高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.1.2 演绎推理

高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.1.2 演绎推理

2.1.2 演绎推理 明目标、知重点 1．理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了 解合情推理和演绎推理之间的区别和联系． 1．演绎推理 含义 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理 特点 由一般到特殊的推理 2.三段论 一般模式 常用格式 大前提 已知的一般原理 M 是 P 小前提 所研究的特殊情况 S 是 M 结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 S 是 P 情境导学] 小明是一名高二年级的学生，17 岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中．由于每月的零花 钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢 取钱财．但小明却说我是未成年人而且就抢了 50 元，这应该不会很严重吧？如果你是法官， 你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？ 探究点一 演绎推理与三段论 思考 1 分析下面几个推理，找出它们的共同点． (1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电； (2)一切奇数都不能被 2 整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被 2 整除； (3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此 tan α是周期函数； (4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋ ∠B＝180°. 答 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理 叫演绎推理． 思考 2 演绎推理有什么特点？ 答 演绎推理是从一般到特殊的推理．演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之 中的个别、特殊事实． 思考 3 演绎推理的结论一定正确吗？ 答 在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确 的，结论必定是正确的． 思考 4 演绎推理一般是怎样的模式？ 答 “三段论”是演绎推理的一般模式，它包括： (1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原 理，对特殊情况做出的判断． 例 1 将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分； (2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B 是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B； (3)通项公式为 an＝2n＋3 的数列{an}为等差数列． 解 (1)平行四边形的对角线互相平分， 大前提 菱形是平行四边形， 小前提 菱形的对角线互相平分． 结论 (2)等腰三角形的两底角相等， 大前提 ∠A，∠B 是等腰三角形的底角， 小前提 ∠A＝∠B. 结论 (3)数列{an}中，如果当 n≥2 时，an－an－1 为常数，则{an}为等差数列， 大前提 通项公式为 an＝2n＋3 时，若 n≥2， 则 an－an－1＝2n＋3－2(n－1)＋3]＝2(常数)， 小前提 通项公式为 an＝2n＋3 的数列{an}为等差数列． 结论 反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一 个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊 情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前 提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提． 跟踪训练 1 把下列推断写成三段论的形式： (1)因为△ABC 三边的长依次为 3,4,5，所以△ABC 是直角三角形； (2)函数 y＝2x＋5 的图象是一条直线； (3)y＝sin x(x∈R)是周期函数． 解 (1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形， 大前提 △ABC 三边的长依次为 3,4,5，而 32＋42＝52， 小前提 △ABC 是直角三角形． 结论 (2)一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线， 大前提 函数 y＝2x＋5 是一次函数， 小前提 函数 y＝2x＋5 的图象是一条直线． 结论 (3)三角函数是周期函数， 大前提 y＝sin x(x∈R)是三角函数， 小前提 y＝sin x(x∈R)是周期函数． 结论 探究点二 三段论推理中的易错点 例 2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)整数是自然数， 大前提 －3 是整数， 小前提 －3 是自然数． 结论 (2)常函数的导函数为 0， 大前提 函数 f(x)的导函数为 0， 小前提 f(x)为常函数． 结论 (3)无限不循环小数是无理数， 大前提 1 3 (0.333 33…)是无限不循环小数， 小前提 1 3 是无理数． 结论 解 (1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数． (2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为 0”， 因此演绎推理的结论也应为“导函数为 0”． (3)结论是错误的，原因是小前提错误.1 3 (0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数． 反思与感悟 演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全 部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确． 跟踪训练 2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提 北京大学是中国的大学，小前提 所以北京大学分布在中国各地．结论 (2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提 所以菱形是正多边形．结论 解 (1)推理形式错误．大前提中的 M 是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提 中 M 虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理 形式错误．(2)结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸 多边形才是正多边形． 探究点三 三段论的应用 例 3 如图，在锐角三角形 ABC 中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E 是垂足，求证：AB 的中点 M 到点 D，E 的距离相等． 证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形， 大前提 在△ABD 中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°， 小前提 所以△ABD 是直角三角形． 结论 同理，△AEB 也是直角三角形． (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 大前提 因为 DM 是直角三角形 ABD 斜边上的中线， 小前提 所以 DM＝1 2 AB. 结论 同理 EM＝1 2 AB. 所以 DM＝EM. 反思与感悟 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要 引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得 出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省略． 跟踪训练 3 已知：在空间四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，如图所示，求证： EF∥平面 BCD. 证明 三角形的中位线平行于底边，大前提 点 E、F 分别是 AB、AD 的中点，小前提 所以 EF∥BD.结论 若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提 EF⊄ 平面 BCD，BD⊂平面 BCD，EF∥BD，小前提 EF∥平面 BCD.