2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练:几何压轴—圆的综合(含答案)

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2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练:几何压轴—圆的综合(含答案)

2021 年九年级数学中考一轮复习专题突破训练: 几何压轴—圆的综合 1.如图,AB 是⊙O 的直径,BM 切⊙O 于点 B,点 P 是⊙O 上的一个动点(点 P 不与 A,B 两 点重合),连接 AP,过点 O 作 OQ∥AP 交 BM 于点 Q,过点 P 作 PE⊥AB 于点 C,交 QO 的延 长线于点 E,连接 PQ,OP,AE. (1)求证:直线 PQ 为⊙O 的切线; (2)若直径 AB 的长为 4. ①当 PE= 时,四边形 BOPQ 为正方形; ②当 PE= 时,四边形 AEOP 为菱形. 2.已知 AB 是⊙O 的直径,DA 为⊙O 的切线,切点为 A,过⊙O 上的点 C 作 CD∥AB 交 AD 于 点 D,连接 BC、AC. (1)如图①,若 DC 为⊙O 的切线,切点为 C,求∠ACD 和∠DAC 的大小. (2)如图②,当 CD 为⊙O 的割线且与⊙O 交于点 E 时,连接 AE,若∠EAD=30°,求∠ ACD 和∠DAC 的大小. 3.已知 AB 为⊙O 的直径,点 C 为⊙O 上一点,点 D 为 AB 延长线一点,连接 AC. (Ⅰ)如图①,OB=BD,若 DC 与⊙O 相切,求∠D 和∠A 的大小; (Ⅱ)如图②,CD 与⊙O 交于点 E,AF⊥CD 于点 F 连接 AE,若∠EAB=18°,求∠FAC 的 大小. 4.如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,以 AC 为直径的⊙O 分别交 AB、BC 于点 M、N,过 点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 P. (1)求证:∠CAB=2∠BCP; (2)若⊙O 的直径为 5,sin∠BCP= ,求△ABC 内切圆的半径; (3)在(2)的条件下,求△ACP 的周长. 5.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,延长 BC 到点 D,使 BD=BA,P 是 BC 边 上一点.点 Q 在射线 BA 上,PQ=BP,以点 P 为圆心,PD 长为半径作⊙P,交 AC 于点 E, 连接 PQ,设 PC=x. (1)AB= ,CD= ,当点 Q 在⊙P 上时,求 x 的值; (2)x 为何值时,⊙P 与 AB 相切? (3)当 PC=CD 时,求阴影部分的面积; (4)若⊙P 与△ABC 的三边有两个公共点,直接写出 x 的取值范围. 6.如图 1,以 AB 为直径作⊙O,点 C 是直径 AB 上方半圆上的一点,连结 AC,BC,过点 C 作∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D,过点 D 作 AB 的平行线交 CB 的延长线于点 E. (1)如图 1,连结 AD,求证:∠ADC=∠DEC. (2)若⊙O 的半径为 5,求 CA•CE 的最大值. (3)如图 2,连结 AE,设 tan∠ABC=x,tan∠AEC=y, ①求 y 关于 x 的函数解析式; ②若 = ,求 y 的值. 7.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的一条弦, = ,CO 的延长线交⊙O 于点 E,交 BD 的延长线于点 F,连接 FA,且恰好 FA∥CD,连接 BE 交 CD 于点 P,延长 BE 交 FA 于点 G,连接 DE. (1)求证:FA 是⊙O 的切线; (2)求证:点 G 是 FA 的中点; (3)当⊙O 的半径为 6 时,求 tan∠FBE 的值. 8.