【数学】2019届一轮复习北师大版算法、推理与证明、复数学案

【数学】2019届一轮复习北师大版算法、推理与证明、复数学案

考向一 复数 ‎【高考改编☆回顾基础】‎ ‎1．【复数的除法运算】【2017课标II改编】 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由复数除法的运算法则有 .‎ ‎2. 【复数的概念、复数的运算】【2017山东，改编】已知,i是虚数单位，若，则a= .‎ ‎【答案】1或-1‎ ‎【解析】由得，所以.‎ ‎3.【复数的几何意义】【2017课标3，改编】复平面内表示复数的点位于 .‎ ‎【答案】第三象限 ‎【解析】由题意 ，在第三象限. 所以填第三象限.‎ ‎4.【复数的运算、复数的模】【2016新课标改编】设其中,实数,则( )‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为所以.‎ ‎【命题预测☆看准方向】‎ 近五年对复数考查的重点内容有 复数的基本概念、复数的几何意义、共轭复数、复数的四则运算,考查的热点是复数的乘除运算.‎ ‎【典例分析☆提升能力】‎ ‎【例1】若复数满足，则的共轭复数的虚部是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【趁热打铁】知复数满足(其中是虚数单位,满足),则复数的共轭复数是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】‎ 因为，选B.[ 学 ]‎ ‎【例2】【2018届河北省武邑中学高三上学期第五次调研】已知为虚数单位， 为复数的共轭复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限[ 学 ]‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，由，得，即，则，即在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.‎ ‎【趁热打铁】设是实数，若复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，则的值为（ ）‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，对应的点，因此，得 ‎，故答案为B.‎ ‎【方法总结☆全面提升】‎ ‎1.利用复数的四则运算求复数的一般思路 ‎ ‎(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则,利用此法则运算后将实部与虚部分别写出即可.‎ ‎(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简.‎ ‎(3)利用复数的相关概念解题时,通常是设出复数或利用已知联立方程求解.‎ ‎2. 判断复数对应的点在复平面内的位置的方法 首先将复数化成a+bi(a,b∈R)的形式,其次根据实部a和虚部b的符号 确定点所在的象限.‎ ‎3.(1)与共轭复数有关的问题一般都要先设出复数的代数形式，再用待定系数法解决．‎ ‎（2）与复数的概念有关的问题，一般是先化简，把复数的非代数形式化为代数形式．‎ ‎（3）熟记复数的四则运算法则及一些运算结果，有助于提高运算速度,如 ，.‎ ‎【规范示例☆避免陷阱】‎ ‎【典例】已知，映射的实部，则的像为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【规范解答】由题意得 的实部，因此的像为，选C.‎ ‎【反思提高】1．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．‎ ‎2．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用 (1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i，＝－i；(3)ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－±i.(4)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．‎ ‎3．注意利用共轭复数的性质，将 转化为，即复数的模的运算，常能使解题简捷．‎ ‎【误区警示】‎ 在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中 ，如下面的结论，‎ 当 ∈C时，不是总成立的 (1)( m)n＝ mn(m，n为分数)；(2)若 m＝ n，则m＝n( ≠1)；(3)若 ＋ ＝0，则 1＝ 2＝0.‎ 考向二 算法 ‎【高考改编☆回顾基础】‎ ‎1．【循环结构，输出、输入问题】【2017课标3，改编】执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎2.【循环结构，条件补全】【2017课标1，文10】右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）‎ A．A>1 000和n=n+1‎ B．A>1 000和n=n+2‎ C．A1 000和n=n+1‎ D．A1 000和n=n+2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【命题预测☆看准方向】‎ 程序框图是高考命题的高频考点,高考对程序框图的考查经常与函数求值、方程求解、不等式求解、数列求和、统计量的计算等交汇在一起命题.以循环结构为主的计算、输出、程序框图的补全是高考的热点,题目多以选择题、填空题的形式出现,中等难度. 预测2018年考查的主要题目类型重点是 程序框图的执行问题；程序框图的补全问题.‎ ‎【典例分析☆提升能力】‎ ‎【例1】按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则处条件可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由已知，，，，，，，符合条件输出，故选C.‎ ‎【趁热打铁】若下图，给出的是计算 值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎[ 学 ]‎ ‎…‎ 依此类推，第1008次循环 i=2016，S=，‎ i=2018，不满足条件，退出循环，输出s的值，‎ 所以i≤2017或i＜2017．‎ 故答案为 C.‎ ‎【例2】【2018届辽宁省沈阳市高三教学质量监测（一）】‎ 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数的值为（ ）‎ A. -3 B. -3或9 C. 3或-9 D. -9或-3‎ ‎【答案】B ‎【趁热打铁】执行如图所示的程序框图，输出的 值是 （ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D.7‎ ‎ 【答案】B ‎【方法总结☆全面提升】‎ ‎1.执行循环结构 首先,要分清是先执行循环体,再判断条件,还是先判断条件,再执行循环体;其次,注意控制循环的变量是什么,何时退出循环;最后,要清楚循环体内的程序是什么,是如何变化的. ‎ ‎2.解答补全问题时,首先,根据输出的结果,计算出需要循环的次数;然后,计算出最后一次循环变量对应的数值;最后,通过比较得出结论.特别要注意对问题的转化,问题与框图的表示的相互转化.‎ ‎【规范示例☆避免陷阱】‎ ‎【典例】某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于 37，‎ 则输入的整数i的最大值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【规范解答】这是一个循环结构，循环的结果依次为 ‎ ‎.所以i的最大值为 ‎【反思提高】1.