人教版九年级数学下册单元检测题全套及答案（含期中期末检测题）

人教版九年级数学下册单元检测题全套及答案（含期中期末检测题）

1 第 26 章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列函数中，y 与 x 成反比例的是( B ) A．y＝x 2 B．y＝ 1 4x C．y＝3x2 D．y＝ 1 x ＋1 2．点 A(－1，1)是反比例函数 y＝m＋1 x 的图象上一点，则 m 的值为( B ) A．－1 B．－2 C．0 D．1 3．(2020·长沙)2019 年 10 月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案 以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初 期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为 106 m3 土石方的任务，该运输公司平 均运送土石方的速度 v(单位：m3/天)与完成运送任务所需时间 t(单位：天)之间的函数关系 式是( A ) A．v＝106 t B．v＝106 t C．v＝ 1 106 t2 D．v＝106t2 4．(枣庄中考)从－1，2，3，－6 这四个数中任取两数，分别记为 m，n，那么点(m，n) 在函数 y＝6 x 图象上的概率是( B ) A．1 2 B．1 3 C．1 4 D．1 8 5．(2020·山西)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都在反比例函数 y＝k x (k＜0) 的图象上，且 x1＜x2＜0＜x3，则 y1，y2，y3 的大小关系是( A ) A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 6．(2020·威海)一次函数 y＝ax－a 与反比例函数 y＝a x (a≠0)在同一坐标系中的图象 可能是( D ) 7．(2020·烟台)如图，正比例函数 y1＝mx，一次函数 y2＝ax＋b 和反比例函数 y3＝k x 的 图象在同一直角坐标系中，若 y3＞y1＞y2，则自变量 x 的取值范围是( D ) A．x＜－1 B．－0.5＜x＜0 或 x＞1 C．0＜x＜1 D．x＜－1 或 0＜x＜1 2 第 7 题图 第 9 题图 第 10 题图 8．某数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为 200 cm2 的矩形学具进行展示．设矩 形的宽为 x cm，长为 y cm，那么这些同学所制作的矩形长 y(cm)与宽 x(cm)之间的函数关系 的图象大致是( A ) 9．(2020·张家界)如图所示，过 y 轴正半轴上的任意一点 P，作 x 轴的平行线，分别与 反比例函数 y＝－6 x 和 y＝8 x 的图象交于点 A 和点 B，若点 C 是 x 轴上任意一点，连接 AC，BC， 则△ABC 的面积为( B ) A．6 B．7 C．8 D．14 10．(2020·鄂州)如图，点 A1，A2，A3…在反比例函数 y＝1 x (x＞0)的图象上，点 B1，B2， B3，…Bn 在 y 轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线 y＝x 与双曲线 y＝1 x 交于点 A1， B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则 Bn(n 为正整数)的坐标是( D ) A．(2 n ，0) B．(0， 2n＋1 ) C．(0， 2n（n－1） ) D．(0，2 n ) 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2020·云南)已知一个反比例函数的图象经过点(3，1)，若该反比例函数的图象也 经过点(－1，m)，则 m＝__－3__． 12．(2020·滨州)若正比例函数 y＝2x 的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐 标是 2，则该反比例函数的解析式为__y＝2 x __． 13．如图，点 A 在反比例函数 y＝ k 2x (x＞0)的图象上，过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D，延长 AD 至点 C，使 CD＝AD，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，连接 BC 交 y 轴于点 E.若△ABC 的面积为 6， 则 k 的值为 12． 3 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 14．(2020·温州)点 P，Q，R 在反比例函数 y＝k x (常数 k＞0，x＞0)图象上的位置如图 所示，分别过这三个点作 x 轴、y 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为 S1，S2，S3.若 OE＝ED＝DC，S1＋S3＝27，则 S2 的值为__27 5 __． 15．(新疆中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y＝－2x 与反比例函 数 y＝k x 的图象交于 A(a，－4)，B 两点，过原点 O 的另一条直线 l 与双曲线 y＝k x 交于 P，Q 两点(P 点在第二象限)，若以点 A，B，P，Q 为顶点的四边形面积为 24，则点 P 的坐标是(－4， 2)或(－1，8)． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)已知 y＝y1＋y2，其中 y1 与 3x 成反比例，y2 与－x2 成正比例，且当 x＝1 时，y ＝5；当 x＝－1 时，y＝－2.求当 x＝3 时，y 的值． 解：设 y＝k1 3x ＋k2(－x2)，由题意可求得 y＝ 7 2x ＋3 2 x2，当 x＝3 时，y＝44 3 17．(9 分)(2020·南京)已知反比例函数 y＝k x 的图象经过点(－2，－1). (1)求 k 的值； (2)完成下面的解答． 解不等式组 2－x＞1，① k x ＞1.② 解 ： 解 不 等 式 ① ， 得 ________. 根 据 函 数 y ＝ k x 的 图 象 ， 得 不 等 式 ② 的 解 集 为 ____________．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． 从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为____________． 解：(1)∵反比例函数 y＝k x 的图象经过点(－2，－1)，∴k＝(－2)×(－1)＝2 (2)解 不等式①，得 x＜1.根据函数 y＝k x 的图象，得不等式②的解集 0＜x＜2.把不等式①和②的 4 解集在数轴上表示为： ，∴不等式组的解集为 0＜x＜1， 故答案为：x＜1，0＜x＜2，0＜x＜1 18．(9 分)(2020·甘孜州)如图，一次函数 y＝1 2 x＋1 的图象与反比例函数 y＝k x 的图象 相交于 A(2，m)和 B 两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点 B 的坐标． 解：(1)∵一次函数 y＝1 2 x＋1 的图象过点 A(2，m)，∴m＝1 2 ×2＋1＝2，∴点 A(2，2)， ∵反比例函数 y＝k x 的图象经过点 A(2，2)，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为：y＝4 x (2)联立方程组可得： y＝1 2 x＋1， y＝4 x ， 解得： x1＝－4， y1＝－1 或 x2＝2， y2＝2， ∴点 B(－4，－1) 19．(9 分)(2020·江西)如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，顶点 A，B 都在反比例函数 y ＝k x (x＞0)的图象上，直线 AC⊥x 轴，垂足为 D， 连接 OA，OC，并延长 OC 交 AB 于点 E，当 AB＝2OA 时，点 E 恰为 AB 的中点，若∠AOD＝ 45°，OA＝2 2 . (1)求反比例函数的解析式； (2)求∠EOD 的度数． 解：(1)∵直线 AC⊥x 轴，垂足为 D，∠AOD＝45°，∴△AOD 是等腰直角三角形，∵OA ＝2 2 ，∴OD＝AD＝2，∴A(2，2)，∵顶点 A 在反比例函数 y＝k x (x＞0)的图象上，∴k＝2×2 ＝4，∴反比例函数的解析式为 y＝4 x (2)∵AB＝2OA，点 E 恰为 AB 的中点，∴OA＝AE，∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝ ∠ECB＋∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x 轴，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOD＝45°， ∴∠EOD＝15° 20．(9 分)(铜仁中考)如图，一次函数 y＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)的图象与反比例函 数 y＝－12 x 的图象交于 A，B 两点，且与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，A 点的横坐标与 B 5 点的纵坐标都是 3. (1)求一次函数的表达式； (2)求△AOB 的面积； (3)写出不等式 kx＋b＞－12 x 的解集． 解：(1)∵一次函数 y＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)的图象与反比例函数 y＝－12 x 的图象 交于 A，B 两点，且与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，A 点的横坐标与 B 点的纵坐标都是 3， ∴3＝－12 x ，解得：x＝－4，y＝－12 3 ＝－4，故 B(－4，3)，A(3，－4)，把 A，B 两点代入 y＝kx＋b 得： －4k＋b＝3， 3k＋b＝－4， 解得： k＝－1， b＝－1， 故直线解析式为：y＝－x－1 (2)y＝－x－ 1，当 y＝0 时，x＝－1，故 C 点坐标为：(－1，0)，则△AOB 的面积为：1 2 ×1×3＋1 2 ×1× 4＝7 2 (3)不等式 kx＋b＞－12 x 的解集为：x＜－4 或 0＜x＜3 21．