江苏高考数学总复习专题椭圆试题含解析

江苏高考数学总复习专题椭圆试题含解析

专题10.1 椭圆 ‎【三年高考】‎ ‎1．【2017江苏】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c．‎ 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，‎ 解得，于是，因此椭圆E的标准方程是．‎ 因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 从而直线的方程：， ①‎ 直线的方程：． ②‎ 由①②，解得，所以．‎ 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或．‎ 又在椭圆E上，故．‎ 由，解得；，无解．‎ 因此点P的坐标为．‎ ‎【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系 ‎【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲 线上（点的坐标满足曲线方程）等．‎ ‎2. 【2014江苏，理17】如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.‎ ‎（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求椭圆离心率的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系的两个等量关系，本题中椭圆过点，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于的方程，另外，这样两个等量关系找到了；（2）要求离心率，就是要列出关于的一个等式，题设条件是，即，，要求，必须求得的坐标，由已知写出方程，与椭圆方程联立可解得点坐标，则，由此可得，代入可得关于的等式，再由可得的方程，可求得.‎ 试题解析：（1）由题意，，，，又，∴，解得．∴椭圆方程为．‎ ‎（2）直线方程为，与椭圆方程联立方程组，解得点坐标为，则点坐标为，，又，由得，即，∴，化简得．‎ ‎3．【2013江苏，理12】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为(a＞0，b＞0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若，则椭圆C的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为，即bx＋cy－bc＝0.于是可知，.‎ ‎∵，∴，即.‎ ‎∴a2(a2－c2)＝‎6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝.‎ ‎∴.‎ ‎4．【2017浙江，2】椭圆的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，选B．‎ ‎【考点】 椭圆的简单几何性质 ‎【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．‎ ‎5.【2017课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A‎1A2‎ 为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【考点】 椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系 ‎【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式e＝ ；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).‎ ‎6．【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P‎2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.‎ 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.‎ 因此，解得.‎ 故C的方程为.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.‎ ‎【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.‎ ‎7．【2016高考新课标1文数改编】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为　　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图,由题意得在椭圆中,‎ 在中,,且,代入解得 ‎,所以椭圆得离心率得．‎ y x O B F D 考点：椭圆的几何性质 ‎【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c的齐次方程,方程两边同时除以a的最高次幂,转化为关于e的方程,解方程求e .‎ ‎8．【2016高考新课标Ⅲ文数改编】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由，得，即，整理，得，所以椭圆离心率为．‎ 考点：椭圆方程与几何性质．‎ ‎【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得 的值；（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．‎ ‎9．【2016高考北京文数】（本小题14分）‎ 已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.‎ ‎（I）求椭圆C的方程及离心率；‎ ‎（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知a,b的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线的值求乘积为定值即可.‎ 试题解析：（I）由题意得，，．‎ 所以椭圆的方程为．‎ 又，‎ 所以离心率．‎ ‎（II）设（，），则．‎ 又，，所以，‎ 直线的方程为．‎ 令，得，从而．‎ 直线的方程为．‎ 令，得，从而．‎ 所以四边形的面积 ‎．‎ 从而四边形的面积为定值．‎ 考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.‎ ‎【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.‎ ‎10．