如图 1,Rt△ABC 中,∠ABC=90°,P 是斜边 AC 上一个动点,以 BP 为直径作⊙O 交 BC 于点 D,与 AC 的另一个交点为 E(点 E 在点 P 右侧),连结 DE、BE,已知 AB=3,BC=6. (1)求线段 BE 的长; (2)如图 2,若 BP 平分∠ABC,求∠BDE 的正切值; (3)是否存在点 P,使得△BDE 是等腰三角形,若存在,求出所有符合条件的 CP 的长; 若不存在,请说明理由. 9.如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是半圆 O 上一点(不与点 A、B 重合),D 是 的中点,DE ⊥AB 于点 E,过点 C 作半圆 O 的切线,交 ED 的延长线于点 F. (1)求证:∠FCD=∠ADE; (2)填空: ①当∠FCD 的度数为 时,四边形 OADC 是菱形; ②若 AB=2 ,当 CF∥AB 时,DF 的长为 . 10.如图,在∠DAM 内部做 Rt△ABC,AB 平分∠DAM,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,点 N 为 BC 的中点,动点 E 由 A 点出发,沿 AB 运动,速度为每秒 5 个单位,动点 F 由 A 点出 发,沿 AM 运动,速度为每秒 8 个单位,当点 E 到达点 B 时,两点同时停止运动,过 A、E、 F 作⊙O. (1)判断△AEF 的形状为 ,并判断 AD 与⊙O 的位置关系为 ; (2)求 t 为何值时,EN 与⊙O 相切?求出此时⊙O 的半径,并比较半径与劣弧 长度的 大小; (3)直接写出△AEF 的内心运动的路径长为 ;(注:当 A、E、F 重合时,内心就 是 A 点) (4)直接写出线段 EN 与⊙O 有两个公共点时,t 的取值范围为 . (参考数据:sin37°= ,tan37°= ,tan74°≈ ,sin74°≈ ,cos74°≈ ) 参考答案 1.(1)证明:∵OQ∥AP, ∴∠EOC=∠OAP,∠POQ=∠APO, 又∵OP=OA, ∴∠APO=∠OAP, 又∵∠BOQ=∠EOA=∠OAP, ∴∠POQ=∠BOQ, 在△BOQ 与△POQ 中, , ∴△POQ≌△BOQ(SAS), ∴∠OPQ=∠OBQ=90°, ∵点 P 在⊙O 上, ∴PQ 是⊙O 的切线; (2)解:①∵△POQ≌△BOQ, ∴∠OBQ=∠OPQ=90°, 当∠BOP=90°,四边形 OPQB 为矩形, 而 OB=OP,则四边形 OPQB 为正方形,此时点 C、点 E 与点 O 重合,PE=PO= AB=2; ②∵PE⊥AB, ∴当 OC=AC,PC=EC,四边形 AEOP 为菱形, ∵OC= OA=1, ∴PC= = = , ∴PE=2PC=2 . 故答案为:2;2 . 2.解:(1)∵AB 是⊙O 的直径,DA 为⊙O 的切线,切点为 A, ∴DA⊥AB, ∴∠DAB=90°, ∵DC 为⊙O 的切线,切点为 C, ∴DC=DA, ∵CD∥AB, ∴∠D+∠DAB=180°, ∴∠D=90°, ∴∠ACD=∠DAC=45°; (2)∵AB 是⊙O 的直径,DA 为⊙O 的切线,切点为 A, ∴DA⊥AB, ∴∠DAB=90°, ∠DEA=∠EAB, ∴∠ADC=90°, ∵∠EAD=30°, ∴∠DEA=60°, ∴∠EAB=60°, ∴∠BCE=120°, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠BCA=90°, ∴∠ACD=30°, ∴∠DAC=60°. 3.