(10 分)(2020·连云港)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y＝m x (x＞0) 的图象经过点 A(4，3 2 )，点 B 在 y 轴的负半轴上，AB 交 x 轴于点 C，C 为线段 AB 的中点． (1)m＝________，点 C 的坐标为________； (2)若点 D 为线段 AB 上的一个动点，过点 D 作 DE∥y 轴，交反比例函数图象于点 E，求 △ODE 面积的最大值． 解：(1)∵反比例函数 y＝m x (x＞0)的图象经过点 A(4，3 2 )，∴m＝4×3 2 ＝6，∵AB 交 x 轴于点 C，C 为线段 AB 的中点．∴C(2，0)；故答案为 6，(2，0) (2)设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，把 A(4，3 2 )，C(2，0)代入得 4k＋b＝3 2 ， 2k＋b＝0， 解得 k＝3 4 ， b＝－3 2 ， ∴直线 AB 的解析式为 6 y＝3 4 x－3 2 ，∵点 D 为线段 AB 上的一个动点，∴设 D(x，3 4 x－3 2 )(0＜x≤4)，∵DE∥y 轴， ∴E(x，6 x )，∴S△ODE＝1 2 x·(6 x －3 4 x＋3 2 )＝－3 8 x2＋3 4 x＋3＝－3 8 (x－1)2＋27 8 ，∴当 x＝1 时，△ODE 的面积取得最大值，最大值为27 8 22．(10 分)(2020·郴州)为了探索函数 y＝x＋1 x (x＞0)的图象与性质，我们参照学习函 数的过程与方法．列表： x … 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 5 … y … 17 4 10 3 5 2 2 5 2 10 3 17 4 26 5 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标， 描出相应的点，如图①所示： (1)如图①，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； (2)已知点(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若 0＜x1＜x2≤1，则 y1________y2；若 1＜x1＜x2，则 y1________y2； 若 x1·x2＝1，则 y1________y2(填“＞”，“＝”或“＜”)； (3)某农户要建造一个图②所示的长方体形无盖水池，其底面积为 1 平方米，深为 1 米．已 知底面造价为 1 千元/平方米，侧面造价为 0.5 千元/平方米．设水池底面一边的长为 x 米， 水池总造价为 y 千元． ①请写出 y 与 x 的函数关系式； ②若该农户预算不超过 3.5 千元，则水池底面一边的长 x 应控制在什么范围内？ 题图 答图 解：(1)函数图象如图所示 (2)若 0＜x1＜x2≤1，则 y1＞y2；若 1＜x1＜x2，则 y1＜y2，若 x1·x2＝1，则 y1＝y2.故答案为＞，＜，＝ (3)①由题意，得 y＝1＋(2x＋2 x )×0.5＝1＋x ＋1 x (x＞0).②由题意，得 1＋x＋1 x ≤3.5，∵x＞0，可得 2x2－5x＋2≤0，解得：1 2 ≤x≤2， ∴长 x 应控制在1 2 ≤x≤2 的范围内 23．(11 分)在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数 y＝k(x2＋x－1)的图象交于点 7 A(1，k)和点 B(－1，－k). (1)当 k＝－2 时，求反比例函数的解析式； (2)要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围； (3)设二次函数的图象的顶点为 Q，当△ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k 的值． 解：(1)y＝－2 x (2)∵要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，∴k＜0， ∵二次函数 y＝k(x2＋x－1)＝k(x＋1 2 )2－5 4 k，对称轴为直线 x＝－1 2 ，要使二次函数 y＝k(x2 ＋x－1)满足上述条件，在 k＜0 的情况下，x 必须在对称轴的左边，即 x＜－1 2 时，才能使得 y 随着 x 的增大而增大，∴综上所述，k＜0 且 x＜－1 2 (3)由(2)可得 Q(－1 2 ，－5 4 k)，∵△ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形，A 点与 B 点关 于原点对称(如图是其中的一种情况)，∴原点 O 平分 AB，∴OQ＝OA＝OB，作 AD⊥x 轴，QC⊥ x 轴，∴OQ＝ CQ2＋OC2 ＝ 1 4 ＋25 16 k2 ，∵OA＝ AD2＋OD2 ＝ 1＋k2 ，∴ 1 4 ＋25 16 k2 ＝ 1＋k2 ，解得 k＝±2 3 3 8 第 27 章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列四条线段为成比例线段的是( B ) A．a＝10，b＝5，c＝4，d＝7 B．a＝1，b＝ 3 ，c＝ 6 ，d＝ 2 C．a＝8，b＝5，c＝4，d＝3 D．a＝9，b＝ 3 ，c＝3，d＝ 6 2．(2020·成都)如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3 所截，AB＝5，BC＝ 6，EF＝4，则 DE 的长为( D ) A．2 B．3 C．4 D．10 3 第 2 题图 第 3 题图 第 5 题图 第 6 题图 3．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点 B，C，D，使 得 AB⊥BC，CD⊥BC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上．若测得 BE＝20 m，EC ＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度 AB 等于( B ) A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m 4．(2020·大庆)已知两个直角三角形的三边长分别为 3，4，m 和 6，8，n，且这两个直 角三角形不相似，则 m＋n 的值为( A ) A．10＋ 7 或 5＋2 7 B．15 C．10＋ 7 D．15＋3 7 5．(2020·河北)在如图所示的网格中，以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是 ( A ) A．四边形 NPMQ B．四边形 NPMR C．四边形 NHMQ D．四边形 NHMR 6．(2020·遵义)如图，△ABO 的顶点 A 在函数 y＝k x (x＞0)的图象上，∠ABO＝90°，过 AO 边的三等分点 M，N 分别作 x 轴的平行线交 AB 于点 P，Q.若四边形 MNQP 的面积为 3，则 k 的值为( D ) A．9 B．12 C．15 D．18 7．(2020·遂宁)如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G，若 AF＝2FD，则BE EG 的值为( C ) 9 A．1 2 B．1 3 C．2 3 D．3 4 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 8．(2020·包头)如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－3 2 x＋3 与 x 轴、y 轴分别交于 点 A 和点 B，C 是线段 AB 上一点．过点 C 作 CD⊥x 轴，垂足为 D，CE⊥y 轴，垂足为 E，S△BEC∶ S△CDA＝4∶1，若双曲线 y＝k x (x＞0)经过点 C，则 k 的值为( A ) A．4 3 B．3 4 C．2 5 D．5 2 9．(广西中考)如图，AB 为⊙O 的直径，BC，CD 是⊙O 的切线，切点分别为点 B，D，点 E 为线段 OB 上的一个动点，连接 OD，CE，DE，已知 AB＝2 5 ，BC＝2，当 CE＋DE 的值最小时， 则CE DE 的值为( A ) A． 9 10 B．2 3 C． 5 3 D．2 5 5 10．(2020·铜仁)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 AB 上，BE＝1，∠DAM＝45°， 点 F 在射线 AM 上，且 AF＝ 2 ，过点 F 作 AD 的平行线交 BA 的延长线于点 H，CF 与 AD 相交 于点 G，连接 EC，EG，EF.下列结论：①△ECF 的面积为17 2 ；②△AEG 的周长为 8；③EG2＝DG2 ＋BE2；其中正确的是( C ) A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2020·娄底)若b a ＝d c ＝1 2 (a≠0)，则b－d a－c ＝__1 2 __． 12．如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 AB∥DE(答案不唯一)．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母) 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 10 第 15 题图 13．(2020·盘锦)如图，△AOB 三个顶点的坐标分别为 A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以 点 O 为位似中心，相似比为2 3 ，将△AOB 缩小，则点 B 的对应点 B′的坐标是__(2，4)或(－2， －4)__． 14．(2020·临沂)如图，在△ABC 中，D，E 为边 AB 的三等分点，EF∥DG∥AC，H 为 AF 与 DG 的交点．若 AC＝6，则 DH＝__1__． 15．(2020·宜宾)在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AB 的中点，BE 平分∠ABC 交 AC 于 点 E，连接 CD 交 BE 于点 O.若 AC＝8，BC＝6，则 OE 的长是__9 5 11 __． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)(眉山中考)如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(0，－3)，B(3，－2)，C(2， －4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是 1 个单位长度． (1)画出△ABC 向上平移 6 个单位得到的△A1B1C1； (2)以点 C 为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且△A2B2C2 与 △ABC 的相似比为 2∶1，并直接写出点 A2 的坐标． 