【数学】江西省宜春市铜鼓中学2019-2020学年高一下学期期末测试试卷

【数学】江西省宜春市铜鼓中学2019-2020学年高一下学期期末测试试卷

江西省宜春市铜鼓中学 2019-2020 学年高一下学期期末测试 数学试卷 （试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分共 60 分） 1．已知角 的终边经过点 (4, 3)P  ，则 2sin cos  的值等于( ) A． 2 5  B． 4 5 C． 3 5- D． 2 5 2．一个扇形的圆心角为 150°，面积为 5 3  ，则该扇形半径为（ ） A．4 B．1 C． 2 D．2 3．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习 10 组，每组罚球 40 个，命中个数的茎 叶图如右图，则下面结论中错误．．的一个是（ ） A．甲的极差是 29 B．甲的中位数是 24 C．甲罚球命中率比乙高 D．乙的众数是 21 4．已知向量  2, 1a   ，  1,7b  则下列结论正确的是（ ） A． a b  B． a //b C．  a a b    D．  a a b    5．总体由编号为 01，02，…，19，20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 7 个个体， 选取方法是从随机数表第 1 行的第 3 列和第 4 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选 出来的第 6 个个体的编号为（ ） A．02 B．01 C．07 D．06 6．在 △ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 BE  ( ) A． 1 3 4 4AC AB  B． 3 1 4 4AC AB  C． 3 1 4 4 AB AC  D． 1 3 4 4 AB AC  7．已知 3tan( ) 5    ， π 1tan( )4 2    ，则 πtan( )4   的值为（ ） A． 1 7 B． 1 13 C． 11 13 D． 11 7 8．下列四个函数中，以 π 为最小正周期，且在区间 ππ( , )2 上为减函数的是（ ） A． sin 2y x B． 2 | cos |y x C． cos 2 xy  D． tan( )y x  9．函数   sin π π( 0, 0,( 2)2)          y f x A x A 的部分图象如图所示，则 的值为( ) A． 6 π B． 3 π C． 4 π D． 2 π 1  10．将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成 6 组，绘成频率分布直方图如图所示，现 按成绩运用分层抽样的方法抽取 100 位同学进行学习方法座谈，则成绩为[70,80) 组应抽取 的人数为（ ） A． 60 B．50 C． 40 D． 20 11．平行四边形 ABCD 中， 4, 2, 3 π  AB AD B , 点 P 在边 CD 上，则 PA PB  的取 值范围是（ ） A．[-1,8]B． 1,  C．[0,8] D．[-1,0] 12．关于函数 ( ) 3sin(2 ) 1( )3 π   f x x x R 有下述四个结论：①若    1 2 1f x f x  ， 则 1 2 π x x k ( )k Z ；②  y f x 的图象关于点 2π( ,1)3 对称；③函数  y f x 在 (0, π)2 上单调递增；④ ( )y f x 的图象向右平移 π 12 个单位长度后所得图象关于 y 轴对称. 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①②④ B．①② C．③④ D．②④ 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．已知向量 ( , 1)a k  ， ( 4,2)b   ，若 a  与b  共线，则实数 k 的值为 ． 14．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名。现用分层抽样的 方法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知高一年级的学生中抽取了 6 名，则在高二年级学 生中应抽取的人数为______. 15．已知 π 1cos( )4 3    ，则sin2  __________． 16．已知函数 ( ) 3sin(2 ) cos(2 )(0 π)       f x x x 是定义在 R 上的奇函数，则 ( )8 π f ___. 三、解答题（本大题共 6 题，共 70 分） 17．（10 分）已知 sin( ) 3sin( )2( ) 2cos( ) cos( ) π π π 2 π              f . （1）化简 ( )f  ； （2）已知 tan 3  ，求 ( )f  的值． 18．（12 分）已知| | 1a  ，| | 2b  r . （1）若向量 a  与向量b  的夹角为135 ，求| |a b  及b  在 a  方向上的投影； （2）若向量 a b  与向量 a  垂直，求向量 a  与b  的夹角. 19．（12 分）已知 4 3sin 7   ， π( )π ,2   . （1）求 2sin 2  的值；（2）若 3 3sin( ) 14a   ， (0,π)  ，求  的值. 20．（12 分） 2.5PM 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）. 为了探究车流量与 2.5PM 的浓度是否有关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量 与 2.5PM 的浓度的数据如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x （万辆） 100 102 108 114 116 2.5PM 的浓度 y （微克/立方米） 78 80 84 88 90 （1）根据上表数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； （2）若周六同一时间段车流量是 200 万辆，试根据（1）求出的线性回归方程，预测此时 2.5PM 的浓度为多少.