高考数学理二轮专练六仿真模拟题目二
仿真模拟题(二)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{0，1} B．{1}
C．{1，2} D．{0，1，2}
2．已知函数f(x)＝，则f(f())的值是( )
A．9 B.
C．－9 D．－
3．从某中学甲、乙两个班中各随机抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm)后获得身高数据的茎叶图如图1，在这20人中，记身高在[150，160)，[160，170)，[170，180)，[180，190)的人数依次为A1，A2，A3，A4，图2是统计样本中身高在一定范围内的人数的程序框图，则下列说法正确的是( )
A．由图1可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图2输出的S的值为18
B．由图1可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图2输出的S的值为16
C．由图1可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图2输出的S的值为18
D．由图1可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图2输出的S的值为16
4．(2013·福建省普通高中毕业班质量检测)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，焦距为4.若P为椭圆C上一点，且△PF1F2的周长为14，则椭圆C的离心率e为( )
A. B.
C. D.
5．在函数y＝f(x)的图象上有点列(xn，yn)，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数y＝f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝4x2
C．f(x)＝log3x D．f(x)＝()x
6．(2013·云南省昆明市高三调研测试)已知a是实数，则函数f(x)＝acos ax的图象可能是( )
7．已知数列{an}是等比数列，命题p：“若a1
0，b>0)的最大值为6，则log3的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
10．已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝{(x，y)|y＝}；②M＝{(x，y)|y＝ex－2}；③M＝{(x，y)|y＝cos x}；④M＝{(x，y)|y＝ln x}．其中是“垂直对点集”的序号是( )
A．①②④ B．②③
C．③④ D．①③④
二、填空题(本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分．)
(一)必做题(11～13题)
11．已知两点A(1，0)，B(1，1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝135°，设＝－＋λ(λ∈R)，则λ的值为________．
12．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．
13．已知△ABC的顶点A，B分别是离心率为e的圆锥曲线＋＝1的焦点，顶点C在该曲线上；一同学已正确地推得：当m>n>0时有e(sin A＋sin B)＝sin C．类似地，当m>0，n<0时，有________．
(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)
14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0与曲线(θ为参数)有且仅有一个公共点，则正实数a的值为________．
15．(几何证明选讲选做题)如图，M是平行四边形四边形ABCD边AB的中点，直线l过M分别交AD、AC于E，F，交CB的延长线于N，若AE＝2，AD＝6，则AF∶AC的值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知c＝1，C＝.
(1)若cos(α＋C)＝－，0<α<，求cos α；
(2)若sin C＋sin(A－B)＝3sin 2B，求△ABC的面积．
17．(本小题满分12分)某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图．
(1)估计全市学生综合素质成绩的平均值；
(2)若综合素质成绩排名前5名中，其中1人为某校的学生会主席，从这5人中推荐3
人参加自主招生考试．试求这3人中含该学生会主席的概率．
18．(本小题满分14分)(2013·高考山东卷)某几何体ABCA1B1C1的三视图和直观图如图所示．
(1)求证：平面AB1C1⊥平面AA1C1C；
(2)若E是线段AB1上的一点，且满足VEAA1C1＝VABCA1B1C1，求AE的长．
19．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝·ex－f(0)·x＋x2(e是自然对数的底数)．
(1)求函数f(x)的解析式和单调区间；
(2)若函数g(x)＝x2＋a与函数f(x)的图象在区间[－1，2]上恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围．
20．(本小题满分14分)(2013·高考广东卷)设各项均为正数的数列{an}的前 n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．
(1)证明：a2＝；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
21．(本小题满分14分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左、右焦点分别为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且||＝，·＝，其中O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，过点S(0，－)，且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：
1．【解析】选A.因为A∩B＝{2，3，4，5}，图中阴影部分为A去掉A∩B，所以阴影部分所表示的集合为{0，1}，所以选A.
2．【解析】选B.f()＝log2＝log22－2＝－2，f(f())
＝f(－2)＝3－2＝.