解：(1)图略 (2)图略，A2(－2，－2) 17．(9 分)如图，已知 AB∥CD，AD，BC 相交于点 E，F 为 BC 上一点，且∠EAF＝∠C.求 证：(1)∠EAF＝∠B；(2)AF2＝FE·FB. 解：(1)∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∠C＝∠EAF，∴∠EAF＝∠B (2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE＝∠BFA，∴△AFE∽△BFA，则AF FB ＝FE AF ，∴AF2＝FE·FB 11 18．(9 分)(2020·上海)已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，BE ＝FD，AF 的延长线交 BC 的延长线于点 H，AE 的延长线交 DC 的延长线于点 G. (1)求证：△AFD∽△GAD； (2)如果 DF2＝CF·CD，求证：BE＝CH. 证明：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ ADF(SAS)，∴∠BAE＝∠DAF.∵AB∥CD，∴∠G＝∠BAE＝∠DAF，又∵∠D＝∠D，∴△AFD∽△ GAD (2)∵DF2＝CF·CD，∴CF DF ＝DF CD ，∵AD∥BH，∴CF DF ＝CH AD ，∴CH AD ＝DF CD ，∵AD＝CD，∴ CH＝DF，∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∴BE＝CH 19．(9 分)(2020·咸宁)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径 的半圆 O 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作半圆 O 的切线 DF，交 BC 于点 F. (1)求证：BF＝DF； (2)若 AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆 O 的半径长． 题图 答图 解：(1)连接 OD，如图①，∵过点 D 作半圆 O 的切线 DF，交 BC 于点 F，∴∠ODF＝90°， ∴∠ADO＋∠BDF＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＋∠BDF＝90°，∵∠C＝90°， ∴∠OAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BDF，∴BF＝DF (2)连接 OF，如图②，设圆的半径为 r，则 OD＝OE＝r，∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，∴OC＝4－r，DF＝BF＝3－1＝2，∵OD2＋DF2＝OF2＝OC2 ＋CF2，∴r2＋22＝(4－r)2＋12，∴r＝13 8 ，故圆的半径为13 8 20．(9 分)王亮同学利用课余时间对学校旗杆的高度进行测量，他是这样测量的：把长 为 3 m 的标杆垂直放置于旗杆一侧的地面上，测得标杆底端距旗杆底端的距离为 15 m，然后 往后退，直到视线通过标杆顶端正好看不到旗杆顶端时为止，测得此时人与标杆的水平距离 为 2 m，已知王亮的身高为 1.6 m，请帮他计算旗杆的高度．(王亮眼睛距地面的高度视为他 的身高) 解：根据题意知 AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，EF＝1.6 m，CD＝3 m，FD＝2 m，BD＝15 m， 过 E 点作 EH⊥AB，交 AB 于点 H，交 CD 于点 G，则 EG⊥CD，EH∥FB，EF＝DG＝BH，EG＝FD， 12 CG＝CD－EF，∴△ECG∽△EAH，∴EG EH ＝CG AH ，即 2 2＋15 ＝3－1.6 AH ，∴AH＝11.9 m，所以 AB ＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)，即旗杆的高度为 13.5 m 21．(10 分)(2020·湘潭)如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形 OABC 的 顶点 A 的坐标为(3，4). (1)求过点 B 的反比例函数 y＝k x 的解析式； (2)连接 OB，过点 B 作 BD⊥OB 交 x 轴于点 D，求直线 BD 的解析式． 解：(1)过点 A 作 AE⊥x 轴，过 B 作 BF⊥x 轴，垂足分别为 E，F，如图，∵A(3，4)，∴ OE＝3，AE＝4，∴AO＝ OE2＋AE2 ＝5，∵四边形 OABC 是菱形，∴AO＝AB＝OC＝5，AB∥x 轴， ∴EF＝AB＝5，∴OF＝OE＋EF＝3＋5＝8，∴B(8，4).故 k＝8×4＝32，∴反比例函数解析式 为 y＝32 x (2)∵OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∴∠OBF＋∠DBF＝90°，∵∠DBF＋∠BDF＝90°， ∴∠OBF＝∠BDF，又∠OFB＝∠BFD＝90°，∴△OBF∽△BDF，∴OF BF ＝BF DF ，∴8 4 ＝ 4 DF ，解得 DF＝2，∴OD＝OF＋DF＝8＋2＝10，∴D(10，0).设 BD 所在直线解析式为 y＝kx＋b，把 B(8， 4)，D(10，0)分别代入，得 8k＋b＝4， 10k＋b＝0， 解得 k＝－2， b＝20， ∴直线 BD 的解析式为 y＝－2x＋ 20 22．(10 分)(2020·南京)如图，在△ABC 和△A′B′C′中，D，D′分别是 AB，A′B′ 上一点，AD AB ＝A′D′ A′B′ . (1)当 CD C′D′ ＝ AC A′C′ ＝ AB A′B′ 时，求证：△ABC∽△A′B′C′.证明的途径可以用下 面的框图表示，请填写其中的空格； (2)当 CD C′D′ ＝ AC A′C′ ＝ BC B′C′ 时，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由． 13 题图 答图 (1)证明：∵AD AB ＝A′D′ A′B′ ，∴ AD A′D′ ＝ AB A′B′ ，∵ CD C′D′ ＝ AC A′C′ ＝ AB A′B′ ，∴ CD C′D′ ＝ AC A′C′ ＝ AD A′D′ ，∴△ADC∽△A′D′C′，∴∠A＝∠A′，∵ AC A′C′ ＝ AB A′B′ ， ∴△ABC∽△A′B′C′.故答案为： CD C′D′ ＝ AC A′C′ ＝ AD A′D′ ，∠A＝∠A′ (2)如图，过 点 D，D′分别作 DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE 交 AC 于 E，D′E′交 A′C′于 E′.∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，∴AD AB ＝DE BC ＝AE AC ，同理，A′D′ A′B′ ＝D′E′ B′C′ ＝A′E′ A′C′ ，∵AD AB ＝A′D′ A′B′ ， ∴DE BC ＝D′E′ B′C′ ，∴ DE D′E′ ＝ BC B′C′ ，同理，AE AC ＝A′E′ A′C′ ，∴AC－AE AC ＝A′C′－A′E′ A′C′ ， 即EC AC ＝E′C′ A′C′ ，∴ EC E′C′ ＝ AC A′C′ ，∵ CD C′D′ ＝ AC A′C′ ＝ BC B′C′ ，∴ CD C′D′ ＝ DE D′E′ ＝ EC E′C′ ，∴△DCE∽△D′C′E′，∴∠CED＝∠C′E′D′，∵DE∥BC，∴∠CED＋∠ACB ＝180°，同理，∠C′E′D′＋∠A′C′B′＝180°，∴∠ACB＝∠A′C′B′，∵ AC A′C′ ＝ CB C′B′ ，∴△ABC∽△A′B′C′ 23．(11 分)如图①，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点 D，点 O 是 AC 边上一点， 连接 BO 交 AD 于点 F，OE⊥OB 交 BC 边于点 E. (1)求证：△ABF∽△COE； (2)当 O 为 AC 的中点，AC AB ＝2 时，如图②，求OF OE 的值； (3)当 O 为 AC 边中点，AC AB ＝n 时，请直接写出OF OE 的值． 14 解：(1)∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠C＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＋∠BAF＝90°，∴∠ BAF＝∠C.∵OE⊥OB，∴∠BOA＋∠COE＝90°，∵∠BOA＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠COE，∴ △ABF∽△COE (2)过 O 作 AC 的垂线交 BC 于点 H，则 OH∥AB，由(1)得∠ABF＝∠COE，∠BAF ＝∠C，∴∠AFB＝∠OEC，∴∠AFO＝∠HEO，而∠BAF＝∠C，∴∠FAO＝∠EHO，∴△OEH∽△ OFA，∴OA∶OH＝OF∶OE，又∵O 为 AC 的中点，OH∥AB，∴OH 为△ABC 的中位线，∴OH＝1 2 AB， OA＝OC＝1 2 AC，而AC AB ＝2，∴OA∶OH＝2∶1，∴OF∶OE＝2∶1，即OF OE ＝2 (3)OF OE ＝n 第 28 章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(2020·玉林)sin 45°的值是( B ) A．1 2 B． 2 2 C． 3 2 D．1 2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝3 5 ，则 tan B 的值为( A ) A．4 3 B．4 5 C．5 4 D．3 4 3．在等腰△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，那么 sin B 的值是( C ) A．3 5 B．3 4 C．4 5 D．4 3 4．(2020·杭州)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a， b，c，则( B ) A．c＝b sin B B．b＝c sin B C．a＝b tan B D．b＝c tan B 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 15 第 7 题图 5．如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，已知∠ACD 的正弦值是2 3 ，则AC AB 的值是 ( D ) A．