解:(Ⅰ)如图①,连接 OC,BC, ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∵DC 与⊙O 相切, ∴∠OCD=90°, ∵OB=BD, ∴BC= OD=OB=BD, ∴BC=OB=OC, ∴△OBC 是等边三角形, ∴∠OBC=∠OCB=∠COB=60°, ∴∠BCD=∠OCA=30°, ∴∠D=∠A=30°; (Ⅱ)如图②,连接 BE, ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠AEB=90°, ∵AF⊥CD, ∴∠AFC=90°, ∵∠ACF 是圆内接四边形 ACEB 的外角, ∴∠ACF=∠ABE, ∴∠FAC=∠EAB=18°, 答:∠FAC 的大小为 18°. 4.解:(1)如图,连接 AN, ∵AC 为直径, ∴AN⊥BC, ∵AB=AC, ∴AN 平分∠BAC, ∵PC 是圆的切线, ∴∠ACP=90°, ∵∠NAC+∠ACB=∠PCB+∠ACB=90°, ∴∠NAC=∠BCP, 即∠BAC=2∠BCP; (2)由(1)知,AN 平分∠BAC,则∠NAC=∠BCP, 故 sin∠NAC=sin∠BCP= ,则 tan∠NAC= , 在 Rt△NAC 中,AC=5, NC=AC•sin∠NAC=5× = ,同理 AN=2 , 则 BC=2NC=2 ; S△ABC= ×BC•AN= 2 ×2 =10, 设△ABC 内切圆的半径为 r, 则 S△ABC= (AB+AC+BC)•r= ×(5+5+2 )•r=10, 解得:r= ; 故△ABC 内切圆的半径为 ; (3)在△ABC 中,设 AC 边长的高为 h, 则 S△ABC= AC•h= ×5×h=10,解得:h=4, sin∠BAC= = , 在 Rt△ACP 中, ∵sin∠BAC= = , 设 PC=4m,则 AP=5m, 则 AC=3m=5,解得 m= , △ACP 的周长=3m+4m+5m=12m=20. 5.解:(1)∵△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4, ∴AB=5, ∵BD=BA, ∴BD=5, ∴CD=1. 故答案为:5,1; 当点 Q 在⊙P 上时,如图 1, PQ=PD. ∴BP=PD, 即 4﹣x=x+1. 解得 x= . (2)作 PF⊥AB 于点 F,当 PF=PD 时,⊙P 与 AB 相切,如图 2, 则 PF=PD=x+1,sinB= = , ∴ = . 解得 x= . 经检验,x= 是分式方程的解,且满足题意. ∴x= 时,⊙P 与 AB 相切. (3)如图 3,连接 PE, ∵Rt△PEC 中,PC=CD=1,PE=PD=1+1=2, ∴∠EPC=60°,EC= . ∴S 阴影=S 扇形 PDE﹣S△PCE = ﹣ ×1× = ﹣ . (4)由图 2 可知,当 0≤x< 时,⊙P 与△ABC 的三边有两个公共点;由图 1 可知,当 <x<4 时,⊙P 与△ABC 的三边有两个公共点. ∴x 的取值范围为:0≤x< 或 <x<4. 6.(1)证明:∵AB∥DE, ∴∠ABC=∠E, ∵∠ADC=∠ABC, ∴∠ADC=∠E; (2)解:∵CD 平分∠ACB, ∴∠ACD=∠DCE, 又∠ADC=∠E, ∴△ADC∽△DEC, ∴ , 即 CD2=CA•CE, 又∵⊙O 的半径为 5, ∴CA•CE=CD2≤102=100. 即 CA•CE 的最大值为 100. (3)解:①连接 AD, ∵△ADC∽△DEC, , ∴y=tan∠AEC= , 过点 D 作 DF⊥CE,不妨设 EF=a, ∵∠CED=∠CBA,∠DCE=45°, ∴CF=DF=ax, ∴CD= ax, ∴y= = . ②∵ , ∴ , ∴ =9:4, 即 x:y=9:4, 将 y= x 代入 y= 得, , 解得,x1=2,x2= , 当 x=2 时,y= , 当 x= 时,y= , ∴y= 或 . 7.