上海市高考数学试卷文科答案与解析

上海市高考数学试卷文科答案与解析

‎2012年上海市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）‎ ‎1．（4分）（2012•上海）计算：=　1﹣2i　（i为虚数单位）．‎ 考点：‎ 复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案 解答：‎ 解：‎ 故答案为1﹣2i 点评：‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握 ‎　‎ ‎2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x﹣1＞0}，B={x||x|＜1}，则A∩B=　（，1）　．‎ 考点：‎ 交集及其运算．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由题意，可先化简两个集合A，B，再求两个集合的交集得到答案 解答：‎ 解：由题意A={x|2x﹣1＞0}={x|x＞}，B={x|﹣1＜x＜1}，‎ ‎∴A∩B=（，1）‎ 故答案为（，1）‎ 点评：‎ 本题考查交的运算，是集合中的基本题型，解题的关键是熟练掌握交集的定义 ‎　‎ ‎3．（4分）（2012•上海）函数的最小正周期是　π　．‎ 考点：‎ 二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简，最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可．‎ 解答：‎ 解：=sinxcosx+2=sin2x+2‎ ‎∴T==π ‎∴函数的最小正周期是π 故答案为：π 点评：‎ 本题主要考查了二阶行列式，以及三角函数的化简和周期的求解，同时考查了运算求解能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2012•上海）若是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为　arctan　（结果用反三角函数值表示）‎ 考点：‎ 平面向量坐标表示的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据直线的方向向量的坐标一般为（1，k）可得直线的斜率，根据tanα=k，最后利用反三角可求出倾斜角．‎ 解答：‎ 解：∵是直线l的一个方向向量 ‎∴直线l的斜率为即tanα=‎ 则l的倾斜角的大小为arctan 故答案为：arctan 点评：‎ 本题主要考查了直线的方向向量，解题的关键是直线的方向向量的坐标一般为（1，k），同时考了反三角的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2012•上海）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为　6π　．‎ 考点：‎ 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．‎ 解答：‎ 解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，‎ 所以它的底面半径为：1，‎ 所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．‎ 故答案为：6π．‎ 点评：‎ 本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2012•上海）方程4x﹣2x+1﹣3=0的解是　x=log23　．‎ 考点：‎ 有理数指数幂的运算性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据指数幂的运算性质可将方程4x﹣2x+1﹣3=0变形为（2x）2﹣2×2x﹣3=0然后将2x看做整体解关于2x的一元二次方程即可．‎ 解答：‎ 解：∵4x﹣2x+1﹣3=0‎ ‎∴（2x）2﹣2×2x﹣3=0‎ ‎∴（2x﹣3）（2x+1）=0‎ ‎∵2x＞0‎ ‎∴2x﹣3=0‎ ‎∴x=log23‎ 故答案为x=log23‎ 点评：‎ 本题主要考差了利用指数幂的运算性质解有关指数类型的方程．解题的关键是要将方程4x﹣2x+1﹣3=0等价变形为（2x）2﹣2×2x﹣3=0然后将2x看做整体再利用因式分解解关于2x的一元二次方程．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则（V1+V2+…+Vn）═　　．‎ 考点：‎ 数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求 解答：‎ 解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为an 则 ‎∴=是以1为首项，以为公比的等比数列 则（V1+V2+…+vn）==‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题 ‎　‎ ‎8．（4分）（2012•上海）在的二项式展开式中，常数项等于　﹣20　．‎ 考点：‎ 二项式定理的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．‎ 解答：‎ 解：展开式的通项为Tr+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3‎ 常数项为（﹣1）3=﹣20‎ 故答案为：﹣20‎ 点评：‎ 本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）=　3　．‎ 考点：‎ 函数奇偶性的性质；函数的值．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2得到g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4，从而解出答案 解答：‎ 解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2‎ ‎∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4‎ 又g（1）=1‎ ‎∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3‎ 故答案为：3‎ 点评：‎ 本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是利用性质得到恒成立的等式，再利用所得的恒等式通过赋值求函数值 ‎　‎ ‎10．（4分）（2012•上海）满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是　﹣2　．‎ 考点：‎ 简单线性规划．菁优网版权所有 分析：‎ 作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求 解答：‎ 解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示 由于z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小，z越小 结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C（2，0），此时Z=﹣2最小 故答案为：﹣2‎ 点评：‎ 借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是　　（结果用最简分数表示）‎ 考点：‎ 古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有 专题：‎ 概率与统计．