2 5 B．3 5 C． 5 2 D．2 3 6．(2020·荆州)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的斜边 OA 在第一象限，并与 x 轴的正半轴夹角为 30°.C 为 OA 的中点，BC＝1，则点 A 的坐标为( B ) A．( 3 ， 3 ) B．( 3 ，1) C．(2，1) D．(2， 3 ) 7．(2020·温州)如图，在离铁塔 150 米的 A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪 高 AD 为 1.5 米，则铁塔的高 BC 为( A ) A．(1.5＋150tan α)米 B．(1.5＋ 150 tan α )米 C．(1.5＋150sin α)米 D．(1.5 ＋ 150 sin α )米 8．(2020·益阳)如图，在矩形 ABCD 中，E 是 DC 上的一点，△ABE 是等边三角形，AC 交 BE 于点 F，则下列结论不成立的是( B ) A．∠DAE＝30° B．∠BAC＝45° C．EF FB ＝1 2 D．AD AB ＝ 3 2 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 9．(2020·重庆)如图，垂直于水平面的 5G 信号塔 AB 建在垂直于水平面的悬崖边 B 点处， 某测量员从山脚 C 点出发沿水平方向前行 78 米到 D 点(点 A，B，C 在同一直线上)，再沿斜坡 DE 方向前行 78 米到 E 点(点 A，B，C，D，E 在同一平面内)，在点 E 处测得 5G 信号塔顶端 A 的仰角为 43°，悬崖 BC 的高为 144.5 米，斜坡 DE 的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，则信号塔 AB 的高度约为(参考数据：sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93)( D ) A．23 米 B．24 米 C．24.5 米 D．25 米 10．(长沙中考)如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD＋ 5 5 BD 的最小值是( B ) A．2 5 B．4 5 C．5 3 D．10 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(甘肃中考)在△ABC 中，∠C＝90°，tan A＝ 3 3 ，则 cos B＝1 2 ． 12．(2020·南通)如图，测角仪 CD 竖直放在距建筑物 AB 底部 5 m 的位置，在 D 处测得 16 建筑物顶端 A 的仰角为 50°.若测角仪的高度是 1.5 m，则建筑物 AB 的高度约为__7.5__m．(结 果保留小数点后一位，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19) 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 13．(2020·咸宁)如图，海上有一灯塔 P，位于小岛 A 北偏东 60°方向上，一艘轮船从 小岛 A 出发，由西向东航行 24 n mile 到达 B 处，这时测得灯塔 P 在北偏东 30°方向上，如 果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔 P 的正南方，此时轮船与灯塔 P 的距离是 __20.8__n mile.(结果保留一位小数， 3 ≈1.73) 14．(2020·荆州)“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号 召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的 Rt△ABC，其中∠C＝90°， AB 与 BC 间另有步道 DE 相连，D 地在 AB 正中位置，E 地与 C 地相距 1 km.若 tan ∠ABC＝3 4 ， ∠DEB＝45°，小张某天沿 A→C→E→B→D→A 路线跑一圈，则他跑了__24__km. 15．(2020·深圳)如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，∠ABC＝∠DAC＝90°， tan ∠ACB＝1 2 ，BO OD ＝4 3 ，则S△ABD S△CBD ＝__ 3 32 __． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)计算： (1)3tan30°＋cos245°－2sin60°； (2)tan260°－2sin45°＋cos60°. 解：原式＝1 2 解：原式＝7 2 － 2 17．(9 分)在△ABC 中，∠C＝90°. (1)已知 c＝8 3 ，∠A＝60°，求∠B，a，b； (2)已知 a＝3 6 ，∠A＝30°，求∠B，b，c. 解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4 3 (2)∠B＝60°，b＝9 2 ，c＝6 6 18．(9 分)(2020·盐城)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，tan A＝ 3 3 ，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，CD＝ 3 ，求 AB 的长． 17 解：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tan A＝ 3 3 ，∴∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD 是 ∠ABC 的平分线，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，又∵CD＝ 3 ，∴BC＝ CD tan30° ＝3，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝ BC sin30° ＝6.答：AB 的长为 6 19．(9 分)(2020·恩施州)如图，一艘轮船以每小时 30 海里的速度自东向西航行，在 A 处测得小岛 P 位于其西北方向(北偏西 45°方向)，2 小时后轮船到达 B 处，在 B 处测得小岛 P 位于其北偏东 60°方向．求此时船与小岛 P 的距离(结果保留整数，参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732). 解：如图，过 P 作 PH⊥AB，设 PH＝x，由题意得：AB＝30×2＝60，∠PBH＝90°－60° ＝30°，∠PAH＝90°－45°＝45°，则△PHA 是等腰直角三角形，∴AH＝PH，在 Rt△PHA 中， 设 AH＝PH＝x，在 Rt△PBH 中，PB＝2PH＝2x，BH＝AB－AH＝60－x，∴tan ∠PBH＝tan 30° ＝PH BH ＝ 3 3 ，∴ 3 3 ＝ x 60－x ，解得：x＝30( 3 －1)，∴PB＝2x＝60( 3 －1)≈44(海里)， 答：此时船与小岛 P 的距离约为 44 海里 20．(9 分)(2020·娄底)如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于 2019 年 12 月 18 日动工，2020 年 2 月 28 日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该 桥的引桥两端各由 2 个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端 E 点距 地面 5 m，从 E 点处测得 D 点俯角为 30°，斜面 ED 长为 4 m，水平面 DC 长为 2 m，斜面 BC 的坡度为 1∶4，求处于同一水平面上引桥底部 AB 的长．(结果精确到 0.1 m， 2 ≈1.41， 3 ≈1.73) 18 解：作 DF⊥AE 于 F，DG⊥AB 于 G，CH⊥AB 于 H，如图所示：则 DF＝GA，DC＝GH＝2，AF ＝DG＝CH，由题意得：∠EDF＝30°，∴EF＝1 2 DE＝1 2 ×4＝2，DF＝ 3 EF＝2 3 ，∵AE＝5， ∴CH＝AF＝AE－EF＝5－2＝3，∵斜面 BC 的坡度为 1∶4＝CH BH ，∴BH＝4CH＝12，∴AB＝AG＋ GH＋BH＝2 3 ＋2＋12＝2 3 ＋14≈17.5(m)，答：处于同一水平面上引桥底部 AB 的长约为 17.5 m 21．(10 分)如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝10，DC 与⊙O 相切于点 C，AD⊥DC，垂足为 D， AD 交⊙O 于点 E. (1)求证：AC 平分∠BAD； (2)若 sin ∠BEC＝3 5 ，求 DC 的长． 解：(1)连接 OC，∵DC 是切线，∴OC⊥DC，又∵AD⊥DC，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO， 又 OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠BAC，∴AC 平分∠BAD (2)∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，又∠BAC＝∠BEC，∴BC＝AB·sin ∠BAC＝6，∴AC＝8，∴CD＝AC·sin ∠DAC＝24 5 22．(10 分)(2020·鄂州)鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 CD. 如图所示，一架水平飞行的无人机在 A 处测得正前方河流的左岸 C 处的俯角为α，无人机沿 水平线 AF 方向继续飞行 50 米至 B 处，测得正前方河流右岸 D 处的俯角为 30°.线段 AM 的长 19 为无人机距地面的铅直高度，点 M，C，D 在同一条直线上．其中 tan α＝2，MC＝50 3 米． (1)求无人机的飞行高度 AM；(结果保留根号) (2)求河流的宽度 CD.(结果精确到 1 米，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73) 解：过点 B 作 BN⊥MD，垂足为 N，由题意可知，∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50， (1)在 Rt△ACM 中，tan α＝2，MC＝50 3 ，∴AM＝2MC＝100 3 ＝BN，答：无人机的飞行高 度 AM 为 100 3 米 (2)在 Rt△BND 中，∵tan ∠BDN＝BN DN ，即：tan 30°＝100 3 DN ∴DN＝ 300，∴DM＝DN＋MN＝300＋50＝350，∴CD＝DM－MC＝350－50 3 ≈264，答：河流的宽度 CD 约为 264 米 23．