结论 1．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B ＝180° B．某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过 50 人 C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 D．在数列{an}中 a1＝1，an＝1 2 an－1＋ 1 an－1 (n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式 答案 A 解析 A 是演绎推理，B、D 是归纳推理，C 是类比推理． 2．“因为对数函数 y＝logax 是增函数(大前提)，又 y＝log1 3 x 是对数函数(小前提)，所以 y ＝log1 3 x 是增函数(结论)．”下列说法正确的是( ) A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误 C．推理形式错误导致结论错误 D．大前提和小前提都错误导致结论错误 答案 A 解析 y＝logax 是增函数错误．故大前提错． 3．把“函数 y＝x2＋x＋1 的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________； 小前提：____________； 结论：____________. 答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数 y＝x2＋x＋1 是二次函数 函数 y＝x2＋x＋1 的图 象是一条抛物线 4.如图，在△ABC 中，AC>BC，CD 是 AB 边上的高，求证：∠ACD>BCD. 证明：在△ABC 中， 因为 CD⊥AB，AC>BC， ① 所以 AD>BD, ② 于是∠ACD>∠BCD. ③ 则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号) 答案 ③ 解析 由 AD>BD，得到∠ACD>∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”， 小前提是“AD>BD”，而 AD 与 BD 不在同一三角形中，故③错误． 呈重点、现规律] 1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确， 通过演绎推理得到的结论一定正确． 2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中 常省略三段论的大前提. 一、基础过关 1．下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤ 答案 D 解析 根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确． 2．下列说法不正确的是( ) A．演绎推理是由一般到特殊的推理 B．赋值法是演绎推理 C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断 D．归纳推理的结论都不可靠 答案 D 3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此 f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以 上推理( ) A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 答案 C 解析 由于函数 f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确． 4．“∵四边形 ABCD 是矩形，∴四边形 ABCD 的对角线相等．”以上推理的大前提是( ) A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 答案 B 解析 利用三段论分析： 大前提：矩形都是对角线相等的四边形； 小前提：四边形 ABCD 是矩形； 结论：四边形 ABCD 的对角线相等． 5．给出演绎推理的“三段论”： 直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提) 已知直线 b∥平面α，直线 a⊂平面α；(小前提) 则直线 b∥直线 a.(结论) 那么这个推理是( ) A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 答案 A 6．下列几种推理过程是演绎推理的是( ) A．5 和 2 2可以比较大小 B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 C．东升高中高二年级有 15 个班，1 班有 51 人，2 班有 53 人，3 班有 52 人，由此推测各班都 超过 50 人 D．预测股票走势图 答案 A 7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为 90°. 证明 因为任意三角形内角之和为 180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直 角三角形内角之和为 180°(结论)． 设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相 等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)． 二、能力提升 8．在求函数 y＝ log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当 a有意义时，a≥0；小前提 是 log2x－2有意义；结论是__________________． 答案 y＝ log2x－2的定义域是 4，＋∞) 解析 由大前提知 log2x－2≥0，解得 x≥4. 9．已知三条不重合的直线 m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若 m∥n，n⊂α，则 m∥α； ②若 l⊥α，m⊥β且 l∥m，则α∥β； ③若 m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则 n⊥α. 其中正确的命题个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 ①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与 n 相交时才成立，③错误； ④正确．故选 B. 10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的 凸集，给出平面上 4 个点集的图形如图(阴影区域及其边界)： 其中为凸集的是______(写出所有凸集相应图形的序号)． 答案 ②③ 11．用演绎推理证明函数 f(x)＝|sin x|是周期函数． 证明 大前提：若函数 y＝f(x)对于定义域内的任意一个 x 值满足 f(x＋T)＝f(x)(T 为非零常 数)，则它为周期函数，T 为它的一个周期． 小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)． 结论：函数 f(x)＝|sin x|是周期函数． 12．设 a>0，f(x)＝ex a ＋a ex是 R 上的偶函数，求 a 的值． 解 ∵f(x)是 R 上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴(a－1 a )(ex－1 ex)＝0 对于一切 x∈R 恒成立， 由此得 a－1 a ＝0， 即 a2＝1.又 a>0， ∴a＝1. 三、探究与拓展 13．设 f(x)＝ax＋a－x 2 ，g(x)＝ax－a－x 2 (其中 a>0 且 a≠1)． (1)5＝2＋3 请你推测 g(5)能否用 f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广． 解 (1)由 f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝a3＋a－3 2 ×a2－a－2 2 ＋a3－a－3 2 ×a2＋a－2 2 ＝a5－a－5 2 又 g(5)＝a5－a－5 2 ，因此， g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)． (2)由 g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)， 即 g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)， 于是推测 g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)． 证明：因为 f(x)＝ax＋a－x 2 ，g(x)＝ax－a－x 2 ，(大前提) 所以 g(x＋y)＝ax＋y－a－x＋y 2 ， g(y)＝ay－a－y 2 ，f(y)＝ay＋a－y 2 ，(小前提及结论) 所以 f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝ax＋a－x 2 ×ay－a－y 2 ＋ax－a－x 2 ×ay＋a－y 2 ＝ax＋y－a－ x＋y 2 ＝g(x＋y).