其次,f(﹣x)=a﹣x﹣a﹣(﹣x)=﹣(ax﹣a﹣x)=﹣f(x),,‎ ‎∴函数f(x),g(x)均为奇函数;‎ ‎（2）当x=0时,g(0)=0;‎ - 26 -‎ 当x≠0时,,‎ 令,则由双勾函数的性质可知,t∈(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞),‎ ‎∴即此时,‎ 综上,函数g(x)的值域为;‎ ‎（3）考虑到函数f(x),g(x)都是奇函数,故只需保证x≥0时都有|f(x)|≥|g(x)|即可,‎ 这是因为当x＜0时,|f(x)|=|f(﹣x)|,|g(x)|=|g(﹣x)|,‎ ‎①先考虑a＞1的情形,此时f(x)=ax﹣a﹣x≥1﹣1=0,g(x)≥0,‎ 因此只需当x≥0时,f(x)﹣g(x)≥0恒成立即可,‎ 令,则,‎ 令,则,‎ 当时,φ′(x)>0,即φ(x)单增,故此时φ(x)min=φ(0)=﹣1;‎ 当时,,故x=0时,φ(x)气的最小值﹣1,‎ 若,则h′(x)=(ax+a﹣x)lna+φ(x)≥2lna﹣1≥0,‎ ‎∴h(x)单增,故h(x)≥h(0)=0,符合题设;‎ 若,则,‎ 且0＜x＜1时,,h′(x)单增,‎ 故由零点存在性定理可知存在x0∈(0,1),使得h′(x0)=0,‎ 且x∈(0,x0)时h′(x)＜0,h(x)单减,当x∈(x0,1)时h′(x)＞0,h(x)单增,‎ 则h(x0)0,且xy=4,证明 - 26 -‎ ‎【答案】答案见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，再利用基本不等式证明.‎ ‎【详解】∵x,y＞0且xy=4,‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎,当且仅当x=y=2时等号成立,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎24.如图所示是一个上下底面均是边长为2的正三角形的直三棱柱,且该直三棱柱的高为4,D为AB的中点,E为CC1的中点.‎ ‎（1）求DE与平面ABC夹角的正弦值;‎ ‎（2）求二面角A﹣A1D﹣E的余弦值.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ ‎（1）如图所示,建立空间直角坐标系.利用向量法求DE与平面ABC夹角的正弦值;（2）利用向量法求二面角A﹣A1D﹣E的余弦值.‎ ‎【详解】（1）如图所示,建立空间直角坐标系.‎ D(,,0),E(0,2,2),,,2),‎ 平面ABC的法向量为(0,0,1).‎ ‎∴DE与平面ABC夹角的正弦值=|cos,|.‎ ‎（2）设平面A1DE的法向量为(x,y,z),由••0,可得y+2z=0,2y﹣2z=0,‎ 取(7,,).‎ 同理可得平面AA1D的法向量,,0),‎ ‎∴cos,.‎ ‎∴二面角A﹣A1D﹣E的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎25.在平面直角坐标系xOy中,已知点A1,A2,…,An,…⇌B1,B2,…,Bn,…均在抛物线x=y2上,线段AnBn与x轴的交点为Hn.将△OA1B1,△H1A2B2,…,△HnAn+1Bn+1,…的面积分别记为S1,S2,…,Sn+1,….已知上述三角形均为等腰直角三角形,且它们的顶角分别为O,H1,…,Hn,….‎ - 26 -‎ ‎（1）求S1和S2的值;‎ ‎（2）证明:n≤sn≤n2.‎ ‎【答案】（1）,.（2）答案见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由OA1:y=x与x=y2联立可得S1=1, 由H1A2:y=x﹣1与x=y2联立可得S2=;（2）设A1,A2,…,An,…的纵坐标为x1,x2,…,xn,…,求得xn+1,再利用数学归纳法证明n≤Sn≤n2.‎ ‎【详解】（1）由OA1:y=x与x=y2联立可得x=0或1,故A1(1,1),即S1=1,‎ 由H1A2:y=x﹣1与x=y2联立可得x,‎ 故A2(,),‎ 因此S2=()2;‎ ‎（2）设A1,A2,…,An,…纵坐标为x1,x2,…,xn,…,‎ 可得Sn=xn2,且HnAn+1:y=x﹣(xn+xn﹣1+…+x1),‎ 与x=y2联立可得xn+1=xn+12﹣(xn+xn﹣1+…+x1),即=xn+12,‎ 将=xn+12,与=xn2，相减可得xn+1=xn+12﹣xn2,‎ 进而解得xn+1,‎ - 26 -‎ 下面运用数学归纳法证明n≤Sn≤n2.‎ 当x=1,2时,S1=1,S2=,符合题意;‎ 当n=k时,假设xk≤k成立,‎ 一方面,xk+1‎ ‎0,即有xk+1;‎ 另一方面,xk+1﹣(k+1)(k+1)‎ ‎(k)≤0,即有xk+1≤k+1.‎ 可得n=k+1时,xk+1≤k+1.‎ 因此xn≤n即n≤Sn≤n2.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎ ‎ - 26 -‎ - 26 -‎