(11 分)(2020·黄冈)因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游 人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在 A 处时，船上游客发现岸上 P1 处的临摹亭和 P2 处的遗爱亭都在东北方向，当游船向正东方向行驶 600 m 到达 B 处时，游客 发现遗爱亭在北偏西 15°方向，当游船继续向正东方向行驶 400 m 到达 C 处时，游客发现临 摹亭在北偏西 60°方向． (1)求 A 处到临摹亭 P1 处的距离； (2)求临摹亭 P1 处与遗爱亭 P2 处之间的距离．(计算结果保留根号) 解：(1)如图，作 P1M⊥AC 于 M，设 P1M＝x，在 Rt△P1AM 中，∵∠P1AB＝45°，∴AM＝P1M ＝x，在 Rt△P1CM 中，∵∠P1CA＝30°，∴MC＝ 3 P1M＝ 3 x，∵AC＝1000，∴x＋ 3 x＝1000， 解得 x＝500( 3 －1)，∴P1M＝500( 3 －1)m，∴P1A＝ P1M 2 2 ＝500( 6 － 2 )m，故 A 处到临 摹亭 P1 处的距离为 500( 6 － 2 )m (2)如图，作 BN⊥AP2 于 N，∵∠P2AB＝45°，∠P2BA＝ 75°，∴∠P2＝60°，在 Rt△ABN 中，∵∠P1AB＝45°，AB＝600 m，∴BN＝AN＝ 2 2 AB＝300 2 ， ∴P1N＝P1A－AN＝500( 6 － 2 )－300 2 ＝500 6 －800 2 ，在 Rt△P2BN 中，∵∠P2＝ 60°，∴P2N＝ 3 3 BN＝ 3 3 ×300 2 ＝100 6 ，∴P1P2＝P2N－P1N＝100 6 －(500 6 － 20 800 2 )＝800 2 －400 6 .故临摹亭 P1 处与遗爱亭 P2 处之间的距离是(800 2 －400 6 )m 第 29 章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．将一个圆形纸板放在太阳光下，它在地面上所形成的影子的形状不可能是( B ) A．圆 B．三角形 C．线段 D．椭圆 2．(2020·广州)如图所示的圆锥，下列说法正确的是( A ) A．该圆锥的主视图是轴对称图形 B．该圆锥的主视图是中心对称图形 C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 第 2 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 3．(2020·吉林)如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为 ( A ) 4．(2020·玉林)如图是由 4 个完全相同的正方体搭成的几何体，则( D ) A．三视图都相同 B．俯视图与左视图相同 C．主视图与俯视图相同 D．主视图与左视图相同 5．(2020·宜昌)诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，意思是说要认清事物的本 质，就必须从不同角度去观察．如图是对某物体从不同角度观察的记录情况，对该物体判断 最接近本质的是( D ) 21 A．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个垂直的空心管 B．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个平行的空心管 C．是圆柱形物体，里面有两个垂直的空心管 D．是圆柱形物体，里面有两个平行的空心管 6．(2020·济宁)如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面 积是( B ) A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2 7．(2020·菏泽)一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小 正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为( A ) 8．(2020·雅安)一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图 所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为( B ) A．4 B．5 C．6 D．7 9．(河北中考)图②是图①中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S 主＝x2＋2x，S 左＝x2 ＋x，则 S 俯＝( A ) A．x2＋3x＋2 B．x2＋2 C．x2＋2x＋1 D．2x2＋3x 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 10．如图是一个由若干个棱长为 1 cm 的正方体构成的几何体的三视图，则构成这个几何 体的体积是( C ) A．3 cm3 B．4 cm3 C．5 cm3 D．6 cm3 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．如图是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是中心投影，而不是平行投影． 第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 22 第 14 题图 12．如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长为 3.2 m 的竹竿做测量工具．移动竹竿 使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面上同一点．此时，竹竿与这一点相距 8 m，与旗杆相 距 22 m，则旗杆的高度为 12 m． 13．如图是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体，那么其三种视图中面积最小的 是左视图． 14．(2020·齐齐哈尔)如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个 几何体的侧面积是__65π__． 15．如图，在一次数学活动课上，张明用 17 个边长为 1 的小正方体搭成了一个几何体， 然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和 张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体(不改变张明所搭几何体的形状)，那么王亮至少 还需要 19 个小正方体，王亮所搭几何体的表面积为 48． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)如图，将第一行的四个物体与第二行其相应的俯视图连接起来． 解：①－c，②－a，③－b，④－d 17．(9 分)画出下面图形的三视图： 23 解：如图： 18．(9 分)如图是七个棱长为 1 的立方块组成的一个几何体，画出其三视图并计算其表 面积． 解：如图： 表面积 S＝(4×2＋5×2＋5×2)×1×1＝28 19．(9 分)根据下列视图，求所对应的物体的体积．(单位：mm) 解：由三视图知：该几何体是两个圆柱叠放在一起，上面圆柱的底面直径为 8，高为 4， 下面圆柱的底面直径为 16，高为 16，故体积为π(16÷2)2×16＋π(8÷2)2×4＝1088π(mm3) 20．(9 分)如图，不透明圆锥体 DEC 放在地面上，在 A 处灯光照射下形成影子，设 BP 过 底面圆的圆心，已知圆锥体的高为 2 3 m，底面半径为 2 m，BE＝4 m. (1)求∠B 的度数； (2)若∠ACP＝2∠B，求光源 A 距地面的高度．(答案用含根号的式子表示) 解：(1)设 DF 为圆锥 DEC 的高，交 BC 于点 F.由已知得 BF＝BE＋EF＝6 m，DF＝2 3 m， 24 ∴tan B＝DF BF ＝2 3 6 ＝ 3 3 ，∴∠B＝30° (2)过点 A 作 AH⊥BP 于点 H，∵∠ACP＝2∠B＝ 60°，∴∠BAC＝30°，∴AC＝BC＝8 m，在 Rt△ACH 中，AH＝AC·sin ∠ACP＝8× 3 2 ＝ 4 3 (m)，∴光源 A 距地面的高度为 4 3 m 21．(10 分)如图所示，有 4 张除了正面图案不同，其余都相同的图片． (1)以上四张图片所示的立体图形中，主视图是矩形的有 B，D；(填字母序号) (2)将这四张图片背面朝上混匀，从中随机抽出一张后放回，混匀后再随机抽出一张．求 两次抽出的图片所示的立体图形中，主视图都是矩形的概率． 解：(2)列表可得 第二张 第一张 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 由表可知，共有 16 种等可能结果，其中两次抽出的图片所示立体图形的主视图都是矩形 的有 4 种，分别是(B，B)，(B，D)，(D，B)，(D，D)，所以两次抽出的图片所示的立体图形 的主视图都是矩形的概率为 4 16 ，即1 4 22．(10 分)将一直径为 17 cm 的圆形纸片(如图①)剪成如图②形状的纸片，再将纸片沿 虚线折叠得到正方体(如图③)形状的纸盒，则这样的纸盒体积最大为多少？ 25 解：如图，设小正方形的边长为 2x cm，则 AB＝4x cm，OA＝17 2 cm，在 Rt△OAB 中，有 x2＋(4x)2＝(17 2 )2，∴x＝ 17 2 ，∴小正方形的边长最大为 17 cm，则纸盒体积最大为( 17 )3 ＝17 17 (cm3) 23．(11 分)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影长来测量路灯 D 的高度．如图，当李 明走到点 A 处时，张龙测得李明直立时身高 AM 与其影子长 AE 正好相等，接着李明沿 AC 方向 继续向前走，走到点 B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB，并测得 AB＝1.25 m， 已知李明直立时的身高为 1.75 m，求路灯 D 的高度．(结果精确到 0.1 m) 解：设 CD 长为 x m．由题意得 AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，∴AM∥CD，BN∥CD， ∴EC＝CD＝x，∴△ABN∽△ACD，∴BN CD ＝AB AC ，即1.75 x ＝ 1.25 x－1.75 ，解得 x＝6.125≈6.1， 则路灯 D 的高度约为 6.1 m 期中检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列各点中，在函数 y＝－8 x 图象上的是( A ) A．