（浙教版）九年级数学下册 同步备课系列专题2

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第 2章 直线与圆的位置关系 2.3 三角形的内切圆 一、单选题 1．如图，已知正方形 ABCD的边长是 8，点 E是 AB边上一动点，连接 CE，过点 B作 BG⊥CE于点 G， 点 P是 AB边上另一动点，则 PD+PG的最小值是（ ） A．8 13 4 B． 4 13 4 C．8 10 4 D．4 10 4 【答案】B 【分析】 作 DC 关于 AB 的对称点 D′C′，以 BC 中的 O 为圆心作半圆 O，连 D′O 分别交 AB 及半圆 O 于 P、G．将 PD＋PG 转化为 D′G 找到最小值． 【详解】 取点 D 关于直线 AB 的对称点 D′．以 BC 中点 O 为圆心，OB 为半径画半圆． 连接 OD′交 AB 于点 P，交半圆 O 于点 G，连 BG．连 CG 并延长交 AB 于点 E． 由以上作图可知，BG⊥EC 于 G． PD＋PG＝PD′＋PG＝D′G 由两点之间线段最短可知，此时 PD＋PG 最小． ∵D′C′＝8，OC′＝12 ∴D′O＝ 2 28 12 4 13  ∴D′G＝ 4 13 4 ∴PD＋PG 的最小值为 4 13 4 故选 B． 【点睛】 本题考查与圆有关的线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短． 2．如图，在 O 中，AB是直径，点D是 O 上一点，点C是弧 AD的中点，CE AB 于点 E，过点D 的切线交 EC的延长线于点G，连接 AD，分别交CE，CB于点 PQ．连接 AC，关于下列结论：① BAD  ABC ；②GP GD ；③点 P是 ACQ 的外心，其中正确结论是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】 由于AC与BD不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；连接 OD，利用切线的性质，可得出∠GPD＝ ∠GDP，利用等角对等边可得出 GP＝GD，可知②正确；先由垂径定理得到 A 为CF的中点，再由 C 为AD 的中点，得到 CD AF ，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP＝∠ACP，利用等角对等边可得出 AP＝ CP，又 AB 为直径得到∠ACQ 为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ＝∠PQC，得出 CP＝PQ，即 P 为 直角三角形 ACQ 斜边上的中点，即为直角三角形 ACQ 的外心，可知③正确； 【详解】 ∵在⊙O 中，AB 是直径，点 D 是⊙O 上一点，点 C 是弧 AD 的中点， ∴AC＝CD≠BD， ∴∠BAD≠∠ABC，故①错误； 连接 OD， 则 OD⊥GD，∠OAD＝∠ODA， ∵∠ODA＋∠GDP＝90 ，∠EPA＋∠EAP＝∠EAP＋∠GPD＝90 ， ∴∠GPD＝∠GDP； ∴GP＝GD，故②正确； ∵弦 CF⊥AB 于点 E， ∴A 为CF的中点，即 AF AC ， 又∵C 为AD的中点， ∴ AC CD ， ∴ CD AF ， ∴∠CAP＝∠ACP， ∴AP＝CP． ∵AB 为圆 O 的直径， ∴∠ACQ＝90 ， ∴∠PCQ＝∠PQC， ∴PC＝PQ， ∴AP＝PQ，即 P 为 Rt△ACQ 斜边 AQ 的中点， ∴P 为 Rt△ACQ 的外心，故③正确； 故选 C． 【点睛】 此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似 三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关 键． 3．如图，把 ABC 剪成三部分，边 AB，BC，AC放在同一直线 l上，点O都落在直线MN上，直线 //MN l . 在 ABC 中，若 130BOC  ，则 BAC 的度数为（ ） A．70 B．75 C．80 D．85 【答案】C 【分析】 首先利用平行线间的距离处处相等，得到点 O 是△ABC 的内心，点 O 为三个内角平分线的交点，从而容易 得到∠BOC=90°+ 1 2 ∠BAC，通过计算即可得到答案． 【详解】 解：如图，过点 O 分别作 OD⊥AC 于 D，OE⊥AB 于 E，OF⊥BC 于 F， ∵直线 MN∥l， ∴OD=OE=OF， ∴点 O 是△ABC 的内心，点 O 为三个内角平分线的交点， ∴∠BOC=180- 1 2 （180-∠BAC）=90°+ 1 2 ∠BAC=130°， ∴∠BAC=80°. 故选 C. 【点睛】 本题考查了平行线的性质及三角形内心的性质及判定，利用平行线间的距离处处相等判定点 O 是△ABC 的 内心是解题的关键． 