2021高三数学人教B版一轮学案：第八章 第三节　圆的方程

2021高三数学人教B版一轮学案：第八章 第三节　圆的方程

www.ks5u.com 第三节　圆的方程 最新考纲 考情分析 ‎1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．‎ ‎2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.‎ ‎1.圆的方程、与圆有关的最值问题、与圆有关的轨迹问题是近几年高考命题的热点．‎ ‎2．常与直线、椭圆、抛物线等知识结合考查．‎ ‎3．题型以选择题、填空题为主，有时也会以解答题的形式出现.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 知识点一 圆的定义及方程 ‎1.如果没给出r>0，则圆的半径为|r|.‎ ‎2．当D2＋E2－‎4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ‎＝0表示一个点；当D2＋E2－‎4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．‎ 知识点二 点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：‎ ‎(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.‎ ‎(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.‎ ‎(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)20.(　√　)‎ ‎(4)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　√　)‎ 解析：(1)t≠0时，方程表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆．‎ ‎(2)a2＋(‎2a)2－4(‎2a2＋a－1)>0，‎ 即－2，即x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.‎ ‎(4)设M(x，y)是圆上异于直径端点A，B的点，由·＝－1得(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.‎ ‎2．小题热身 ‎(1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　D　)‎ A．(2,3) B．(－2,3)‎ C．(－2，－3) D．(2，－3)‎ 解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．‎ ‎(2)方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(　A　)‎ A. B. C. D. 解析：由题1＋1＋‎4m>0，所以m>－.故选A.‎ ‎(3)(2020·黄山模拟)以线段AB：x－y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　B　)‎ A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2‎ B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2‎ C．(x－1)2＋(y－1)2＝8‎ D．(x－1)2＋(y＋1)2＝8‎ 解析：∵线段AB：x－y－2＝0(0≤x≤2)的两个端点为(0，－2)，(2,0)，∴圆心为(1，－1)．半径为＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ ‎(4)若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(－1,1)．‎ 解析：由条件知(1－a)2＋(1＋a)2<4，‎ 即2＋‎2a2<4.∴a2<1.即－10)，则由题意，得 解得 因此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，故选C.‎ 方法2：AB的中垂线方程为y＝x，所以由 得圆心为(1,1)，所以半径为2，因此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，故选C.‎ ‎(2)设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0得x2＋Dx＋‎ F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E.由题设x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，即D＋E＝－2①.因为A(4,2)，B(－1,3)在圆上，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0②，1＋9－D＋3E＋F＝0③，由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)x2＋y2－2x－12＝0‎ 方法技巧 ‎ 求圆的方程一般有两种常用方法：(1)几何法，通过研究圆的几何性质，确定圆心坐标与半径长，即得到圆的方程；(2)代数法，用待定系数法求解，其关键是根据条件选择圆的方程，若已知圆上三点，则选用圆的一般方程，若已知条件与圆心及半径有关，则选用圆的标准方程.‎ ‎1．(2019·浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝－2，r＝.‎ 解析：解法1：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则 r＝＝.‎ 解法2：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.‎ ‎2．已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.‎ 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－‎4F>0)，将P，Q两点的坐标分别代入得 又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.　　　③‎ 设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，‎ 得D2－‎4F＝36，　　　　　　　　　　④‎ 联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.‎ 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.‎ 考点二　与圆有关的最值问题 命题方向1 利用几何关系求最值 ‎【例2】　直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)‎ A．[2,6] B．[4,8]‎ C．[，3] D．[2，3]‎ ‎【解析】　圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．‎ ‎【答案】　A 命题方向2 利用函数关系求最值 ‎【例3】　(1)若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，点A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)‎ A．2　　　　B．‎2‎　　　C．4　　　　D．4 ‎(2)已知圆C的方程为x2－2x＋y2＝0，直线l：kx－y＋2－2k ‎＝0与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的斜率k＝(　　)‎ A．1 B．6‎ C．1或7 D．2或6‎ ‎【解析】　(1)易得|PA|2＋|PB|2＝4，由基本不等式得2≤＝2，‎ 所以|PA|＋|PB|≤2.‎ ‎(2)圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为C(1,0)，半径r＝1.直线l变形为y＝k(x－2)＋2，过定点(2,2)，记∠ACB＝θ，由面积公式，得S＝r2sinθ＝sinθ≤，‎ 当θ＝时，△ABC面积最大，此时，点C到直线l距离为d＝＝，解得k＝1或7.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)C 方法技巧 (1)利用几何关系求最值,一般根据距离、斜率等知识的几何意义，结合圆的几何性质数形结合求解.‎ (2)建立函数关系式求最值,根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.‎ ‎1．(方向1)圆x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离分别是(　B　)‎ A．2， B．3， C．4,2 D．4，2 解析：∵圆x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，∴‎ 圆心为(2,2)，半径r＝.圆心到直线的距离d＝＝2，∴圆x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离分别是d＋r＝3，d－r＝，故选B.‎ ‎2．(方向1)已知点P为直线y＝x＋1上的一点，M，N分别为圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝4与圆C2：x2＋(y－2)2＝上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　C　)‎ A．4 B． ‎ C． D．7‎ 解析：设C2(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为C(m，n)，则解得C(1,1)．由对称性可得|PC|＝|PC2|，则|PC1|－|PC2|＝|PC1|－|PC|≤|C‎1C|＝3，由于|PM|≤|PC1|＋2，|PN|≥|PC2|－，‎ ‎∴|PM|－|PN|≤|PC1|－|PC2|＋≤，即|PM|－|PN|的最大值为，故选C.‎ ‎3．(方向2)若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则＋的最小值为(　B　)‎ A．10 B．8 ‎ C．5 D．4‎ 解析：因为圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16的圆心坐标为(－4，－1)，直线ax＋by＋1＝0把圆分成面积相等的两部分，所以该直线过点(－4，－1)，－‎4a－b＋1＝0，即‎4a＋b＝1，＋＝(‎4a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当a＝，b＝时取“＝”．‎ 考点三　与圆有关的轨迹问题 ‎【例4】　(2020·沈阳质量监测)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为(　　)‎ A．π B．2π ‎ C．3π D．4π ‎【解析】　以A点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0)．设M(x，y)，依题意有，＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，圆的面积为4π.故选D.‎ ‎【答案】　D 方法技巧 ‎ ‎1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　D　)‎ A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0‎ C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0‎ 解析：由题意得＝|PO|，所以(x－3)2＋(y＋4)2－4＝x2＋y2，即6x－8y－21＝0，故选D.‎ ‎2．已知点A(1,0)和圆C：x2＋y2＝4上一点P，动点Q满足＝2，则点Q的轨迹方程为(　D　)‎ A．2＋y2＝1 B．x2＋2＝1‎ C．x2＋2＝1 D．2＋y2＝1‎ 解析：设Q(x，y)，P(x0，y0)，由＝2，得x0＝－2x＋3，y0＝－2y，代入圆的方程，得2＋y2＝1.‎