【2016高考山东文数】(本小题满分14分)‎ 已知椭圆C:（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.‎ ‎(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.‎ ‎(ii)求直线AB的斜率的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为 .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)分别计算即得.‎ ‎(Ⅱ)(i)设，‎ 利用对称点可得 ‎ 得到直线PM的斜率，直线QM的斜率，即可证得.‎ ‎(ii)设，分别将直线PA的方程，直线QB的方程与椭圆方程 联立，‎ 应用一元二次方程根与系数的关系得到、及用表示的式子，进一步应用基本不等式即得.‎ 试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，‎ 由题意知，‎ 所以，‎ 所以椭圆C的方程为.‎ ‎(Ⅱ)(i)设，‎ 由，可得 ‎ 所以 直线PM的斜率 ，‎ 直线QM的斜率.‎ 此时，所以为定值.‎ ‎(ii)设，‎ 直线PA的方程为，‎ 直线QB的方程为.‎ 联立 ，‎ 整理得.‎ 由可得 ，‎ 所以，‎ 同理.‎ 所以，‎ ‎ ，‎ 所以 ‎ 由，可知，‎ 所以 ，等号当且仅当时取得.‎ 此时，即，符号题意.‎ 所以直线AB 的斜率的最小值为 .‎ 考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.‎ ‎【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎11．【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得 ‎，故圆的方程为.‎ ‎12．【2015高考安徽，理20】设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.‎ ‎（I）求E的离心率e；‎ ‎（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.‎ ‎【解析】（I）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得，故.‎ ‎ （II）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.又点在直线上，且,从而有解得，所以，故椭圆的方程为.‎ ‎13.【2015高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且 ‎（1）若，求椭圆的标准方程 ‎（2）若求椭圆的离心率 ‎【解析】 (1)由椭圆的定义，设椭圆的半焦距为c，由已知，因此即从而，故所求椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)解法一：如图(21)图，设点P在椭圆上，且，则，求得由,得,从而由椭圆的定义，,从而由，有，又由，知，因此，于是解得.‎ 解法二：如图(21)图由椭圆的定义，,从而由 ‎，有，又由，知，因此,,从而 由,知，因此 ‎14.【2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎x D O M N y ‎【解析】（Ⅰ）设点，，依题意，，且，所以，且，即且 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有. ‎ 当直线的斜率存在时，设直线， 由 消去，可得.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，‎ 所以，即. ①‎ 又由 可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得. ②‎ 将①代入②得，. 当时，；‎ 当时，.因，则，，所以，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.‎ ‎15.【2015高考陕西，理20】（本小题满分12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，‎ 的直线的距离为．‎ ‎（I）求椭圆的离心率；‎ ‎（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，‎ 两点，求椭圆的方程．‎ ‎【解析】（I）过点，的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率.‎ ‎(II)解法一：由（I）知，椭圆的方程为. (1)‎ 依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得，设则由，得解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.‎ 解法二：由（I）知，椭圆的方程为. (2)‎ 依题意，点，关于圆心对称，且.设则，，两式相减并结合得.易知，不与轴垂直，则，所以的斜率因此直线方程为，代入(2)得所以，.于是 ‎.由，得，解得.故椭圆的方程为.‎ ‎ ‎ ‎【2018年高考命题预测】‎ 纵观2017各地高考试题，对椭圆的考查，重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，高考中以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，一般是难题，分值一般为5-12分. 展望2018年高考，对椭圆的考查，仍重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战2018年高考中，要熟记椭圆的定义，会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构成的三角形问题，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求椭圆的标准方程，会根据条件研究椭圆的几何性质，会用舍而不求思想处理直线与椭圆的位置关系，重点掌握与椭圆有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用.‎ ‎ ‎ ‎【2018年高考考点定位】‎ 高考对椭圆的考查有三种主要形式：一是直接考查椭圆的定义与标准方程；二是考查椭圆的几何性质；三是考查直线与椭圆的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、直线方程与两直线的位置关系、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点.