‎ 分析：‎ 先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．‎ 解答：‎ 解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球 三个同学共有3×3×3=27种 有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种 其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2种选择 故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2012•上海）在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是　[1，4]　．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先以所在的直线为x轴，以所在的直线为x轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系，表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数量积的范围．‎ 解答：‎ 解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为x轴，建立坐标系如图，‎ ‎∵AB=2，AD=1，‎ ‎∴A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），‎ 设M（2，b），N（x，1），‎ ‎∵，‎ ‎∴b=‎ ‎∴，=（2，），‎ ‎∴=，‎ ‎∴1，‎ 即1≤≤4‎ 故答案为：[1，4]‎ 点评：‎ 本题主要考查平面向量的基本运算，概念，平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是表示出两个向量的坐标形式，利用函数的最值求出数量积的范围，本题是一个中档题目．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为　　．‎ 考点：‎ 分段函数的解析式求法及其图象的作法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数f（x）的函数解析式，进而求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的函数解析式，最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可 解答：‎ 解：依题意，当0≤x≤时，f（x）=2x，当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2‎ ‎∴f（x）=‎ ‎∴y=xf（x）=‎ y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S=+=x3+（﹣+x2）=+=‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题主要考查了分段函数解析式的求法，定积分的几何意义，利用微积分基本定理和运算性质计算定积分的方法，属基础题 ‎　‎ ‎14．（4分）（2012•上海）已知，各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f（an），若a2010=a2012，则a20+a11的值是　　．‎ 考点：‎ 数列与函数的综合．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ 根据，各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f（an），可确定a1=1，，，a7=，，，利用a2010=a2012，可得a2010=（负值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得结论．‎ 解答：‎ 解：∵，各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f（an），‎ ‎∴a1=1，，，a7=，，‎ ‎∵a2010=a2012，‎ ‎∴‎ ‎∴a2010=（负值舍去），由a2010=得a2008=…‎ 依次往前推得到a20=‎ ‎∴a20+a11=‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念．理解条件an+2=f（an），是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）‎ ‎15．（5分）（2012•上海）若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ b=2，c=3‎ B．‎ b=2，c=﹣1‎ C．‎ b=﹣2，c=﹣1‎ D．‎ b=﹣2，c=3‎ 考点：‎ 复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项 解答：‎ 解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0‎ ‎∴1+2i﹣2+b+bi+c=0，即 ‎∴，解得b=﹣2，c=3‎ 故选D 点评：‎ 本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题 ‎　‎ ‎16．（5分）（2012•上海）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 充分不必要条件 B．‎ 必要不充分条件 ‎　‎ C．‎ 充分必要条件 D．‎ 既不充分也不必要条件 考点：‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 专题：‎ 常规题型．‎ 分析：‎ 先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，‎ 例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；‎ 故前者不是后者的充分条件；‎ 当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；‎ 由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，本题是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 钝角三角形 B．‎ 直角三角形 C．‎ 锐角三角形 D．‎ 不能确定 考点：‎ 三角形的形状判断．菁优网版权所有 专题：‎ 三角函数的图像与性质．‎ 分析：‎ 利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2，再结合余弦定理作出判断即可．