(－2，4) B．(2，4) C．(－2，－4) D．(8， 1) 2．(2020·毕节)已知a b ＝2 5 ，则a＋b b 的值为( C ) A．2 5 B．3 5 C．7 5 D．2 3 3．(2020·无锡)反比例函数 y＝k x 与一次函数 y＝ 8 15 x＋16 15 的图形有一个交点 B(1 2 ， m)，则 k 的值为( C ) A．1 B．2 C．2 3 D．4 3 4．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC 的是( D ) 26 A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD·AC D．AD AB ＝AB BC 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 5．如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB.若 AD ＝2BD，则CF BF 的值为( A ) A．1 2 B．1 3 C．1 4 D．2 3 6．(2020·娄底)如图，平行于 y 轴的直线分别交 y＝k1 x 与 y＝k2 x 的图象(部分)于点 A， B，点 C 是 y 轴上的动点，则△ABC 的面积为( B ) A．k1－k2 B．1 2 (k1－k2) C．k2－k1 D．1 2 (k2－k1) 7．如图，△ABE 和△CDE 是以点 E(1，0)为位似中心的位似图形，已知点 A(3，4)，C(2， 2)，D(3，1)，则点 D 的对应点 B 的坐标是( C ) A．(4，2) B．(4，1) C．(5，2) D．(5，1) 8．(2020·通辽)如图，OC 交双曲线 y＝k x 于点 A，且 OC∶OA＝5∶3，若矩形 ABCD 的面 积是 8，且 AB∥x 轴，则 k 的值是( A ) A．18 B．50 C．12 D．200 9 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 9．(2020·郴州)在平面直角坐标系中，点 A 是双曲线 y1＝k1 x (x＞0)上任意一点，连接 AO，过点 O 作 AO 的垂线与双曲线 y2＝k2 x (x＜0)交于点 B，连接 AB，已知AO BO ＝2，则k1 k2 ＝( B ) A．4 B．－4 C．2 D．－2 10．(2020·常州)如图，点 D 是▱ OABC 内一点，CD 与 x 轴平行，BD 与 y 轴平行，BD＝ 2 ， 27 ∠ADB＝135°，S△ABD＝2.若反比例函数 y＝k x (x＞0)的图象经过 A，D 两点，则 k 的值是( D ) A．2 2 B．4 C．3 2 D．6 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2020·铜仁)已知点(2，－2)在反比例函数 y＝k x 的图象上，则这个反比例函数的 表达式是__y＝－4 x __. 12．(乐山中考)如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且 DE∥BC，若△ADE 与△ABC 的周长之比为 2∶3，AD＝4，则 DB＝2． 第 12 题图 第 14 题图 第 15 题图 13．(2020·德州)在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(－2，1)，以原点 O 为位似中心， 把线段 OA 放大为原来的 2 倍，点 A 的对应点为 A′.若点 A′恰在某一反比例函数图象上，则 该反比例函数解析式为__y＝－8 x __． 14．(2020·荆门)如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴、y 轴上，B(－2，1)，将 △OAB 绕点 O 顺时针旋转，点 B 落在 y 轴上的点 D 处，得到△OED，OE 交 BC 于点 G，若反比 例函数 y＝k x (x＜0)的图象经过点 G，则 k 的值为__－1 2 __． 15．(2020·随州)如图，直线 AB 与双曲线 y＝k x (k＞0)在第一象限内交于 A，B 两点， 与 x 轴交于点 C，点 B 为线段 AC 的中点，连接 OA，若△AOC 的面积为 3，则 k 的值为__2__． 三、解答题(共 75 分) 28 16．(8 分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(－1，2)， B(－3，4)，C(－2，6). (1)画出△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°后得到的△A1B1C1； (2)以原点 O 为位似中心，画出将△A1B1C1 三条边放大为原来的 2 倍后的△A2B2C2. 解：(1)图略 (2)图略 17．(9 分)(2020·南充)如图，反比例函数 y＝k x (k≠0，x＞0)的图象与 y＝2x 的图象相 交于点 C，过直线上点 A(a，8)作 AB⊥y 轴交于点 B，交反比例函数图象于点 D，且 AB＝4BD. (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形 OCDB 的面积． 解：(1)∵点 A(a，8)在直线 y＝2x 上，∴a＝4，A(4，8)，∵AB⊥y 轴，AB＝4BD，∴BD ＝1，即 D(1，8)，∵点 D 在 y＝k x 上，∴k＝8.∴反比例函数的解析式为 y＝8 x (2)由 y＝2x， y＝8 x ， 解得 x＝2， y＝4 或 x＝－2， y＝－4 (舍去)，∴C(2，4)，∴S 四边形 OBDC＝S△AOB－S△ADC＝1 2 ×4×8－1 2 ×4×3 ＝10 18．(9 分)(2020·济宁)在△ABC 中，BC 边的长为 x，BC 边上的高为 y，△ABC 的面积为 2. (1)y 关于 x 的函数关系式是__________，x 的取值范围是__________； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)将直线 y＝－x＋3 向上平移 a(a＞0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交 点，请求出此时 a 的值． 29 题图 答图 解：(1)∵在△ABC 中，BC 边的长为 x，BC 边上的高为 y，△ABC 的面积为 2，∴1 2 xy＝2， ∴xy＝4，∴y 关于 x 的函数关系式是 y＝4 x ，x 的取值范围为 x＞0，故答案为：y＝4 x ，x＞0 (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示 (3)将直线 y＝－x＋3 向上平移 a(a＞0) 个单位长度后解析式为 y＝－x＋3＋a，解 y＝－x＋3＋a， y＝4 x ， 整理得，x2－(3＋a)x＋4＝0，∵ 平移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点，∴Δ＝(3＋a)2－16＝0，解得 a＝1，a＝－ 7(不合题意，舍去)，故此时 a 的值为 1 19．(9 分)(2020·无锡)如图，DB 过⊙O 的圆心，交⊙O 于点 A，B，DC 是⊙O 的切线， 点 C 是切点，已知∠D＝30°，DC＝ 3 . (1)求证：△BOC∽△BCD； (2)求△BCD 的周长． 证明：(1)∵DC 是⊙O 的切线，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝30°，∴∠BOC＝∠D＋∠OCD＝ 30°＋90°＝120°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠DCB＝120°＝∠BOC，又∵∠B ＝∠D＝30°，∴△BOC∽△BCD (2)∵∠D＝30°，DC＝ 3 ，∠OCD＝90°，∴DC＝ 3 OC ＝ 3 ，DO＝2OC，∴OC＝1＝OB，DO＝2，∵∠B＝∠D＝30°，∴DC＝BC＝ 3 ，∴△BCD 的 周长＝CD＋BC＋DB＝ 3 ＋ 3 ＋2＋1＝3＋2 3 20．(9 分)(2020·襄阳)如图，反比例函数 y1＝m x (x＞0)和一次函数 y2＝kx＋b 的图象都 经过点 A(1，4)和点 B(n，2). (1)m＝________，n＝________； (2)求一次函数的解析式，并直接写出 y1＜y2 时 x 的取值范围； (3)若点 P 是反比例函数 y1＝m x (x＞0)的图象上一点，过点 P 作 PM⊥x 轴，垂足为 M，则 △POM 的面积为________. 30 解：(1)∵把 A(1，4)代入 y1＝m x (x＞0)得：m＝1×4＝4，∴y＝4 x ，把 B(n，2)代入 y＝ 4 x 得：2＝4 n ，解得 n＝2；故答案为 4，2 (2)把 A(1，4)，B(2，2)代入 y2＝kx＋b 得： k＋b＝4， 2k＋b＝2， 解得：k＝－2，b＝6，即一次函数的解析式是 y＝－2x＋6.由图象可知：y1＜y2 时 x 的取值范 围是 1＜x＜2 (3)由题意得 S△POM＝1 2 |m|＝1 2 ×4＝2，故答案为 2 21．(10 分)(2020·荆州)九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后， 进一步研究了函数 y＝ 2 |x| 的图象与性质，探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图①. 列表：下表是 x 与 y 的几组对应值，其中 m＝________； x … －3 －2 －1 －1 2 1 2 1 2 3 … y … 2 3 1 2 4 4 2 m 2 3 … 描点：根据表中各组对应值(x，y)，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)通过观察图①，写出该函数的两条性质： ①________________________________________________________________________； ②________________________________________________________________________； (3)①观察发现：如图②.若直线 y＝2 交函数 y＝ 2 |x| 的图象于 A，B 两点，连接 OA，过 点 B 作 BC∥OA 交 x 轴于 C.