参考公式：      5 1 2 1 i i i n i i x x y y b x x           , a y b x   . 21．（12 分）已知函数 2 2( ) sin 3sin cos 2cos , .f x x x x x x R    （1）求函数 ( )f x 的最小正周期并判断其在[0, ] 上的单调性； （2）求函数 ( )f x 在区间[ ]π ,6 π 3  上的最大值与最小值并求出相应的 x 的值． 22．（12 分）已知函数 ( ) sin( )( 0, 0, π π)2 2          f x A x A 的图象与 x 轴交点 为 ( )π ,06  ，与此交点距离最小的最高点坐标为 π( ,1)12 . （1）求函数 ( )f x 的表达式； （2）把函数 ( )y f x 的图像的横坐标伸长到原来的两倍，然后向右平移 2π 3 个单位，再把 纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数  y g x 的图像，求不等式 ( ) 2g x  在[0,2π] 内的解集； （3）若函数 ( )f x 满足方程 ( ) ( 1 0)f x a a    ，求方程在[0,2π] 内的所有实数根之和。 【参考答案】 一、选择题：ADBCBA BDBCAD 二、填空题：13.2 14.8 15. 7 9 16. 2 三、解答题 17. （1） cos 3sin( ) 2sin cosf        ；（5 分） （2）因为 tan 3  ，所以 1 3tan 10( ) 22tan 1 5f         。（10 分） 18.（1）由已知得 2 2 22 2( ) 2 1 2 1 2 ( ) 2 12a b a b a a b b                      ，∴ 1a b   ； b  在 a  方向上的投影为 2| | cos135 2 ( ) 12b      ；（6 分） （ 2 ） 由 已 知 得   0a b a     ， 即 2 0a a b     ∴ 1a b   ， ∴ 1 2cos , 21 2 a ba b a b           ， ∴向量 a  与b  的夹角为 45.（12 分） 19. （ 1 ） 由 4 3sin 7   ， π( )π ,2   得 2 1cos 1 sin 7       . 从 而 2 1 cos 4sin 2 2 7    ；（5 分） （2）因为 π( )π ,2   ， (0, )  ，所以 π( ,2 )2 π   。因为sin( ) 0   ，所以 π )2 π( ,   ，所以 2 13cos( ) 1 sin ( ) 14a          . 所以 13 1 3 3 4 3cos cos[( ) ] cos( )cos sin( )sin ( ) ( )14 7 14 7                       1 2  ， ∴ π 3   .（12 分） 20. （1）由已知条件可得， 5 1 1 540 1085 5i i x x     ， 5 1 1 420 845 5i i y y     ，   5 1 ( 8) ( 6) ( 6) ( 144) 0 0 6 4 8 6 4i i i x x y y                   ，  5 2 2 2 2 2 2 1 ( 8) ( 6) 0 6 8 200i i x x           ，所以      5 1 5 2 1 144 0.72200 i i i i i x x y y b x x            ，  84 0.72 108 6.24a y b x       .故 y 关于 x 的线性回归方程为 ˆ 0.72 6.24y x  ； （10 分） （2）当 200x  时，  0.72 200 6.24 150.24y     ．此时 2.5PM 的浓度约为 150.24 微克/ 立方米.（12 分） 21. （1） 2 2( ) sin 3sin cos 2cosf x x x x x   1 cos2 3 sin 2 (1 cos2 )2 2 x x x    3 1 3 3sin 2 cos2 sin(2 )2 2 2 6 2x x x       。∴  f x 的最小周期 2π π2T   ； 由题意得令 2 2 2 ( )2 6 π π ππ π 2    k x k k Z„ „ ，得： π π ( )3 6π π   k x k k Z„ „ ， ∴函数  f x 的单调递增区间为 π π[ π, π]( )3 6    k k k Z ； 所以 ( )y f x 在 [0, ]6  和 2[ , ]3   上单调递增，在 2[ , ]6 3   上单调递减。 （8 分） （2）因为 [ , ]6 π π 3  x ，所以 52 [π π π, ]6 6 6   x ，当 2 6 π π 6   x ，即 π 6  x 时， min 3 1( ) 12 2f x    ； 当 2 2 π π 6  x ，即 π 6 x 时， max 3 5( ) 12 2f x    ；（12 分） 22. （1）依题意函数的最大值为 1，则 1A  ，函数 ( )f x 的周期为 π π4 ( ) π12 6    T ， 而 2π T ，则 2  又 6 π x 时 ， 0y  ， sin[2 ( ) ] 0π 6      ， = ( )3 π    k k Z ， 解 得 π= + π( )3  k k Z ， 而 2 π 2 π   ， 则 π 3   ， ∴ 函 数 ( )f x 的 表 达 式 为 ( ) sin(2 )3f x x   ；（4 分） （2）易知 ( ) 2sin( ) 13g x x    ，由 π( ) 2sin( ) 1 23    g x x 得 1sin( )3 2x   ，所以 π π 5π2 π 2 π6 3 6     k x k ， π 7π2 π 2 π ( )2 6     k x k k Z 。 当 0k  时， π 7π 2 6  x ，所以不等式在[0,2π] 的解集为 π 7π[ , ]2 6 ；（8 分） （3） π( ) sin(2 )3  f x x 的周期为 π ，其图像在 [0,2π] 内恰有 2 个周期，并且方程 πsin(2 )3  x a ( 1 0)a   在 [0,2π] 内 有 4 个 实 根 设 为 1 2 3 4, , ,x x x x ， 结 合 图 像 知 1 2 3 4 7 19π, π6 6    x x x x .故所有实数之和为 7 19 13π π π6 6 3   .（12 分）