‎ ‎【考点1】椭圆的定义与标准方程 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1.椭圆的定义：把平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：().‎ ‎ 注意：（1）当时，轨迹是线段.(2)当时，轨迹不存在.‎ ‎2.椭圆的标准方程：（1） 焦点在轴上的椭圆的标准方程为；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为.给定椭圆，要根据的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.(2)椭圆中关系为：.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1.利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用椭圆的定义与正余弦定理去处理.‎ ‎2.求椭圆的标准方程方法 ‎(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.‎ ‎(2)待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是椭圆；②定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.‎ ‎3.若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上，也可设椭圆方程为，可避免分类讨论和繁琐的计算.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 已知椭圆 的焦距为2,过M（1,1）斜率为-直线交曲线C于且M是线段AB的中点，则椭圆的标准方程为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题知，‎2c=2，c=1，即，①‎ 设A，，则=2，=2，③，④，‎ ‎③-④得===0，‎ ‎∴===-⑤，由①⑤解得，，故椭圆C的标准方程为，.‎ ‎2.在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线经过点，且与轴交于点F（2，0）.‎ ‎（Ⅰ）求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由于直线经过点和F（2，0）， 则根据两点式得，所求直线的方程为 ‎ 即从而直线的方程是 ‎（Ⅱ）设所求椭圆的标准方程为，由于一个焦点为F（2，0），‎ 则①， 又点在椭圆上， 则②‎ ‎ 由①②解得所以所求椭圆的标准方程为 ‎【考点2】椭圆的几何性质 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1.椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点 ‎(±c,0)‎ ‎(0，±c)‎ 焦距 ‎|F‎1F2|＝‎2c(c2＝a2－b2)‎ 范围 ‎|x|≤a；|y|≤b ‎|x|≤b；|y|≤a 顶点 长轴顶点(±a,0)，短轴顶点(0，±b)‎ 长轴顶点(0，±a)，短轴顶点(±b,0)‎ 对称性 曲线关于x轴、y轴、原点对称 曲线关于x轴、y轴、原点对称 离心率 e＝∈(0，1)，其中c＝ ‎2.点与椭圆关系（1）点在椭圆内；（2）点在椭圆上；（3）点在椭圆外.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ ‎2.椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.‎ ‎3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围.离心率与的关系为：=.‎ ‎4.椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[].‎ ‎4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1.椭圆上横坐标为2的点到右焦点的距离为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】横坐标为2的点到右焦点的距离为 ‎2.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为___________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设关于直线的对称点的坐标为，则，所以，，将其代入椭圆方程可得，化简可得，解得．‎ ‎【考点3】直线与椭圆的位置关系 ‎【备考知识梳理】‎ ‎ 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式Δ＞0，则直线与椭圆交；若△=0，则直线与椭圆相切；若△＜0，则直线与椭圆相离.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础．‎ ‎2．直线y＝kx＋b(k≠0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝ |‎ x1－x2|＝ ·＝·|y1－y2|＝·.‎ ‎3．对中点弦问题常用点差法和参数法.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1.已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为．‎ ‎（Ⅰ）若为等边三角形,求椭圆的方程;‎ ‎（Ⅱ）若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设椭圆的方程为．根据题意知, 解得, ‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）容易求得椭圆的方程为．当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为．由 得．设,则 对任意都成立， ，因为,所以,即 , 解得,即．‎ 故直线的方程为或．‎ ‎2.在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意可得，所以，即，即，即动点的轨迹的方程为；‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为,，则．由消整理得， 则，即． ． 直线，，，，即 所以，直线恒过定点．‎ ‎ ‎ ‎【两年模拟详解析】 ‎ ‎1. 