则 S 四边形 OABC＝________； ②探究思考：将①中“直线 y＝2”改为“直线 y＝a(a＞0)”，其他条件不变，则 S 四边形 OABC＝________； ③类比猜想：若直线 y＝a(a＞0)交函数 y＝ k |x| (k＞0)的图象于 A，B 两点，连接 OA， 过点 B 作 BC∥OA 交 x 轴于 C，则 S 四边形 OABC＝________. 31 题图 答图 解：(1)当 x＜0 时，xy＝－2，而当 x＞0 时，xy＝2，∴m＝1，故答案为：1；补全图象 如图所示 (2)答案为：①函数的图象关于 y 轴对称，②当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小 (3)如图，①由 A，B 两点关于 y 轴对称，由题意可得四边 形 OABC 是平行四边形，且 S 四边形 OABC＝4S△OAM＝4×1 2 |k|＝2|k|＝4，②同①可知：S 四边形 OABC＝2|k| ＝4，③S 四边形 OABC＝2|k|＝2k，故答案为：4，4，2k 22．(10 分)(武汉中考)已知 AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相 切于点 E，分别交 AM，BN 于 D，C 两点． (1)如图①，求证：AB2＝4AD·BC； (2)如图②，连接 OE 并延长交 AM 于点 F，连接 CF.若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴 影部分的面积． 解：(1)连接 OC，OD，如图①所示：∵AM 和 BN 是它的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴ AM∥BN，∴∠ADE＋∠BCE＝180°.∵DC 切⊙O 于点 E，∴∠ODE＝1 2 ∠ADE，∠OCE＝1 2 ∠BCE， ∴∠ODE＋∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠AOD＋∠COB＝90°，∵∠AOD＋∠ADO＝90°， ∴∠AOD＝∠OCB，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO，∴AD BO ＝OA BC ，∴OA2＝AD·BC， ∴(1 2 AB)2＝AD·BC，∴AB2＝4AD·BC (2)连接 OD，OC，如图②所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC， ∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD 垂直平分 OF，∴OD＝DF，在△COD 和△CFD 中， OC＝FC， OD＝FD， CD＝CD， ∴△COD≌△CFD(SSS)，∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA＋∠CDO＋∠CDF＝180°， ∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在 Rt△DAO 中，AD＝ 3 3 OA，在 Rt△BOC 中，BC 32 ＝ 3 OB，∴AD∶BC＝1∶3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝ 3 ，∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC －S 扇形 OBE＝2×1 2 × 3 ×3－120π×（ 3）2 360 ＝3 3 －π 23．(11 分)(2020·烟台)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋2 与 x 轴交于 A，B 两点，且 OA＝ 2OB，与 y 轴交于点 C，连接 BC，抛物线对称轴为直线 x＝1 2 ，D 为第一象限内抛物线上一动 点，过点 D 作 DE⊥OA 于点 E，与 AC 交于点 F，设点 D 的横坐标为 m. (1)求抛物线的表达式； (2)当线段 DF 的长度最大时，求 D 点的坐标； (3)抛物线上是否存在点 D，使得以点 O，D，E 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在， 求出 m 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)设 OB＝t，则 OA＝2t，则点 A，B 的坐标分别为(2t，0)，(－t，0)，则 x＝1 2 ＝ 1 2 (2t－t)，解得：t＝1，故点 A，B 的坐标分别为(2，0)，(－1，0)，则抛物线的表达式为： y＝a(x－2)(x＋1)＝ax2＋bx＋2，解得：a＝－1，故抛物线的表达式为：y＝－x2＋x＋2 (2) 对于 y＝－x2＋x＋2，令 x＝0，则 y＝2，故点 C(0，2)，由点 A，C 的坐标得，直线 AC 的表 达式为：y＝－x＋2，设点 D 的横坐标为 m，则点 D(m，－m2＋m＋2)，则点 F(m，－m＋2)，则 DF＝－m2＋m＋2－(－m＋2)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1，∵－1＜0，故 DF 有最大值，此时 m ＝1，点 D(1，2) (3)存在，理由：点 D(m，－m2＋m＋2)(m＞0)，则 OE＝m，DE＝－m2＋m＋2， 以点 O，D，E 为顶点的三角形与△BOC 相似，则DE OE ＝OB OC 或OC OB ，即DE OE ＝2 或1 2 ，即－m2＋m＋2 m ＝2 或1 2 ，解得：m＝1 或－2(舍去)或1＋ 33 4 或1－ 33 4 (舍去)，故 m＝1 或1＋ 33 4 期末检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(玉林中考)sin30°＝( B ) A． 2 2 B．1 2 C． 3 2 D． 3 3 2．(2020·凉山州)如图，下列几何体的左视图不是矩形的是( B ) 33 3．(2020·黔西南州)如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O 旋转到 A′B′ 的位置，已知 AO 的长为 4 米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆 A 端升高的高度为( B ) A． 4 sin α 米 B．4sin α米 C． 4 cos α 米 D．4cos α米 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 4．(新疆中考)如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，下列说法中不正确的是( D ) A．DE＝1 2 BC B．AD AB ＝AE AC C．△ADE∽△ABC D．S△ADE∶S△ABC＝1∶2 5．(2020·怀化)在同一平面直角坐标系中，一次函数 y1＝k1x＋b 与反比例函数 y2＝k2 x (x ＞0)的图象如图所示．则当 y1＞y2 时，自变量 x 的取值范围为( D ) A．x＜1 B．x＞3 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3 6．(2020·宜宾)如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆上一点，连接 AC 和 BC，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，且 CD＝4，BD＝3，则⊙O 的周长是( A ) A．25 3 π B．50 3 π C．625 9 π D．625 36 π 7．(2020·自贡)函数 y＝k x 与 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则函数 y＝kx－b 的大致 图象为( D ) 8．如图，要在宽为 22 米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂 CD 长 2 米，且与灯柱 BC 成 120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 DO 与灯臂 CD 垂直，当灯罩的轴线 DO 通过 公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱 BC 高度应该设计为( D ) A.(11－2 2 )米 B．(11 3 －2 2 )米 C．(11－2 3 )米 D．(11 3 －4)米 34 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 9．(2020·苏州)如图，平行四边形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，点 D(3，2)在对 角线 OB 上，反比例函数 y＝k x (k＞0，x＞0)的图象经过 C，D 两点．已知平行四边形 OABC 的 面积是15 2 ，则点 B 的坐标为( B ) A．(4，8 3 ) B．(9 2 ，3) C．(5，10 3 ) D．(24 5 ，16 5 ) 10．(2020·遂宁)如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，连接 AE，DE，分别交 BD，AC 于点 P，Q，过点 P 作 PF⊥AE 交 CB 的延长线于 F，下列结论： ①∠AED＋∠EAC＋∠EDB＝90°；②AP＝FP；③AE＝ 10 2 AO；④若四边形 OPEQ 的面积为 4，则该正方形 ABCD 的面积为 36；⑤CE·EF＝EQ·DE. 其中正确的结论有( B ) A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(上海中考)已知反比例函数 y＝k x (k≠0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限 内，y 的值随着 x 的值增大而减小，那么 k 的取值范围是 k>0． 12．如图，在▱ ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，AE 交 BD 于点 F，若 BE＝2，EC＝3，则BF DF 的值为2 5 ． 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 13．(2020·达州)如图，小明为测量校园里一棵大树 AB 的高度，在树底部 B 所在的水平 面内，将测角仪 CD 竖直放在与 B 相距 8 m 的位置，在 D 处测得树顶 A 的仰角为 52°.若测角 仪的高度是 1 m，则大树 AB 的高度约为__11_m__．(结果精确到 1 m．参考数据：sin 52°≈ 0.78，cos 52°≈0.61，tan 52°≈1.28) 35 14．