4．一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（ ） A． 2 B． 2 2 C． 2 1 D． 2 1 【答案】D 【分析】 设等腰直角三角形的直角边是 1，则其斜边是 2 ．根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和与斜边 的差的一半，得其内切圆半径是 2 2 2  ；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径是 2 2 ．所以它们 的比为 2 2 2 2 2  = 2 1 ． 【详解】 解：设等腰直角三角形的直角边是 1，则其斜边是 2 ； ∵内切圆半径是 2 2 2  ， 外接圆半径是 2 2 ， ∴所以它们的比为 2 2 2 2 2  = 2 1 ． 故选：D． 【点睛】 本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，解题的关键是熟记直角三角形外接圆的半径和内切圆的半径公 式：直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的 一半． 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容 圆径几何？“其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8步，股（长直角边）长为 15步，求直角 三角形能容纳的圆形（内切圆）直径”则该圆的直径为（ ） A．6步 B．5步 C．4步 D．3步 【答案】A 【分析】 根据勾股定理求出直角三角形的斜边，可确定出内切圆半径，即可求得直径． 【详解】 解：根据勾股定理得：斜边为 2 28 15 =17， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径 r= 8 15 17 2   =3（步），即直径为 6 步， 故选：A． 【点睛】 本题考查三角形的内切圆与内心，掌握 Rt△ABC 中，三边长为 a，b，c（斜边），其内切圆半径 r= 2 a b c  是解题的关键． 6．下列关于三角形的内心说法正确的是（ ） A．内心是三角形三条角平分线的交点 B．内心是三角形三边中垂线的交点 C．内心到三角形三个顶点的距离相等 D．钝角三角形的内心在三角形外 【答案】A 【分析】 根据三角形内心定义即可得到答案. 【详解】 ∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心， ∴A 正确，B、C、D 均错误， 故选：A. 【点睛】 此题考查三角形的内心，熟记定义是解题的关键. 7．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°， 则∠BEC的度数为（ ） A．128° B．126° C．122° D．120° 【答案】C 【分析】 根据圆周角定理推论可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和 三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC 的度数． 【详解】 在⊙O 中， ∵∠CBD=32°， ∵∠CAD=32°， ∵点 E 是△ABC 的内心， ∴∠BAC=64°， ∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°， ∴∠BEC=180°-58°=122°． 故选：C． 【点睛】 考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理推论，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB 的度数． 8．如图， O 的直径 AB与弦CD的延长线交于点 E，若DE OB ， 84AOC  ，则 E ＝( ) A． 28 B． 42 C． 21 D． 20 【答案】A 【分析】 根据示意图结合已知条件可得出 , 2E DOE OCD ODC E        ，因此， 180 4COD E    ， 即可得出 180 (1804 4 )8 E E     ，计算即可得出答案． 【详解】 解：∵DE OB ∴DE OD ∴ , 2E DOE OCD ODC E        ∴ 180 4COD E    ∴ 180 (1804 4 )8 E E     ∴ 28E   故选：A． 【点睛】 本题考查的知识点是圆的综合题目，根据示意图得出 , 2E DOE OCD ODC E        是解此题的关 键． 二、填空题 9．阅读下面材料： 在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题： 已知： ABC. 