‎ 解答：‎ 解：∵在△ABC中，sin2A+sin2B＜sin2C，‎ 由正弦定理===2R得，‎ a2+b2＜c2，‎ 又由余弦定理得：cosC=＜0，0＜C＜π，‎ ‎∴＜C＜π．‎ 故△ABC为钝角三角形．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（5分）（2012•上海）若（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎16‎ B．‎ ‎72‎ C．‎ ‎86‎ D．‎ ‎100‎ 考点：‎ 数列与三角函数的综合．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；综合题；压轴题．‎ 分析：‎ 由于sin＞0，sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，可得到S1＞0，…S13＞0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．‎ 解答：‎ 解：∵sin＞0，sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，‎ ‎∴S1=sin＞0，‎ S2=sin+sin＞0，‎ ‎…，‎ S8=sin+sin+…sin+sin+sin=sin+…+sin+sin＞0，‎ ‎…，‎ S12＞0，‎ 而S13=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin+…+sin=0，‎ S14=S13+sin=0+0=0，‎ 又S15=S14+sin=0+sin=S1＞0，S16=S2＞0，…S27=S13=0，S28=S14=0，‎ ‎∴S14n﹣1=0，S14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，‎ ‎∴在S1，S2，…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．‎ 故在S1，S2，…，S100中，正数的个数是86．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查数列与三角函数的综合，通过分析sin的符号，找出S1，S2，…，S100中，S14n﹣1=0，S14n=0是关键，也是难点，考查学生分析运算能力与冷静坚持的态度，属于难题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）‎ ‎19．（12分）（2012•上海）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC=，AB=2，，PA=2，求：‎ ‎（1）三棱锥P﹣ABC的体积；‎ ‎（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）‎ 考点：‎ 异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 专题：‎ 常规题型；综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形ABC的面积：S△ABC=，然后根据PA⊥底面ABC，结合锥体体积公式，得到三棱锥P﹣ABC的体积；‎ ‎（2）取BP中点E，连接AE、DE，在△PBC中，根据中位线定理得到DE∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．然后在△ADE中，利用余弦定理得到cos∠ADE=，所以∠ADE=arccos是锐角，因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．‎ 解答：‎ 解：（1）∵∠BAC=，AB=2，，‎ ‎∴S△ABC=×2×=‎ 又∵PA⊥底面ABC，PA=2‎ ‎∴三棱锥P﹣ABC的体积为：V=×S△ABC×PA=；‎ ‎（2）取BP中点E，连接AE、DE，‎ ‎∵△PBC中，D、E分别为PC、PB中点 ‎∴DE∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．‎ ‎∵在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2‎ ‎∴cos∠ADE==，可得∠ADE=arccos（锐角）‎ 因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．‎ 点评：‎ 本题给出一个特殊的三棱锥，以求体积和异面直线所成角为载体，考查了棱柱、棱锥、棱台的体积和异面直线及其所成的角等知识点，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）‎ ‎（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；‎ ‎（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．‎ 考点：‎ 函数的周期性；反函数；对数函数图象与性质的综合应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；‎ ‎（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．‎ 解答：‎ 解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），‎ 要使函数有意义，则 由解得：﹣1＜x＜1．‎ 由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，‎ ‎∵x+1＞0，‎ ‎∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，‎ ‎∴．‎ 由，得：．‎ ‎（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，‎ ‎∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），‎ 由单调性可知y∈[0，lg2]，‎ 又∵x=3﹣10y，‎ ‎∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．‎ 点评：‎ 本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：‎ ‎①失事船的移动路径可视为抛物线；‎ ‎②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；‎ ‎③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t ‎（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．‎ ‎（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？‎ 考点：‎ 圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ ‎（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；‎ ‎ （2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：（1）t=0.5时，P的横坐标xP=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标yP=3．