3．【解析】选C.由茎叶图可知，甲班学生身高的平均数为170.3，乙班学生身高的平均数为170.8，故乙班学生的平均身高较高．由题意可知，A1＝2，A2＝7，A3＝9，A4＝2，由程序框图易知，最后输出的结果为S＝7＋9＋2＝18.
4．【解析】选B.因为椭圆C的焦距为4，所以c＝2.因为△PF1F2的周长为14，所以2a＝14－4＝10，所以a＝5，所以椭圆C的离心率e＝＝.
5．【解析】选D.对于函数f(x)＝()x上的点列(xn，yn)，有yn＝()xn，由于{xn}是等差数列，设xn＋1－xn＝d，因此＝＝()xn＋1－xn＝()d，这是一个与n无关的常数，故{yn}是等比数列．
6．【解析】选C.对于A、D，注意到当x＝0时，f(x)＝acos 0＝a≠0，因此结合选项知，选项A、D不正确；对于B，注意到其最小正周期T＝＝π，a＝2，此时相应的最大值是2，这与所给的图象不相吻合，因此选项B不正确．综上所述，选C.
7．【解析】选D.若已知a10时，解得q>1，此时数列{an}是递增数列；当a1<0时，解得00，b>0)过直线x－y＋2＝0和3x－y－2＝0的交点A(2，4)时，z取得最大值6，所以2a＋4b＝6，即a＋2b＝3，所以log3(＋)＝log3(＋)·()＝log3(＋＋)≥log33＝1，当且仅当a＝b＝1时取等号，故选A.
10．【解析】选B.对于①y＝是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意(x1，y1)∈M，不存在(x2，y2)∈M，满足垂直对点集的定义；对任意(x1，y1)∈M，在另一支上也不存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，所以不满足垂直对点集的定义，不是垂直对点集．
对于②M＝{(x，y)|y＝ex－2}，如图(1)在曲线上两点构成的直角存在，例如取M(0，－1)，N(ln 2，0)，满足垂直对点集的定义，所以正确．
对于③M＝{(x，y)|y＝cos x}，如图(2)对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，
例如(0，1)、(，0)，∠yOx＝90°，满足垂直对点集的定义，旋转90°，都能在图象上找到满足题意的点，
所以集合M是垂直对点集；
对于④M＝{(x，y)|y＝ln x}，如图(3)取点(1，0)，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是垂直对点集．故选B.
11．【解析】由∠AOC＝135°知，点C在射线y＝－x(x<0)上，设点C的坐标为(a，－a)，则有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消掉a得λ＝.
【答案】
12．【解析】设AB＝c，则AD＝c，BD＝，BC＝，在△ABD中，由余弦定理得cos A＝＝，则sin A＝.在△ABC中，由正弦定理得＝＝，解得sin C＝.
【答案】
13．【解析】当m>n>0时，＋＝1为椭圆，
|AC|＋|BC|＝2，
由正弦定理知，＝＝⇒＝⇒＝⇒e＝＝⇒e(sin A＋sin B)＝sin C．当m>0，n<0时，＋
＝1为双曲线，||AC|－|BC||＝2，由正弦定理知，＝＝⇒＝⇒＝⇒e＝＝⇒e|sin A－sin B|＝sin C.
【答案】e|sin A－sin B|＝sin C
14．【解析】由消参数得普通方程为：(x－1)2＋y2＝1，
直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的直角坐标方程为：3x＋4y＋a＝0，又圆与直线相切，所以＝1，解得：a＝2或a＝－8(舍)．
【答案】a＝2
15．【解析】因为AD∥BC，
＝⇒＝，
∵＝＝1⇒AE＝BN，
∴＝＝.
∵AE＝2，AD＝6，
∴＝＝.即AF∶AC＝1∶5.
【答案】1∶5
16．【解析】(1)∵cos(α＋)＝－，<α＋<π，
∴sin(α＋)＝＝，
∴cos α＝cos[(α＋)－]＝.
(2)∵sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin Acos B＝6sin Bcos B，
∴cos B＝0或sin A＝3sin B，∴B＝或a＝3b.
