【数学】2020届数学文一轮复习第七章第4讲基本不等式作业

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【数学】2020届数学文一轮复习第七章第4讲基本不等式作业

‎1.当x>0时,函数f(x)=有(  )‎ A.最小值1        B.最大值1‎ C.最小值2 D.最大值2‎ 解析:选B.f(x)=≤=1.‎ 当且仅当x=,x>0即x=1时取等号.所以f(x)有最大值1.‎ ‎2.下列不等式一定成立的是(  )‎ A.lg>lg x(x>0)‎ B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)‎ C.x2+1≥2|x|(x∈R)‎ D.>1(x∈R)‎ 解析:选C.对选项A,当x>0时,x2+-x=≥0,所以lg≥lg x;‎ 对选项B,当sin x<0时显然不成立;‎ 对选项C,x2+1=|x|2+1≥2|x|,一定成立;‎ 对选项D,因为x2+1≥1,‎ 所以0<≤1.故选C.‎ ‎3.若a>b>1,P=,Q=(lg a+lg b),R=lg ,则(  )‎ A.Rb>1,所以lg a>lg b>0,(lg a+lg b)>,即Q>P.因为>,所以lg>lg=(lg a+lg b)=Q,‎ 所以R>Q,所以P0,b>0,a+2b=3,则+的最小值为________.‎ 解析:由a+2b=3得a+b=1,‎ 所以+= ‎=++≥+2=.‎ 当且仅当a=2b=时取等号.‎ 答案: ‎7.已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b=________.‎ 解析:y=x-4+=x+1+-5,‎ 因为x>-1,所以x+1>0,>0.‎ 所以由基本不等式,‎ 得y=x+1+-5≥2-5=1,‎ 当且仅当x+1=,‎ 即(x+1)2=9,即x+1=3,x=2时取等号,‎ 所以a=2,b=1,a+b=3.‎ 答案:3‎ ‎8.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是________.‎ 解析:因为2x+2y≥2=2(当且仅当2x=2y时等号成立),所以≤,所以2x+y≤,得x+y≤-2.‎ 答案:(-∞,-2]‎ ‎9.(1)当x<时,求函数y=x+的最大值;‎ ‎(2)设00,‎ 所以+≥2=4,‎ 当且仅当=,即x=-时取等号.‎ 于是y≤-4+=-,‎ 故函数的最大值为-.‎ ‎(2)因为00,‎ 所以y==·≤·=,当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,所以当x=1时,函数y=的最大值为.‎ ‎10.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求 ‎(1)xy的最小值;‎ ‎(2)x+y的最小值.‎ 解:(1)由2x+8y-xy=0,‎ 得+=1,‎ 又x>0,y>0,‎ 则1=+≥2 =.‎ 得xy≥64,‎ 当且仅当x=16,y=4时,等号成立.‎ 所以xy的最小值为64.‎ ‎(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,‎ 则x+y=·(x+y)‎ ‎=10++≥10+2 =18.‎ 当且仅当x=12且y=6时等号成立,‎ 所以x+y的最小值为18.‎ ‎1.已知直线ax+by-6=0(a>0,b>0)被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为2,则ab的最大值是(  )‎ A.9 B. C.4 D. 解析:选B.将圆的一般方程化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,圆心坐标为(1,2),半径r=,故直线过圆心,即a+2b=6,所以a+2b=6≥2,可得ab≤,当且仅当a=2b=3时等号成立,即ab的最大值是,故选B.‎ ‎2.若正数a,b满足a+b=2,则+的最小值是(  )‎ A.1 B. C.9 D.16‎ 解析:选B.+ ‎=· ‎= ‎≥ ‎=,‎ 当且仅当=,即a=,b=时取等号,故选B.‎ ‎3.设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为________.‎ 解析:设=m,=n,则m,n均大于零,‎ 因为m2+n2≥2mn,‎ 所以2(m2+n2)≥(m+n)2,‎ 所以m+n≤·,‎ 所以+ ‎≤· ‎=3,‎ 当且仅当=,‎ 即a=,b=时“=”成立,‎ 所以所求最大值为3.‎ 答案:3 ‎4.设x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a>1,b>2)的最大值为5,则+的最小值为________.‎ 解析:由约束条件,作出可行域如图,联立,解得A(1,1).‎ 由z=ax+by(a>1,b>2),得y=-x+,‎ 由图可知,zmax=a+b=5.‎ 可得a-1+b-2=2.‎ 所以+=(a-1+b-2)= ‎≥=.‎ 当且仅当b=2a时等号成立,并且a+b=5,a>1,b>2即a=,b=时上式等号成立.‎ 所以+的最小值为.‎ 答案: ‎5.已知x>0,y>0,且2x+5y=20.‎ 求:(1)u=lg x+lg y的最大值;‎ ‎(2)+的最小值.‎ 解:(1)因为x>0,y>0,‎ 所以由基本不等式,得2x+5y≥2.‎ 因为2x+5y=20,‎ 所以2≤20,xy≤10,‎ 当且仅当2x=5y时,等号成立.‎ 因此有解得 此时xy有最大值10.‎ 所以u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.‎ 所以当x=5,y=2时,u=lg x+lg y有最大值1.‎ ‎(2)因为x>0,y>0,‎ 所以+=· ‎=≥‎ =.‎ 当且仅当=时,等号成立.‎ 由解得 所以+的最小值为.‎ ‎6.某商人投资81万元建一间工作室,第一年装修费为1万元,以后每年增加2万元,把工作室出租,每年收入租金30万元.‎ ‎(1)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润?‎ ‎(2)若干年后该商人为了投资其他项目,对该工作室有两种处理方案:①年平均利润最大时,以46万元出售该工作室;②纯利润总和最大时,以10万元出售该工作室.问该商人会选择哪种方案?‎ 解:(1)设第n年获取利润为y万元.‎ n年付出的装修费构成一个首项为1,公差为2的等差数列,n年付出的装修费之和为n×1+×2=n2,又投资81万元,n年共收入租金30n万元,‎ 所以利润y=30n-n2-81(n∈N*).‎ 令y>0,即30n-n2-81>0,‎ 所以n2-30n+81<0,‎ 解得3<n<27(n∈N*),所以从第4年开始获取纯利润.‎ ‎(2)方案①:年平均利润t==30--n=30-≤30-2=12(当且仅当=n,即n=9时取等号),‎ 所以年平均利润最大时,以46万元出售该工作室共获利润12×9+46=154(万元).‎ 方案②:纯利润总和y=30n-n2-81=-(n-15)2+144(n∈N*),‎ 当n=15时,纯利润总和最大,为144万元,‎ 所以纯利润总和最大时,以10万元出售该工作室共获利润144+10=154(万元),‎ 两种方案盈利相同,但方案①时间比较短,所以选择方案①.‎
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