求作： ABC 的内切圆． 小明的作法如下：如图 2，  1 作 ABC ， ACB 的平分线 BE和 CF，两线相交于点 O；  2 过点 O作OD BC ，垂足为点 D；  3 点 O为圆心，OD长为半径作 O. 所以， O 即为所求作的圆． 请回答：该尺规作图的依据是______． 【答案】到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等； 圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【分析】 根据三角形的内切圆，三角形的内心的定义，角平分线的性质即可解答. 【详解】 解：该尺规作图的依据是到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两 边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 故答案为到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等； 圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点睛】 此题主要考查了复杂作图，三角形的内切圆与内心，关键是掌握角平分线的性质． 10．边长分别为 3、4、5 的三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为________. 【答案】1:2.5 【解析】 设三角形为△ABC， ∵32+42=52， ∴△ABC 为直角三角形， ∴外接圆的直径为 5， ∴外接圆的半径为 2.5， 设内切圆的半径为 r， ∵S△ABC= 1 2 （AB+BC+CA）•r， 即 1 2 ×3×4= 1 2 ×（3+4+5）r，解得 r=1， ∴该三角形内切圆半径与外接圆半径之比为 1：2.5， 故答案是：1：2.5． 11．已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为 cm． 【答案】r== 【解析】 试题分析：如图，设△ABC 的内切圆半径为 r，由勾股定理得 AD=12，再由切线长定理得 AE=8，根据勾股 定理求得 r 即可． 试题解析：如图， ∵AB=AC=13cm，BC=10cm， ∴BD=5cm， ∴AD=12cm， 根据切线长定理，AE=AB-BE=AB-BD=13-5=8， 设△ABC 的内切圆半径为 r， ∴AO=12-r， ∴（12-r）2-r2=64， 解得 r== ． 考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等腰三角形的性质． 12．如图，已知点O是 ABC 的内心，若 120BOC  ，则 A  __________ o． 【答案】60 【分析】 先利用 120BOC  ，可求出∠OBC＋∠OCB，再利用三角形的内心即为三个内角角平分线的交点，可求 出∠ABC＋∠ACB，然后就可求出∠A. 【详解】 ∵ 120BOC   ∴∠OBC＋∠OCB=180°－∠BOC =60 ° 又∵点O是 ABC 的内心 ∴BO、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ∴∠ABC＋∠ACB=2（∠OBC＋∠OCB） =120° ∴∠A=180°－（∠ABC＋∠ACB） =60° 故答案为：60 【点睛】 此题考查的是三角形内心的定义和三角形内角和定理. 13．如图，在 O 中，弦 4AB  ，点C在 AB上移动，连结OC，过点C作CD OC 交 O 于点D， 则CD的最大值为__________． 【答案】2 【分析】 连接 OD，根据勾股定理求出 CD，利用垂线段最短得到当 OC⊥AB 时，OC 最小，根据垂径定理计算即可； 【详解】 如图，连接 OD， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO= 90， ∴ 2 2 2 2rCD OD OC OC    ， 当 OC 的值最小时，CD 的值最大，OC⊥AB 时，OC 最小，此时 D、B 两点重合， ∴CD=CB= 1 2 AB=2，即 CD 的最大值为 2； 故答案为：2. 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键. 14．在 ABC 中， 70A  ，若O为 ABC 的外心，则 BOC  ______度；若O为 ABC 的内心，则 BOC  ______度. 【答案】140 125 【分析】 若O为 ABC 的外心，根据圆周角定理，即可求解； 若O为 ABC 的内心，根据内心是角平分线的交点，再结合三角形的内角和定理即可求解． 【详解】 解：如图一，点 O 是三角形的外心． 