【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知椭圆的左、右焦点分别为，是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎2. 【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与 椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设椭圆的左、右焦点分别为，‎ 将代入椭圆方程可得，故可设，由,‎ 可得，即有，即，‎ 可得，代入椭圆方程可得，，‎ 由，即有，解得，故.‎ ‎3. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方）.‎ ‎（1）若，求直线的方程；‎ ‎（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 解:(1) 因为，，所以，所以的坐标为（1,0），‎ 设，，直线的方程为，‎ 代入椭圆方程，得，‎ 则，． ‎ 若，则， ‎ 解得，故直线的方程为．‎ ‎（2）由（1）知，，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故存在常数，使得．‎ ‎4.【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知椭圆：（）的左焦点为，左准线方程为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知直线交椭圆于，两点.‎ ‎①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，.求证：为定值；‎ ‎②若（为原点），求面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）①②‎ ‎【解析】‎ 解：（1）由题设知，，，‎ ‎，，‎ ‎：.‎ ‎（2）①由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则.‎ 设，，直线代入椭圆得，整理得，‎ ‎ ，，.‎ 由，知，，‎ ‎ （定值）.‎ ‎②当直线，分别与坐标轴重合时，易知的面积，‎ 当直线，的斜率均存在且不为零时，设：，：，‎ 设，，将代入椭圆得到，‎ ‎，，同理，，‎ 的面积 .‎ 令 ， ，‎ 令，则 .‎ 综上所述，.‎ ‎5. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，，记直线的斜率分别为，当时，求的值.‎ ‎·‎ l T P O y x Q 第17题图 ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 解：（1）因，所以椭圆的焦点在轴上，‎ 又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距 ‎， ……………3分 所以，即，所以椭圆的方程为. ……………6分 ‎（2）方法一：设，，，‎ 联立，消去，得，‎ 所以，又，所以，‎ 所以，， ……………10分 则. …………14分 方法二：设，，， 则，‎ 两式作差，得，‎ 又，，∴，∴，‎ 又，在直线上，∴，∴，①‎ 又在直线上，∴，②‎ 由①②可得，. ……………10分 以下同方法一.‎ ‎6.【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线交椭圆于两点，线段的中点为，为坐标原点，且，‎ 求面积的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1‎ ‎【解析】‎ 解：（1）由已知得，， 解得，， ……2分 椭圆的方程是. ……4分 ‎（2）设l与x轴的交点为，直线，与椭圆交点为，，‎ 联立，，得，‎ ‎ ，‎ ‎∴ ，， ‎ ‎∴ ，即， ……6分 由，得， ……10分 则S△POQ，‎ 令， ……12分 设，则， ……14分 当且仅当，即，S△POQ， ……15分 所以△面积的最大值为1. ……16分 ‎7.【2017年第二次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若为椭圆上两不同点,线段的中点为.当三角形面积等于时，求的取值范围.‎ ‎【解析】解：（1）设椭圆的焦距为.‎ 则 ，‎ 因此椭圆方程为.………………………4分 ‎（2）①若直线垂直轴，则由 ，即………………………6分 ‎②若直线不垂直轴，设直线 ‎ 由 得 ‎ 所以 ，………………………8分 因此 ‎ ‎，当且仅当时取等号. …………12分 此时 ，‎ 因此 ‎，.‎ 综合①②得的取值范围为.………………………16分 ‎8.【2017年第三次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）‎ 已知椭圆的离心率为，上、下顶点分别为．为直线上一个动点(与轴交点除外)，直线交椭圆于另一个点 ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）若直线的斜率分别为求证：为定值；‎ ‎（3）求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）由题意得，因此椭圆方程为．……………………2分 ‎（2）设，则，‎ 因此，‎ 因为，所以为定值．………………………8分 ‎（3）由（2）得 ‎，‎ 因为，且，所以……………16分 ‎9.【2017年第一次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为，上顶点为，离心率为.椭圆上一点满足：在轴上方，且轴.‎ ‎（1）若∥，求的值；‎ ‎（2）连结并延长交椭圆于另一点.若，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）设椭圆的焦距为.‎ 因为轴，则可设.‎ 因为在椭圆上，所以，解得，即.……………2分 因为∥，所以，即.……………4分 所以.……………6分 ‎（2）设，.‎ 由（1）知，又,故，，‎ 由得，，且.‎ 解得，所以，……………9分 因为点在椭圆上，所以，变形得，‎ 因为，所以，……………13分 因为，所以，‎ 解不等式得，‎ 所以的取值范围为.……………16分 ‎10. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知是椭圆：与双曲线的一个公共焦点，A，B分别是，在第二、四象限的公共点．若，则的离心率是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设双曲线的实轴长为，为椭圆：与双曲线的另一个公共焦点，则由对称性知,因此由得．‎ ‎11．【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆（）的离心率为．