(1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的一条弦, = , ∴AB⊥CD, 又∵FA∥CD, ∴FA⊥AB, ∵OA 过 O, ∴FA 是⊙O 的切线; (2)证明:连接 AE, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴AE⊥BG, 又∵FA⊥AB, ∴∠GEA=∠BAG, 又∵∠BGA=∠EGA, ∴△GAB∽△GEA, ∴ = , ∴GA2=GB×EG, ∵FA∥CD, ∴∠C=∠EFG, 又∵∠C=∠FBE, ∴∠EFG=∠FBE, 又∵∠FGE=∠BGF, ∴△FEG∽△BFG, ∴ = , ∴GF2=GB×GE, ∴GF=GA, ∴G 为 AF 的中点; (3)解:∵FA∥CD, ∴ = = , 又∵GF=GA, ∴DP=HP, 又∵CE 是⊙O 的直径,D 在圆上, ∴CD⊥DE, 又∵AB⊥CD 于点 H,EO=OC, ∴点 H 是 CD 的中点,AB∥DE, 又∵DP=HP, ∴DE=BH, 又∵点 O 是 CE 中点,点 H 是 CD 的中点, ∴OH= DE= BH, 又∵⊙O 的半径为 6, ∴OH=2,CH= = =4 , ∴tan∠FBE=tanC= = = . 8.解:(1)∵∠ABC=90°,AB=3,BC=6, ∴AC= = =3 , ∵BP 为⊙O 的直径, ∴∠BEP=90°, ∴BE⊥AC, ∵S△ABC= ×AB×AC, ∴BE= ; (2)∵BP 平分∠ABC, ∴∠DBP= ∠ABC=45°, 连接 DP,如图 1, ∵BP 为⊙O 的直径, ∴∠DBP=∠DPB=45°, ∴可设 DP=BD=x, ∵∠CDP=∠ABC=90° ∴PD∥AB, ∴△CPD∽△CAB, ∴ =2, ∴CD=2x, ∴CB=3x=6, ∴x=2, ∴DP=BD=2,CD=4, ∴CP= = =2 , ∴CE= = = , ∴tan∠BDE=tan∠BPE= = =3. (3)解:存在这样的点 P. 由△DCP∽△BCA,得, , ∴CP= CD, 若△BDE 是等腰三角形,可分三种情况: ①当 BD=BE 时,BD=BE= , ∴CD=BC﹣BD=6﹣ , ∴CP= =3 ﹣3. ②当 BD=DE 时,此时点 D 是 Rt△CBE 斜边的中点, ∴CD= BC=3, ∴CP= ; ③当 DE=BE 时,作 EH⊥BC 于点 H,则 H 是 BD 的中点, ∵∠ABC=∠EHC=90°, ∴EH∥AB, ∴ , 又∵AE=AC﹣CE=3 ﹣ = , ∴BH=DH= = , ∴CD=6﹣ = , ∴CP= . 综上所述,△BDE 是等腰三角形,符合条件的 CP 的长为 3 ﹣3 或 或 . 9.(1)证明:连接 OC、AC.如图 1 所示: ∵D 是 的中点, ∴ = , ∴DA=DC, ∴∠DAC=∠DCA. ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA. ∴∠DAC+∠OAC=∠DCA+∠OCA, 即∠OAD=∠OCD. ∵CF 是半圆 O 的切线, ∴CF⊥OC, ∴∠FCD+∠OCD=90°, ∵DE⊥AB, ∴∠ADE+∠OAD=90°, ∴∠FCD=∠ADE. (2)解:①当∠FCD 的度数为 30°时,四边形 OADC 是菱形;理由如下: 连接 OD,如图 2 所示: ∵∠FCD=30°, ∴∠ADE=30°, ∵DE⊥AB, ∴∠OAD=60°, ∵OA=OD, ∴△OAD 是等边三角形, ∴AD=OA,∠AOD=60°, ∵D 是 的中点, ∴ = , ∴∠AOD=∠COD=60°, ∵OC=OD, ∴△COD 是等边三角形, ∴CD=OD=OC, ∴OA=AD=CD=OC, ∴四边形 OADC 是菱形; 故答案为:30°; ②连接 OD,如图 3 所示: ∵AB=2 , ∴OA=OD= , ∵CF∥AB,DE⊥AB, ∴CF⊥EF, ∴∠CFD=90°=∠DEA, 在△ADE 和△DCF 中, , ∴△ADE≌△DCF(AAS), ∴AE=DF,DE=CF, ∵CF 半圆 O 的切线, ∴CF⊥OC, ∴四边形 OCFE 是矩形, ∴CF=OE, ∴DE=OE, ∴△ODE 是等腰直角三角形, ∴OE= OD=1, ∴DF=AE=OA﹣OE= ﹣1; 故答案为: ﹣1. 