解答有关程序框图的问题,要读懂程序框图,熟练掌握程序框图的三种基本结构.注意逐步执行,并且将每一次执行的结果都写出 ,要注意在哪一步结束循环以防止运行程序不彻底.循环结构常常用在一些有规律的 学计算中,如累加求和、累乘求积、多次输入等.‎ ‎2.程序框图中只要有了循环结构,就一定会涉及条件结构和顺序结构.对于循环结构,要注意当型与直到型的区别,搞清进入或终止的循环条件、循环次数是做题的关键.‎ ‎【误区警示】‎ 算法初步问题，往往比较简单，正答率较高，出现的问题往往有执行程序不完整、计算错误等，本题中不能正确的依次计算，而出现误选.‎ 考向三 推理与证明 ‎【高考改编☆回顾基础】‎ ‎1．【合情推理】【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说 你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说 我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）‎ A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎2.【归纳推理】【2016高考山东文数】观察下列等式 ‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎……‎ 照此规律，_________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 通过类比，可以发现，最前面的数字是，接下 是和项数有关的两项的乘积，即，故答案为.‎ ‎3.【等差数列、数列的求和、不等式证明】【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.‎ ‎(Ⅰ)设，求证 是等差数列；‎ ‎(Ⅱ)设 ，求证 ‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ ‎（I）证明 由题意得，有，因此，所以是等差数列.‎ ‎【命题预测☆看准方向】‎ 推理问题是高考的重点考查内容,高考对推理问题的考查主要与数列、立体几何、解析几何等结合在一起命题.近年 也出现了以实际生活为背景的合情推理问题.预测2018年考查通过与数列、立体几何、解析几何等结合在一起的归纳推理、类比推理问题.‎ ‎【典例分析☆提升能力】‎ ‎【例1】【2018届北京市东城区高三第一学期期末】在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系 同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和.丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为( )‎ A. 甲、丁、乙、丙 B. 丁、甲、乙、丙 C. 丁、乙、丙、甲 D. 乙、甲、丁、丙 ‎【答案】A ‎【解析】因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和等于大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以丁的阅读量大于乙阅读量且丁的阅读量大于丙的阅读量，这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为甲丁乙丙，故选A. ‎ ‎【趁热打铁】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，‎ ‎ 甲说 我去过的城市比乙多，但没去过城市；‎ ‎ 乙说 我没去过城市.‎ ‎ 丙说 我们三个去过同一城市.‎ ‎ 由此可判断乙去过的城市为__________‎ ‎【答案】A ‎【解析】由丙说可知，乙至少去过A,B,C中的一个城市，由甲说可知，甲去过A, C且比乙去过的城市多，故乙只去过一个城市，且没去过C城市，故乙只去过A城市．‎ ‎【例2】如图是 格工作者经常用 解释 络运作的蛇形模型 数字出现在第行；数字出现在第行，数字(从左至右) 出现在第行; 数字出现在第行，依此类推，则第行从左到右第个数字为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】前行共有第行最左端的数为第行从左到右第个数字为．‎ ‎【趁热打铁】观察下列式子 ，，，…，根据上述规律，第个不等式应该为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由归纳推理易知，答案为。‎ ‎【方法总结☆全面提升】‎ ‎1.运用归纳推理得出一般结论时,要注意从等式、不等式的项数、次数、系数等多个方面进行综合分析,归纳发现其一般结论.‎ ‎2.若已给出的式子较少,规律不明显,则可多写出几个式子,从中发现一般结论.‎ ‎3.进行类比推理时,首先要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质.‎ ‎4.归纳推理的关键是找规律,类比推理的关键是看共性.‎ ‎【规范示例☆避免陷阱】‎ ‎【典例】已知数列的前项和.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明 对任意，都有，使得成等比数列.‎ ‎【反思提高】‎ ‎1.区分两种合情推理的思维过程 ‎ ‎(1)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,归纳推理的思维过程 ‎ 实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 ‎(2)类比推理的思维过程 ‎ 实验、观察→联想、类推→猜测新的结论 在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比.主要有以下两点 (1)找两类对象的对应元素,如 三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积等等;(2)找对应元素的对应关系,如 两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等.‎ ‎2.一般地，对于结论是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的数学问题，或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题，宜考虑用反证法，这体现了“正难则反”的思想，用反证法解题时，推导出矛盾是关键一步，途径很多，可以与已知矛盾，与假设矛盾、与已知事实相违背等，但推导出的矛盾必须是明显的．‎ ‎【误区警示】‎ ‎1.归纳推理的前提是一些特殊的情况，所以归纳推理要在观察、经验、实验的基础上进行；归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象，因此所得结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的．归纳推理的一般过程 ‎ ‎(1)通过观察个别情况，发现相同的性质；‎ ‎(2)推出一个明确表述的一般性结论．‎ ‎2．在数学中，类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，并且应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限等之间有不少结论都是先用类比的方法提出猜想，然后再加以证明的．进行类比推理，重要的是要找准合适的类比对象，如三棱锥、球、体积的类比对象一般分别为三角形、圆、面积；同时还要注意不仅可进行形式的类比，还可进行方法的类比．类比推理的一般步骤 ‎ ‎(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；‎ ‎(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明．‎