为椭圆上异于顶点的一点，点满足． （1）若点的坐标为，求椭圆的方程；（2）设过点的一条直线交椭圆于两点，且，直线的斜率之积，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）因为，而，‎ 所以．‎ 代入椭圆方程，得，① ‎ 又椭圆的离心率为，所以，② ‎ 由①②，得，‎ 故椭圆的方程为．　‎ ‎（2）设，‎ 因为，所以．‎ 因为，所以，‎ 即 于是，‎ 代入椭圆方程，得，‎ 即，③‎ 因为在椭圆上，所以． ④‎ 因为直线的斜率之积为，即，结合②知．　　⑤‎ 将④⑤代入③，得，‎ 解得．‎ ‎12．【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.‎ ‎（1）求椭圆的方程;‎ ‎（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由;‎ ‎（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】（1）因为左顶点为，所以，又，所以. ‎ 又因为，‎ 所以椭圆C的标准方程为. ‎ ‎（2）直线的方程为，由消元得，.‎ 化简得，，‎ 所以，. ‎ 当时，，‎ 所以.因为点为的中点，所以的坐标为，‎ 则. ‎ 直线的方程为，令，得点坐标为，‎ 假设存在定点，使得，‎ 则，即恒成立，‎ 所以恒成立，所以即 因此定点的坐标为. ‎ ‎（3）因为，所以的方程可设为，‎ 由得点的横坐标为， ‎ 由，得 ‎ ‎ ‎，‎ 当且仅当即时取等号，‎ 所以当时，的最小值为． ‎ ‎13．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】(本小题满分16分)‎ 已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x＝－2的距离为d1，到点F(－1，0)的距离为d2，且．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B(A，B都在x轴上方)，且 ‎∠OFA＋∠OFB＝180º．‎ ‎（ⅰ）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；‎ ‎（ⅱ）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（第18题）‎ ‎【答案】（1）＋y2＝1（2）（ⅰ）y＝x＋1（ⅱ）(－2，0)‎ ‎【解析】（1）设P(x，y)，则d1＝|x＋2|，d2＝， ‎ 化简得：＋y2＝1， ‎ ‎∴椭圆C的方程为：＋y2＝1 ‎ ‎（2）（ⅰ）由（1）知A(0，1)，又F(－1，0)，∴kAF＝1，‎ ‎∵∠OFA＋∠OFB＝180º，∴kBF＝－1，‎ ‎∴直线BF方程为：y＝－1(x＋1)＝－x－1 ‎ 代入＋y2＝1得：3x2＋4x＝0，‎ 解得x＝0或x＝－，‎ ‎∴B(－，).，kAB＝‎ ‎∴直线AB的方程为：y＝x＋1 ‎ ‎（ⅱ）由于∠OFA＋∠OFB＝180º，所以kAF＋kBF＝0 ‎ 设直线AB方程为：y＝kx＋b，代入＋y2＝1‎ 得：(k2＋)x2＋2kbx＋b2－1＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝ ‎ 所以，kAF＋kBF＝＝0‎ 所以，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝2kx1x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b ‎＝2k×－(k＋b)×＋2b＝0‎ ‎∴b－2k＝0， ‎ 所以直线AB方程为：y＝k(x＋2)‎ 所以直线l总经过定点M(－2，0)‎ ‎ ‎ ‎【一年原创真预测】‎ ‎1. 椭圆，椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上的点到中心的最短距离为，且椭圆上的点到左焦点的最长距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线交于A，B两点．若AB的中点坐标的纵坐标为，求的面积.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意可得：，所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）直线与椭圆交点坐标分别为联立可得，所以，，又因为的中点的纵坐标为，所以，所以直线方程为：，所以点到直线的距离为，，所以的面积为.‎ ‎【入选理由】本题考椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式 等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力，直线与椭圆的位置关系，面积问题，是高考考查的热点，故选此题.‎ ‎2. 椭圆C:的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为. ‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与椭圆C交于E,F两点，O为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．‎ ‎【解析】（1）．由椭圆的离心率为得，.设 ， ， ，.所以.椭圆C的方程为.‎ ‎（2）由为直角三角形，若，设，则. ①‎ 依题意直线斜率存在， ，联立 得.根据根与系数关系可以知道代入①整理得，得 ， 若,设直角顶点为， ，，，满足，所以可以得到或. ‎ ‎【入选理由】‎ 本题考查椭圆标准方程，直线和椭圆位置关系，求直线方程等基础知识，意在考查综合分析问题解决问题的能力和基本运算能力，此题是一个常规题，也是是高考考查的重点，故选此题.‎ ‎3. 已知直角坐标系中，以为中心，点为焦点的椭圆经过第一象限的点,的面积为，且.‎ ‎(1)当取最小值时，求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)在(1)的条件下，设点分别为椭圆的左、右顶点，点是椭圆的下顶点，点在椭圆上（与点均不重合），点在直线上，若直线的方程为，且，试求直线的方程．‎ ‎【解析】(1)设()，，得,，．，，则 ,，易得 在上递增,当时，有最小值，此时，，.由点在椭圆上，且，得，则椭圆E方程为：．‎ ‎(2)由(1)知：，，,直线：经过点，求得，设,则, ,，又,所以， , , ,又直线过点，故所求方程为：. ‎ ‎【入选理由】本题考椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力，‎ 此题第一问出题比较新，构思比较巧，故选此题.‎