10.解:(1)过点 E 作 EH⊥AF 于 H,连接 OA、OE、OH,如图 1 所示: ∵∠ACB=90°,AB=10,AC=8, ∴BC= = =6, 设运动时间为 t,则 AE=5t,AF=8t, ∵∠AHE=∠ACB=90°,∠EAH=∠BAC, ∴△EAH∽△BAC, ∴ = ,即: = , ∴AH=4t, ∴FH=AF﹣AH=8t﹣4t=4t, ∴AH=FH, ∵EH⊥AF, ∴△AEF 是等腰三角形, ∴E 为 的中点,∠EAF=∠EFA, ∵AH=FH, ∴OH⊥AC, ∴E、H、O 三点共线, ∴∠OAF+∠AOE=90°, ∵AB 平分∠DAM, ∴∠DAE=∠EAF=∠EFA, ∵∠AOE=2∠EFA, ∴∠AOE=∠DAE+∠EAF=∠DAF, ∴∠DAF+∠OAF=90°=∠DAO,即 OA⊥AD, ∵OA 为⊙O 的半径, ∴AD 与⊙O 相切; 故答案为:等腰三角形,相切; (2)连接 OA、OF、OE,OE 于 AC 交于 H,如图 2 所示: 由(1)知:EH⊥AC, ∵EN 与⊙O 相切, ∴∠OEN=90°, ∵∠ACB=90°, ∴四边形 EHCN 为矩形, ∴EH=NC, 在 Rt△AHE 中,EH= = =3t, ∴NC=3t, ∵点 N 为 BC 的中点, ∴BC=2NC=6t, ∵BC=6, ∴6t=6, ∴t=1, ∴AH=4,EH=3, 设⊙O 的半径为 x,则 OH=x﹣3, 在 Rt△AOH 中,由勾股定理得:OA2=OH2+AH2,即 x2=(x﹣3)2+42, 解得:x= , ∴⊙O 的半径为 , ∴OH= , ∴tan∠AOH= = , ∴∠AOH=74°, ∵∠AOH=60°时,△AOE 是等边三角形,AE=OA,74°>60°, ∴AE>OA, ∴劣弧 长度的大于半径; (3)当点 E 运动到 B 点时,t=10÷5=2, ∴AF=2×8=16,AE=EF=AB=10, 此时△AEF 的内心记为 G,当 A、E、F 重合时,内心为 A 点, ∴△AEF 的内心运动的路径长为 AG, 作 GP⊥AE 于 P,GQ⊥EF 于 Q,连接 AG、GF,则 CG=PG=NQ,如图 3 所示: S△AEF= AF•BC= ×16×6=48, 设 CG=PG=NQ=a, 则 S△AEF=S△AGF+S△AEB+S△FEG= AF•CG+ AE•PG+ EF•GQ= ×(16+10+10)a=48, 解得:a= , 在 Rt△AGC 中,AC2+CG2=AG2,即 82+( )2=AG, ∴AG= , 故答案为: ; (4)分别讨论两种极限位置, ①当 EN 与⊙O 相切时,由(2)知,t=1; ②当 N 在⊙O 上,即 ON 为⊙O 的半径, 连接 OA、ON、OE,OE 交 AC 于 H,过点 O 作 OK⊥BC 于 K,如图 4 所示: 则四边形 OKCH 为矩形,OA=OE=ON, ∴OH=CK,AH=4t,EH=3t, 设⊙O 的半径为 x, 则在 Rt△AOH 中,AH2+OH2=OA2,即(4t)2+(x﹣3t)2=x2, 解得:x= t, ∴OH=CK= t﹣3t= t, 在 Rt△OKN 中,OK2+KN2=ON2,即(8﹣4t)2+(3+ t)2=( t)2, 解得:t= , ∴线段 EN 与⊙O 有两个公共点时,t 的取值范围为:1<t≤ , 故答案为:1<t≤ .
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