人教A数学必修一用二分法求方程的近似解能力强化提升

人教A数学必修一用二分法求方程的近似解能力强化提升

‎【成才之路】2014高中数学 ‎3-1-2‎ 用二分法求方程的近似解能力强化提升 新人教A版必修1‎ 一、选择题 ‎1．如下四个函数的图象，适合用二分法求零点的是(　　)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　选项A，B不符合在零点两边函数值符号相异，不适宜用二分法求解；选项C中，零点左侧没有函数值，无法确定初始区间，只有D中的零点满足图象连续不断 且符号相异，能用二分法．故选D.‎ ‎2．在用二分法求函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)上的中点c＝，若f(c)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0(　　)‎ A．在区间(a，c)内 B．在区间(c，b)内 C．在区间(a，c)或(c，d)内 D．等于 ‎[答案]　D ‎3．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，x，f(x)对应值表如下：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ f(x)‎ ‎12.04‎ ‎13.89‎ ‎－7.67‎ ‎10.89‎ ‎－34.76‎ ‎－44.67‎ 则函数y＝f(x)存在零点的区间有(　　)‎ A．区间[1,2]和[2,3]‎ B．区间[2,3]和[3,4]‎ C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5]‎ D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]‎ ‎[答案]　C ‎4．f(x)＝x4－15，下列结论中正确的有(　　)‎ ‎①f(x)＝0在(1,2)内有一实根；②f(x)＝0在(－2，－1)内有一实根；③没有大于2的零点；④f(x)＝0没有小于－2的根；⑤f(x)＝0有四个实根．‎ A．2个　　　 B．3个　　　‎ C．4个　　　 D．5个 ‎[答案]　C ‎5．某方程在区间(2,4)内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分(　　)次后，所得近似值的精确度可达到0.1(　　)‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．5‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　等分1次，区间长度为1，等分2次，区间长度变为0.5，…，等分4次，区间长度变为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意，故选D.‎ ‎6．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|＜ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过(　　)‎ A. B. ‎ C．ε D．2ε ‎[答案]　B ‎[解析]　真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝＝，因此误差最大不超过.‎ ‎7．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　)‎ A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2‎ C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　f(x)＝4x－1的零点为，f(x)＝(x－1)2的零点为1，f(x)＝ex－1的零点为0，f(x)＝ln(x－)的零点为.现在我们来估算g(x)＝4x＋2x－2的零点x0，因为g(0)＝－1，g()＝1，所以g(x)的零点，x0∈(0，)．又函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f(x)＝4x－1的零点适合．‎ ‎8．某农贸市场出售的西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下两表：‎ 市场供给表 单价 ‎(元/kg)‎ ‎2‎ ‎2.4‎ ‎2.8‎ ‎3.2‎ ‎3.6‎ ‎4‎ 供给量 ‎(‎1000kg)‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎90‎ 单价 ‎(元/kg)‎ ‎4‎ ‎3.4‎ ‎2.9‎ ‎2.6‎ ‎2.3‎ ‎2‎ 需求量(‎1000kg)‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ 据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间(　　)‎ A．(2,3,2.6) B．(2,4,2.6)‎ C．(2,6,2.8) D．(2,4,2.8)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　供给量为70时单价为2.8元/kg，需求量为70时，单价为2.6元/kg，从市场供给表和需求表观察，市场供需平衡点应在区间(2.6,2.8)．故选C.‎ 二、填空题 ‎9．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表：‎ f(1)＝－2‎ f(1.5)＝0.625‎ f(1.25)≈－0.984‎ f(1.375)≈‎ ‎－0.260‎ f(1.4375)≈‎ ‎0.162‎ f(1.46025)≈‎ ‎－0.054‎ 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似的正数根(精确度0.1)为________．‎ ‎[答案]　1.4375(或1.375)‎ ‎[解析]　由于精确度是0.1，而|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1，故取区间(1.375,1.4375)端点值1.375或1.4375作为方程近似解．‎ ‎10．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.‎ ‎[答案]　－2.25‎ ‎[解析]　由(1,4)的中点为2.5，得f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.‎ ‎11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是______________．‎ ‎[答案]　(2,2.5)‎ ‎[解析]　∵f(2)<0，f(2.5)>0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．‎ ‎12．用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．‎ ‎[答案]　0.75(答案不唯一)‎ ‎[解析]　因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．‎ 三、解答题 ‎13．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，求区间(0,0.1)等分的至少次数．‎ ‎[解析]　依题意＜0.01，得2n＞10.故n的最小值为4.‎ ‎14．求证：方程x3－3x＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内．‎ ‎[解析]　证明：令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象一定是连续的，‎ 又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，F(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，‎ ‎∴方程x3－3x＋1＝0的一根在区间(－2，－1)内．‎ 同理可以验证F(0)F(1)＝1×(－1)＝－1＜0，‎ F(1)F(2)＝(－1)×3＝－3＜0，‎ ‎∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内．‎ ‎15．求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．‎ ‎[解析]　设f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有实数根．‎ 取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有实数根．‎ 如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区间，如下表：‎ ‎(a，b)‎ ‎(a，b) 的中点 f(a)‎ f(b)‎ f()‎ ‎(0,1)‎ ‎0.5‎ f(0)<0‎ f(1)>0‎ f(0.5)<0‎ ‎(0.5,1)‎ ‎0.75‎ f(0.5)<0‎ f(1)>0‎ f(0.75)>0‎ ‎(0.5,0.75)‎ ‎0.625‎ f(0.5)<0‎ f(0.75)>0‎ f(0.625)<0‎ ‎(0.625,0.75)‎ ‎0.6875‎ f(0.625)<0‎ f(0.75)>0‎ f(0.6875)<0‎ 因为|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的近似解可取为0.75.‎ ‎16．方程x5＋x－3＝0有多少个实数解？你能证明自己的结论吗？如果方程有解，请求出它的近似解(精确到0.1)．‎ ‎[解析]　考查函数f(x)＝x5＋x－3，‎ ‎∵f(1)＝－1<0，f(2)＝31>0，‎ ‎∴函数f(x)＝x5＋x－3在区间(1,2)有一个零点x0.‎ ‎∵函数f(x)＝x5＋x－3在(－∞，＋∞)上是增函数(证明略)，‎ ‎∴方程x5＋x－3＝0在区间(1,2)内有唯一的实数解．‎ 取区间(1,2)的 中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈6.09>0，∴x0∈(1,1.5)．‎ 同理，可得x0∈(1,1.25)，x0∈(1.125,1.25)，x0∈(1.125，1.1875)，x0∈(1.125,1.156 25)，x0∈(1.125,1.1406 25)．‎ 由于|1.1406 25－1.125|<0.1，此时区间(1.125，1.1406 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.1.‎