…2分 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分 由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分 ‎（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．‎ 由vt=，整理得．…10分 因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．‎ 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分 点评：‎ 本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2﹣y2=1．‎ ‎（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；‎ ‎（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；‎ ‎（3）设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；综合题；压轴题；转化思想．‎ 分析：‎ ‎（1）求出双曲线的左焦点F的坐标，设M（x，y），利用|MF|2=（x+）2+y2，求出x的范围，推出M的坐标．‎ ‎（2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出平行四边形的面积．‎ ‎（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=k2+1，通过求解=0．证明PO⊥OQ．‎ 解答：‎ 解：（1）双曲线C1：的左焦点F（﹣），‎ 设M（x，y），则|MF|2=（x+）2+y2，‎ 由M点是右支上的一点，可知x≥，‎ 所以|MF|==2，得x=，‎ 所以M（）．‎ ‎（2）左焦点F（﹣），‎ 渐近线方程为：y=±x．‎ 过F与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，‎ 所以，解得．‎ 所以所求平行四边形的面积为S=．‎ ‎（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，‎ 因直线PQ与已知圆相切，故，‎ 即b2=k2+1…①，由，得（2﹣k2）x2﹣2bkx﹣b2﹣1=0，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，‎ 又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）．‎ 所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2‎ ‎=‎ ‎=．‎ 由①式可知，‎ 故PO⊥OQ．‎ 点评：‎ 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎23．（18分）（2012•上海）对于项数为m的有穷数列{an}，记bk=max{a1，a2，…，ak}（k=1，2，…，m），即bk为a1，a2，…，ak中的最大值，并称数列{bn}是{an}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．‎ ‎（1）若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{an}．‎ ‎（2）设{bn}是{an}的控制数列，满足ak+bm﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m），求证：bk=ak（k=1，2，…，m）．‎ ‎（3）设m=100，常数a∈（，1），an=an2﹣n，{bn}是{an}的控制数列，求（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）．‎ 考点：‎ 数列的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；压轴题；点列、递归数列与数学归纳法．‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意，可得数列{an}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；‎ ‎（2）依题意可得bk+1≥bk，又ak+bm﹣k+1=C，ak+1+bm﹣k=C，从而可得ak+1﹣ak=bm﹣k+1﹣bm﹣k≥0，整理即证得结论；‎ ‎（3）根据，可发现，a4k﹣3=a（4k﹣3）2+（4k﹣3），a4k﹣2=a（4k﹣2）2+（4k﹣2），a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k）2﹣4k，通过比较大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，a4k＞a4k﹣2，而a4k+1＞a4k，a4k﹣1﹣a4k﹣2=（a﹣1）（8k﹣3），从而可求得（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）=（a2﹣a3）+（a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1）=2525（1﹣a）．‎ 解答：‎ 解：（1）数列{an}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；…4分 ‎（2）∵bk=max{a1，a2，…，ak}，bk+1=max{a1，a2，…，ak+1}，‎ ‎∴bk+1≥bk…6分 ‎∵ak+bm﹣k+1=C，ak+1+bm﹣k=C，‎ ‎∴ak+1﹣ak=bm﹣k+1﹣bm﹣k≥0，即ak+1≥ak，…8分 ‎∴bk=ak…10分 ‎（3）对k=1，2，…25，‎ a4k﹣3=a（4k﹣3）2+（4k﹣3），a4k﹣2=a（4k﹣2）2+（4k﹣2），‎ a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k）2﹣4k，…12分 比较大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，‎ ‎∵＜a＜1，‎ ‎∴a4k﹣1﹣a4k﹣2=（a﹣1）（8k﹣3）＜0，即a4k﹣2＞a4k﹣1；‎ a4k﹣a4k﹣2=2（2a﹣1）（4k﹣1）＞0，即a4k＞a4k﹣2，‎ 又a4k+1＞a4k，‎ 从而b4k﹣3=a4k﹣3，b4k﹣2=a4k﹣2，b4k﹣1=a4k﹣2，b4k=a4k，…15分 ‎∴（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）‎ ‎=（a2﹣a3）+（a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）‎ ‎=（a4k﹣2﹣a4k﹣1）‎ ‎=（1﹣a）（8k﹣3）‎ ‎=2525（1﹣a）…18分 点评：‎ 本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3）观察，分析寻找规律是难点，是难题．‎ ‎　‎