根据圆周角定理，得 ∠BOC=2∠A=140°； 如图二，点 O 是三角形的内心． ∴BO、CO 平分∠ABC、∠ACB， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB） =180°- 1 2 （∠ABC+∠ACB） =180°- 1 2 （180°-∠A） =90°+ 1 2 ∠A =125°． 故答案为 140，125． 【点睛】 本题考查三角形外心和内心的定义，熟练掌握圆周角定理，熟记内心为三角形三个内角平分线的交点是解 题的关键． 三、解答题 15．如图，点D是 ABC 外接圆的圆心，点O是 ABC 内切圆的圆心，已知 110A  ，求 BOC 和 BDC∠ 的度数． 【答案】 145BOC  ， 140BDC   【分析】 如图，在 D 上取点H ，连接 , ,BH CH 由圆的内接四边形的性质求解 H ，再利用圆周角定理求解 ,BDC O为 ABC 的内心，可得 ,OB OC分别平分 , ,ABC ACB  结合三角形的内角和定理可得    1 1 180 2 2 OBC OCB ABC ACB A       ，再利用内角和定理可得 BOC 的大小． 【详解】 解：如图，在 D 上取点H ，连接 , ,BH CH  四边形 ABHC 为 D 的内接四边形， 110A  ， 180 110 70H     ， 2 140 ,BDC H      O为 ABC 的内心， ,OB OC 分别平分 , ,ABC ACB  1 1, , 2 2 OBC ABC OCB ACB         1 1 180 2 2 OBC OCB ABC ACB A        1 180 110 35 2      ，  180 180 35 145 .BOC OBC OCB          【点睛】 本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，三角形内心的含义，三角形的内角和定理，掌 握以上知识是解题的关键． 16．如图所示,AB为☉O的直径,CD是☉O的弦,AB,CD的延长线交于点 E,已知 AB=2DE,∠AEC=20°.求 ∠AOC的度数. 【答案】∠AOC=60°. 【分析】 连接 OD，如图，由 AB＝2DE，AB＝2OD 得到 OD＝DE，根据等腰三角形的性质得∠DOE＝∠E＝20°，再 利用三角形外角性质得到∠CDO＝40°，加上∠C＝∠ODC＝40°，然后再利用三角形外角性质即可计算出 ∠AOC． 【详解】 解:连接 OD. ∵AB=2DE,AB=2OD,∴OD=DE, ∴∠DOE=∠E=20°,∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°, ∵OC=OD,∴∠C=∠ODC=40°, ∴∠AOC=∠C+∠E=60°. 【点睛】 本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也 考查了等腰三角形的性质． 17．如图， AB是 O 的直径，点 D是 O 上一点，DC AB 于点 C. （1）如图①，连接 ,OD BD，若点 C是 AO的中点，求 ODB 的大小； （2）如图②，过点 D作 O 的切线，交 AB的延长线于点 E，DF OE 交 O 于点 F，且DF OE .若 O 的半径为 2，求CE的长. 【答案】（1）30°；（2） 2 【分析】 （1）连接 AD，根据已知条件可得出 AD=OD=OA，因此， AOD 是等边三角形，得出 DAO 60  ，继 而得出 30ODB OBD   ； （2）连接 , OF OD，可得四边形 OFDE 为平行四边形，有 2OF OD DE   ，DE 为圆的切线， 90ODE  ，因此， ODE 为等腰直角三角形，可求出 OE 的值，进一步求出 CE 的长． 【详解】 解：（I）如图，连接 AD， ∵点 C是 AO的中点， ∴ AC OC ， ∵DC AB ， ∴ AD OD ， ∵OA OD ， ∴OA OD AD  ， ∴ AOD△ 为等边三角形， ∴ 60AOD  ， ∴ 30OBD  ， ∵OB OD ， ∴ 30ODB OBD   ． （2）如图，连接 , OF OD， ∵DE为 O 的切线， ∴ 90ODE  ， ∵ ,DF OE DF OE ， ∴四边形OFDE为平行四边形， ∴ 2OF OD DE   ， ∴ ODE 为等腰直角三角形， ∴ 2 2OE  ， ∵DC AB ， ∴ 1 2 2 CE OE  ． 【点睛】 本题是一道关于圆的综合题目，涉及到的知识点有圆的切线的性质，等边三角形的性质，平行四边形的判 定及性质，勾股定理等，属于容易题，失分原因：（1）不能根据 AC OC 判断出 AOD△ 是等边三角形； （2）不能正确的作出辅助线证明四边形OFDE是平行四边形；未能掌握等腰直角三角形的性质． 18．