【数学】2019届高考一轮复习北师大版理9-5椭圆学案
第5讲 椭 圆
1．椭圆的定义
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
椭圆
F1、F2为椭圆的焦点
|F1F2|为椭圆的焦距
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a＞|F1F2|
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：(0，0)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝，e∈(0，1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
3.点与椭圆的位置关系
已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
4．椭圆中四个常用结论
(1)P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c；
(2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦；
(3)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)．
(4)设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(5)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
(教材习题改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D.右焦点为F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1.
与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A.椭圆＋＝1与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等，因此两椭圆的形状、大小完全一样，只是焦点所在坐标轴不同，故两个椭圆的离心率相同．
若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
解析：由已知得解得3
b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周长为16，则|AF2|＝________．
(2)(2018·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
【解析】 (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，
因为△ABF2的周长为16，所以4a＝16，所以a＝4.
则|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
所以|AF2|＝8－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则
所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，
所以b＝3.
【答案】 (1)5 (2)3
本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．
解：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆的方程为＋＝1.
(1)椭圆定义的应用范围
①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
②解决与焦点有关的距离问题．
(2)焦点三角形的结论
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
①|PF1|＋|PF2|＝2a.
②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
③焦点三角形的周长为2(a＋c)．
④S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin θ＝b2·＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.
已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选B.点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．
椭圆的标准方程
[典例引领]
(待定系数法)(1)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为＋＝1.
(2)设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)的坐标代入可得＋＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】 (1)A (2)C
[提醒] 当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．
[通关练习]
1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则该椭圆的方程为________．
解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
因为椭圆经过P1，P2两点，所以P1，P2点坐标适合椭圆方程，则
①②两式联立，解得
所以所求椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
2．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是________________．
解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意知解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
椭圆的几何性质(高频考点)
椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大．高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：
(1)由椭圆的方程研究其性质；
(2)求椭圆离心率的值(范围)；
(3)由椭圆的性质求参数的值(范围)．
[典例引领]
角度一 由椭圆的方程研究其性质
已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为( )
A．(±，0) B．(0，±)
C．(±，0)或(±，0) D．(0，±)或(±，0)
【解析】 因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋＝1的焦点坐标为(0，±)，故选B.
【答案】 B
角度二 求椭圆离心率的值(范围)
(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝＝，选A.
【答案】 A
角度三 由椭圆的性质求参数的值(范围)
已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于( )
A．2 B．2或
C．2或6 D．2或8
【解析】 显然m>0且m≠4，当04时，椭圆长轴在y轴上，则＝，解得m＝8.
【答案】 D
(1)求椭圆离心率的方法
①直接求出a，c的值，利用离心率公式e＝＝直接求解．
②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路
①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
②将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．
[通关练习]
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )
A．(－3，0) B．(－4，0)
C．(－10，0) D．(－5，0)
解析：选D.因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，
所以圆心坐标为(3，0)，所以c＝3.又b＝4，
所以a＝＝5.
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的左顶点为(－5，0)．
2．(2018·新余模拟)椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是( )
A．e≤ B．e≥
C.≤e≤ D．0b>0)．
由题意得解得c＝.
所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n)．
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，故直线DE的斜率kDE＝－.
所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．
直线BN的方程为y＝(x－2)．
联立解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，
所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|，
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
(1)直线与椭圆位置关系判断的步骤
①联立直线方程与椭圆方程；
②消元得出关于x(或y)的一元二次方程；
③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．
(2)直线被椭圆截得的弦长公式
设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则
|AB|＝
＝ (k为直线斜率，k≠0)．
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程．
解：(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，
所以＋＝1.①
又因为离心率为，
所以＝，
所以＝.②
解①②得a2＝4，b2＝3.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线的倾斜角为时，
A，B，
S△ABF2＝|AB|·|F1F2|＝×3×2＝3≠.
当直线的倾斜角不为时，设直线方程为y＝k(x＋1)，
代入＋＝1得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以S△ABF2＝|y1－y2|×|F1F2|
＝|k|
＝|k|
＝＝，
所以17k4＋k2－18＝0，解得k2＝1，
所以k＝±1，
所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．
求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程．若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)
与椭圆有关的最值问题，在转化为函数求最值时，一定注意函数的定义域．
易错防范
(1)判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小．
(2)在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根．
(3)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0b>0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为，即OC＝，因为四边形FAMN
是平行四边形，所以点M的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由题意可设P，因为PF1的中垂线过点F2，所以|F1F2|＝|F2P|，即2c＝ ，
整理得y2＝3c2＋2a2－.
因为y2≥0，所以3c2＋2a2－≥0，
即3e2－＋2≥0，解得e≥.
所以e的取值范围是.
6．(2018·贵阳模拟)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．
解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，
所以解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为________．
解析：因为|PF1|＋|PF2|＝14，
又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，
所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.
因为|F1F2|＝10，所以PF1⊥PF2.
所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24.
答案：24
8．(2018·海南海口模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c，0)，右顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT(O为坐标原点)的斜率为－，则该椭圆的离心率为________．
解析：因为椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B和F1点坐标分别为(a，0)，(0，b)，(－c，0)，所以直线BF1的方程是y＝x＋b，OT的方程是y＝－x.联立解得T点坐标为，直线AT的斜率为－.由AT⊥BF1得，－·＝－1，因为a2＝b2＋c2，e＝，
所以e＝.
答案：
9．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)；
(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．
解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，－)，所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得
解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.
故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
10．(2018·兰州市诊断考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(，1)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为－.若动点P满足＝＋2，求点P的轨迹方程．
解：(1)因为e＝，所以＝，
又椭圆C经过点(，1)，所以＋＝1，
解得a2＝4，b2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝＋2得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，
因为点M，N在椭圆＋＝1上，
所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，
故x2＋2y2＝(x＋4x1x2＋4x)＋2(y＋4y1y2＋4y)＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．
设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，
kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，
所以x2＋2y2＝20，
故点P的轨迹方程为＋＝1.
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)设A、B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
解析：选A.依题意得，或
，所以
或，解得0b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解：(1)根据c＝及题设知M，＝，
2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，
所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，
故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，
故a＝7，b＝2.
4．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求m的取值范围．
解：(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意知a＝2，b＝c，
又a2＝b2＋c2，
则b＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，
得
则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0.
由根与系数的关系知，
又由＝2，
即(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，
得－x1＝2x2，故
可得＝－2，
整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0时不符合题意，
所以k2＝>0，
解得0，
解不等式
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