若B＝，则s＝c·ctan A＝；
若a＝3b，由余弦定理得a2＋b2－ab＝1，b2＝，
∴△ABC的面积S＝absin C＝.
17．【解】(1)依题意可知，
55×0.12＋65×0.18＋75×0.40＋85×0.22＋95×0.08＝74.6，
所以全市学生综合素质成绩的平均值为74.6.
(2)设这5名学生分别为a，b，c，d，e，其中某校的学生会主席为a.从5人中选出3人，所有的可能的结果为(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，d，e)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，d，e)，(c，d，e)，共10种．
其中含有学生会主席的情况有(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，d，e)，共6种，故这3人中含该学生会主席的概率为＝.
18．【解】(1)证明：由三视图可知，几何体ABCA1B1C1为三棱柱，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，B1C1⊥A1C1，且AA1＝AC＝4，BC＝2.
∵AA1⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，
∴AA1⊥B1C1，
∵B1C1⊥A1C1，AA1∩A1C1＝A1，
∴B1C1⊥平面A1ACC1.
又B1C1⊂平面AB1C1，∴平面AB1C1⊥平面AA1C1C.
(2)过点E作EF∥B1C1交AC1于点F(图略)，
由(1)知，EF⊥平面A1ACC1，
即EF为三棱锥EAA1C1的高．
∵VEAA1C1＝VABCA1B1C1，
∴S△AA1C1·EF＝S△ABC·AA1，
∴×(×4×4)×EF＝×(×2×4)×4，
解得EF＝.
在Rt△ABC中，
AB＝＝＝2，
在Rt△ABB1中，
AB1＝＝＝6，
由＝，得AE＝＝＝2.
19．【解】(1)由已知得f′(x)＝ex－f(0)＋x，
∴f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即f(0)＝1.
又f(0)＝，∴f′(1)＝e.
从而f(x)＝ex－x＋x2.
显然f′(x)＝ex－1＋x在R上单调递增且f′(0)＝0，
故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
∴f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)．
(2)由f(x)＝g(x)得a＝ex－x.令h(x)＝ex－x，
则h′(x)＝ex－1.
由h′(x)＝0得x＝0.
当x∈(－1，0)时，h′(x)<0；当x∈(0，2)时，h′(x)>0.
∴h(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，2)上单调递增．
又h(0)＝1，h(－1)＝1＋，
h(2)＝e2－2且h(－1)0，所以a2＝.
(2)因为4Sn＝a－4n－1，①
所以当n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，②
由①－②得4an＝a－a－4，
即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2(n≥2)．
因为an>0，所以an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2(n≥2)．
因为a2，a5，a14成等比数列，所以a＝a2a14，
即(a2＋3×2)2＝a2(a2＋12×2)，解得a2＝3.
又由(1)知a2＝，所以a1＝1，所以a2－a1＝2.
综上知an＋1－an＝2(n∈N*)，
所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．
(3)证明：由(2)知＝
＝，
所以＋＋…＋
＝
＝＝－<.
21．【解】(1)设P(x0，y0)，则||＝，
可知x＋y＝.①
∵·＝，
∴(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝，
即x－c2＋y＝.②
将①代入②得，c＝1，又e＝，
可得a＝，b＝1，∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)存在点M(0，1)使以AB为直径的圆恒过该定点．
设直线l：y＝kx－，代入＋y2＝1，
有(2k2＋1)x2－kx－＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
若y轴上存在定点M(0，m)满足题设，
则＝(x1，y1－m)，＝(x2，y2－m)，
·＝x1x2＋(y1－m)(y2－m)
＝x1x2＋y1y2－m(y1＋y2)＋m2
＝x1x2＋(kx1－)(kx2－)－m(kx1－＋kx2－)＋m2
＝(k2＋1)x1x2－k(＋m)(x1＋x2)＋m2＋＋
＝.
由题意知，对任意实数k都有·＝0恒成立，
即18(m2－1)k2＋(9m2＋6m－15)＝0对k∈R成立．
∴，解得m＝1，
∴在y轴上存在定点M(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个定点．
