广东省仲元中学中山一中等七校联合体2021届高三上学期第一次联考 数学

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HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 广东省仲元中学、中山一中等七校联合体 ‎2021届高三上学期第一次联考 数学试题 本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。‎ ‎3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷、草稿纸或答题卡的非答题区上无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．‎ 第Ⅰ卷 一． 选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合,则满足的集合B的个数是(　　)‎ A．1 B．‎3 C．4 D．8‎ ‎2.已知(　　)‎ A . B．C．D．‎ ‎3.设点是函数的图象C的一个对称中心，若点到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是(　　)‎ A．　　　　B. 　　　　C. 　　　 D. ‎ ‎4.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则(　　)‎ A．（） B．（） C．（） D．（）‎ ‎5.若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)‎ ‎·15·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ A．－540 （B）－‎162 C．162 （D）540‎ ‎6.已知是周期为2的奇函数，当时，设（　　）‎ A．　　　 B．　　‎ C．　　　D．‎ ‎7．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为(　　)‎ A． 1 B． C． D．2‎ ‎8．有A、B、C、D、E、F共6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个。若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运D箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为（　　）‎ A．168 B． ‎84 ‎ 　C．56 D． 42‎ 二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，漏选的得3分，错选或不选的得0分。‎ ‎9.下列四个条件中，是的充分条件的是（　　）‎ Ａ．，‎ B．为双曲线， ‎ C．，‎ Ｄ．，‎ ‎10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（）‎ A． B．‎ C．的最大值为 D．的最大值为 ‎·15·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎11．如图,在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）‎ A． 四点共面 B． 平面 C． 直线与所成角的为 D． 平面平面 ‎12．四边形内接于圆，，下列结论正确的有（）‎ A．四边形为梯形 B．四边形的面积为 ‎ C．圆的直径为7 ‎ D．的三边长度可以构成一个等差数列 第Ⅱ卷 三、填空题:本题共4小题每小题5分，其中第16题共两空答对一空得3分，答对两空得5分 ‎13.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为______‎ ‎14.若随机变量______________‎ ‎15.设函数.若是偶函数，则__________。‎ ‎16．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AB=6，AC=8，BC=10，则球的半径等于________ ,球的表面积等于__________．‎ 四、解答题:本题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ ‎·15·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 已知等差数列的前项和为 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的等差中项为14，且满足，求数列的前项和.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ B D C A 如图,是直角斜边上一点,,记 (1) 求的值.‎ (2) 若,求的值.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，，点E是上的点，且 ‎（1）求证：对任意的，都有 ‎（2）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值w.w.w..c.o.m ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是 ‎·15·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.‎ ‎(1) 求、的概率分布和数学期望、;‎ ‎(2) 当时,求的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，离心率为。‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎（2)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当面积取得最大值时，求直线的方程.‎ 22． ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，不等式对恒成立，求的取值范围.‎ ‎·15·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 七校联合体2021届高三第一次联考试卷（8月）‎ 数学答案 第Ⅰ卷选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A C B A D B D BC AD CD ABD 详细答案 ‎1、解析，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个。故选择答案C。‎ ‎2、解析：，由、是实数，得 ‎∴，故选择A。‎ ‎4、解：设＝（x，y），则有解得x＝，y＝，选B ‎5.解析：若的展开式中各项系数之和为=64，，则展开式的常数项为=－540，选A.‎ ‎6.解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，，<0，∴，选D.‎ ‎7.解析因为点P是曲线任意一点，所以当点P处的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小．‎ 因为直线y＝x－2的斜率等于1，曲线的导数，‎ 令y′＝1，可得x＝1或 (舍去)，所以在曲线与直线y＝x－2平行的切线 ‎·15·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 经过的切点坐标为(1,0)，‎ 所以点P到直线y＝x－2的最小距离为，故选：B ‎8．分两类：①甲运D箱，有种；②甲不运D箱，有。‎ 不同的分配方案共有+=42（种），选（D）。‎ ‎9.解：A. p不是q的充分条件，也不是必要条件；B. p是q的充分条件，不是必要条件；C. p是q的充要条件；D.必要不充分 答案BC ‎10.答案AD由题意得 ‎11.答案CD (1)由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；‎ ‎(2)平面，显然与平面不平行，故B错误；‎ ‎(3)取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确； ‎ ‎(4)由题意平面，故平面平面，故D正确；‎ ‎12.答案ABD【解析】‎ 可证 显然不平行即四边形为梯形，故正确；‎ 在中由余弦定理可得 解得或（舍去）‎ ‎·15·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 故B正确 在中由余弦定理可得 圆的直径不可能是，故C错误；‎ 在中，，，，满足 的三边长度可以构成一个等差数列，故正确；‎ 第Ⅱ卷非选择题 ‎13、解：双曲线的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，‎ ‎14解：随机变量所以正态曲线关于对称 所以 ‎15、解析：，则=‎ 为偶函数，∴ .‎ ‎16、 的外接圆半径为，球的半径为，表面积为 ‎17、解析：本小题考查数列的概念，等差数列，等比数列，对数与指数互相转化等基础知识。考查综合运用数学知识解决问题的能力。满分10分.‎ 解法：当时，···········1分 ‎···········2分 是等差数列,‎ ‎············4分 ‎·15·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎(Ⅱ)解：,是等差数列,‎ ‎···········6分 又··········8分 即是等比数列.‎ 所以数列的前项和···········10‎ ‎18解：（1）‎ ‎···········3分 ‎··········6分 ‎(2)在中，根据正弦定理 若AC=DC··········8分 由（1）得 ‎··········10分 又因为在直角△ABC中··········11分 ‎··········12分 ‎19证法：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如 ‎ 图2所示的空间直角坐标系，则 ‎ D（0，0，0），,B（，，0），C（0，，0），E（0，0），‎ ‎·15·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎， ‎ ‎ 即。·········4分 ‎（2）由（I）得.‎ 设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得 ‎·········6分 易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为.‎ ‎.·········10分 ‎.‎ ‎ 由于，解得，即为所求。 ·········12分 ‎（解法二）证明：如图1，连接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。‎ SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE·········4分 ‎（Ⅱ）如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= ,‎ SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD, SD⊥CD。‎ ‎ 又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SD AD=D，CD⊥平面SAD.‎ ‎·15·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，‎ 故∠CFD是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD=。‎ 在Rt△BDE中， BD=‎2a，DE=， ，‎ ‎ ‎ 在Rt△ADE中, ‎ 从而 在中，. ‎ 由，解得，即为所求.‎ ‎20【(I)解法1: 的概率分布为 ‎1.2‎ ‎1.18‎ ‎1.17‎ P E=1.2+1.18+1.17=1.18.·········2分 由题设得,则的概率分布为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故的概率分布为 ‎·15·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎1.3‎ ‎1.25‎ ‎0.2‎ P 所以的数学期望为 E=++=.·········8分 ‎(II) 由,得: ‎ 因0

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