如图：在三角形 ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径． 【答案】 3 【分析】 作 AD BC ，根据勾股定理求解 ABCS ，再结合内切圆的性质，利用等面积转换的方法求解即可． 【详解】 如图，作 AD BC ，设 BD x ，则 8CD x  ， 由勾股定理可知： 2 2 2 2AB BD AC CD   ， 则  2225 49 8x x    ，解得 5 2 x  ，则 5 3 2 AD  ， 故 1 1 5 38 10 3 2 2 2ABCS BC AD    △ ， 由三角形的内切圆性质，可得：  1 2ABCS r AB BC AC  △ 2 20 3 3 5 7 8 ABCSr AB BC AC         △ ． 【点睛】 本题考查了勾股定理计算以及三角形的内切圆性质，能够灵活利用三角形的面积转换是解决问题的关键． 19．在同一平面直角坐标系中有 6个点： A（1，1），B（−3，−1），C（−3，1），D（−2，−2），E（−2，−3），F（0，−4）． （1）画出△ABC的外接圆 P，则点 D与 P的位置关系___； （2）△ABC的外接圆的半径=___，△ABC的内切圆的半径=___． （3）若将直线 EF沿 y轴向上平移，当它经过点 D时，设此时的直线为 1l ，则直线 1l 与⊙P的位置关系____ 【答案】（1）见解析，在圆上；（2）△ABC 的外接圆的半径： 5 ，△ABC 的内切圆的半径：3 5 ；（3） 直线与圆相交 【分析】 （1）分别找出 AC 与 BC 的垂直平分线，交于点 P，即为圆心，求出 AP 的长即为圆的半径，画出圆 P，如 图所示，求出 D 到圆心 P 的距离，与半径比较即可做出判断； （2）求出三角形 ABC 的外接圆半径，内切圆半径即可； （3）根据图形及直线与圆的位置关系即可判断． 【详解】 （1）画出△ABC 的外接圆 P，如图所示， ∵    2 2DP 2 1 2 5 r       ， ∴点 D 与 P 的位置关系是点在圆上； 故答案为：在圆上； （2）△ABC 的外接圆的半径 2 21 2 5AP    ，△ABC 的内切圆的半径为 2 4 2 5 2   3 5  ； 故答案为： 5 ；3 5 ； （3）画图之后由网格图得，直线与圆相交 故答案为：相交． 【点睛】 此题属于圆的综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，点与圆的位置 关系，以及直线与圆的位置关系，熟练掌握公式及性质是解本题的关键． 20．如图，在 ABC 中， 8AB  ， 6AC  ，O是其内部一点， AO平分 BAC ，连接OC，在 AB上 取一点D，使 6AD  ，连接OD． （1）求证： ADO△ ≌ ACO△ ； （2）若 130AOD  ，连接CD，求 OCD 的度数； （3）若O是 ABC 的内心，过O作OM BC 于M ，求CM的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2） 40；（3）0 6CM  ． 【分析】 （1）由 SAS 证明三角形全等； （2）根据全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，解得 100DOC  ，再由等腰三角形等边对等角 的性质解题即可； （3）过O作ON AC 于 N ，OQ AB 于Q，由于三角形内心是三角形三个内角平分线的交点，可知 OCN OCM  ，再由 ASA 证明 OCN ≌ OCM ，最后有全等三角形对应边相等的性质，解得 CN CM ，同理解得 BM BQ ， AN AQ ，根据三角形三边关系解出答案即可． 【详解】 解：（1）证明：∵ 6AD AC  ， DAO CAO   ， AO AO ， ∴ ADO△ ≌ ACO△ ． （2）∵ ADO△ ≌ ACO△ ， ∴OD OC ， 130AOD AOC   ， ∴ 100DOC  ， ∵OD OC ， ∴ 40OCD ODC   ． （3）过O作ON AC 于 N ，OQ AB 于Q， ∵O是 ABC 的内心， ∴ OCN OCM  ， ∵OC OC ， 90ONC OMC   ， ∴ OCN ≌ OCM ， ∴CN CM ． 同理可得 BM BQ ， AN AQ ， ∵ AN CN CM BM BQ AQ AB BC AC        ， ∴2 2CM AB AB AC BC    ， ∴ 2 2BC CM  ， ∵2 14BC  ，∴ 2 2 2 14CM   ， ∴0 6CM  【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内心的性质、等腰三角形的性质、三角形三边关系等知识，是 重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．