(2020·鄂州)如图，点 A 是双曲线 y＝1 x (x＜0)上一动点，连接 OA，作 OB⊥OA，且 使 OB＝3OA，当点 A 在双曲线 y＝1 x 上运动时，点 B 在双曲线 y＝k x 上移动，则 k 的值为__－ 9__． 15．(2020·岳阳)如图，AB 为半圆 O 的直径，M，C 是半圆上的三等分点，AB＝8，BD 与 半圆 O 相切于点 B.点 P 为 AM 上一动点(不与点 A，M 重合)，直线 PC 交 BD 于点 D，BE⊥OC 于点 E，延长 BE 交 PC 于点 F，则下列结论正确的是__②⑤__．(写出所有正确结论的序号) ①PB＝PD；② BC 的长为4 3 π；③∠DBE＝45°；④△BCF∽△PFB；⑤CF·CP 为定值． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D 在 BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若 AB＝2，求△ABC 的周长．(结果保留根号) 解：△ABC 的周长是 6＋2 3 17．(9 分)(2020·成都)在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y＝m x (x＞0)的图象经过 点 A(3，4)，过点 A 的直线 y＝kx＋b 与 x 轴、y 轴分别交于 B，C 两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若△AOB 的面积为△BOC 的面积的 2 倍，求此直线的函数表达式． 解：(1)∵反比例函数 y＝m x (x＞0)的图象经过点 A(3，4)，∴k＝3×4＝12，∴反比例函 数的表达式为 y＝12 x (2)∵直线 y＝kx＋b 过点 A，∴3k＋b＝4，∵过点 A 的直线 y＝kx＋b 与 x 轴、y 轴分别交于 B，C 两点，∴B(－b k ，0)，C(0，b)，∵△AOB 的面积为△BOC 的面积 的 2 倍，∴1 2 ×4×|－b k |＝2×1 2 ×|－b k |×|b|，∴b＝±2，当 b＝2 时，k＝2 3 ，当 b＝－ 2 时，k＝2，∴直线的函数表达式为：y＝2 3 x＋2 或 y＝2x－2 18．(9 分)如图①是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． 36 (1)请说出这个几何体模型的最确切的名称是直三棱柱； (2)如图②是根据 a，h 的取值画出的几何体的主视图和俯视图(图中的粗实线表示的正 方形(中间一条虚线)和三角形)，请在网格中画出该几何体的左视图； (3)在(2)的条件下，已知 h＝20 cm，求该几何体的表面积．(结果保留根号) 解：(2)图略 (3)由题意可得：a＝ h 2 ＝ 20 2 ＝10 2 ，S 表面积＝1 2 ×(10 2 )2×2＋ 2×10 2 ×20＋202＝(600＋400 2 ) cm2 19．(9 分)如图，等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC，BC 边上各取一点 E，F，使 AE＝ CF，连接 AF，BE 相交于点 P. (1)求证：AF＝BE，并求∠APB 的度数； (2)若 AE＝2，试求 AP·AF 的值． 解：(1)∵△ABC 为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，又∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CAF(SAS)，∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF.又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP＋∠BAP，∴∠ APE＝∠BAP＋∠CAF＝60°，∴∠APB＝180°－∠APE＝120° (2)∵∠C＝∠APE＝60°，∠ PAE＝∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴AP AC ＝AE AF ，即AP 6 ＝ 2 AF ，∴AP·AF＝12 20．(9 分)(2020·黄冈)已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 A，B 两 点，与 y 轴正半轴交于点 C，与 x 轴负半轴交于点 D，OB＝ 5 ，tan ∠DOB＝1 2 . (1)求反比例函数的解析式； (2)当 S△ACO＝1 2 S△OCD 时，求点 C 的坐标． 解：分别过点 B，A 作 BM⊥x 轴，AN⊥y 轴，垂足为点 M，N，(1)在 Rt△BOM 中，OB＝ 5 ， tan ∠DOB＝1 2 ，∴BM＝1，OM＝2，∴点 B(－2，－1)，∴k＝(－2)×(－1)＝2，∴反比例函 37 数的关系式为 y＝2 x (2)∵S△ACO＝1 2 S△OCD，∴OD＝2AN，又∵△ANC∽△DOC，∴AN DO ＝NC OC ＝CA CD ＝1 2 ，设 AN＝a，CN＝b，则 OD＝2a，OC＝2b，∵S△OAN＝1 2 |k|＝1＝1 2 ON·AN＝1 2 ×3b×a， ∴ab＝2 3 ①，由△BMD∽△CNA 得MD AN ＝BM CN ，即2－2a a ＝1 b ，也就是 a＝ 2b 2b＋1 ②，由①②可 求得 b＝1，b＝－1 3 (舍去)，∴OC＝2b＝2，∴点 C(0，2) 21．(10 分)(2020·河南)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文 台，也是世界文化遗产之一． 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在 地面一条水平步道 MP 上架设测角仪，先在点 M 处测得观星台最高点 A 的仰角为 22°，然后 沿 MP 方向前进 16 m 到达点 N 处，测得点 A 的仰角为 45°.测角仪的高度为 1.6 m. (1)求观星台最高点 A 距离地面的高度(结果精确到 0.1 m．参考数据：sin 22°≈0.37， cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40， 2 ≈1.41)； (2)“景点简介”显示，观星台的高度为 12.6 m．请计算本次测量结果的误差，并提出 一条减小误差的合理化建议． 解：(1)过 A 作 AD⊥PM 于 D，延长 BC 交 AD 于 E，则四边形 BMNC，四边形 BMDE 是矩形， ∴BC＝MN＝16 m，DE＝CN＝BM＝1.6 m，∵∠AEB＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE 是等腰直角 三角形，∴CE＝AE，设 AE＝CE＝x，∴BE＝16＋x，∵∠ABE＝22°，∴tan 22°＝AE BE ＝ x 16＋x ≈0.40，∴x≈10.7(m)，∴AD＝10.7＋1.6＝12.3(m)，答：观星台最高点 A 距离地面 的高度约为 12.3 m (2)∵“景点简介”显示，观星台的高度为 12.6 m，∴本次测量结果的误差为 12.6－12.3 ＝0.3(m)，减小误差的合理化建议为：可以通过多次测量取平均值的方法来减小误差 22．(10 分)(2020·常德)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，D 是 AB 上的 一点，DE⊥AB 于 D，DE 交 BC 于 F，且 EF＝EC. (1)求证：EC 是⊙O 的切线； (2)若 BD＝4，BC＝8，圆的半径 OB＝5，求切线 EC 的长． 38 解：(1)连接 OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC＋∠DFB＝90°，∵ EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB＋∠ECF＝90°，∴OC⊥EC，∴EC 是⊙O 的切线 (2)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝ AB2－BC2 ＝ 100－64 ＝6，∵cos ∠ABC＝BD BF ＝BC AB ，∴ 8 10 ＝ 4 BF ，∴BF＝5，∴CF＝BC－BF＝3，∵∠ABC＋∠A＝ 90°，∠ABC＋∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴ ∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴EC OA ＝CF AC ，∴EC＝OA·CF AC ＝5×3 6 ＝5 2 23．(11 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB 于点 D.点 P 从 点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发， 速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到点 C 时，两点都停止．设运动时间为 t 秒． (1)求线段 CD 的长； (2)设△CPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某 一时刻 t，使得 S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由； (3)当 t 为何值时，△CPQ 为等腰三角形？ 解：(1)线段 CD 的长为 4.8 (2)过点 P 作 PH⊥AC，垂足为 H，由题意可知 DP＝t，CQ＝t， 则 CP＝4.8－t.由△CHP∽△BCA 得PH AC ＝PC AB ，∴PH 8 ＝4.8－t 10 ，∴PH＝96 25 －4 5 t，∴S△CPQ＝ 1 2 CQ·PH＝1 2 t(96 25 －4 5 t)＝－2 5 t2＋48 25 t.设存在某一时刻 t，使得 S△CPQ∶S△ABC＝9∶100.∵S △ABC＝1 2 ×6×8＝24，且 S△CPQ∶S△ABC＝9∶100，∴(－2 5 t2＋48 25 t)∶24＝9∶100，整理得 5t2 －24t＋27＝0，即(5t－9)(t－3)＝0，解得 t＝9 5 或 t＝3，∵0≤t≤4.8，∴当 t＝9 5 或 t＝3 时，S△CPQ∶S△ABC＝9∶100 (3)①若 CQ＝CP，则 t＝4.8－t.解得 t＝2.4；②若 PQ＝PC，作 PH⊥QC 于点 H，∴QH＝CH＝1 2 QC＝t 2 ，∵△CHP∽△BCA，∴CH BC ＝CP AB ，∴ t 2 6 ＝4.8－t 10 ，解得 t＝144 55 ； ③若 QC＝QP，过点 Q 作 QE⊥CP，垂足为 E，同理可得 t＝24 11 .综上所述：当 t 为 2.4 或144 55 或 24 11 时，△CPQ 为等腰三角形