2019届二轮复习平面向量的数量积及应用学案（全国通用）

2019届二轮复习平面向量的数量积及应用学案（全国通用）

‎【考点剖析】‎ ‎1.命题方向预测：‎ 向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积、夹角模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与平面几何、三角函数、解析几何、不等式等交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查．‎ ‎2.课本结论总结：‎ ‎（1）两个向量的夹角 ‎①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．‎ ‎②范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.‎ ‎③向量垂直：如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.‎ ‎（2）平面向量数量积 ‎①已知两个非零向量a与b，则数量|a b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．‎ 规定0·a＝0.‎ 向量的投影：||叫向量在向量方向上的投影 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.‎ ‎②a·b的几何意义：‎ 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．‎ ‎（3）向量数量积的性质 ‎①如果e是单位向量，则a·e＝e·a.‎ ‎②a⊥ba·b＝0.‎ ‎③a·a＝|a|2，.‎ ‎④cos θ＝.(θ为a与b的夹角)‎ ‎⑤|a·b|≤|a b|.‎ ‎（4）数量积的运算律 ‎①交换律：a·b＝b·a.‎ ‎②分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎③对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．‎ ‎（5）数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：‎ ‎①a·b＝a1b1＋a2b2.‎ ‎②a⊥ba1b1＋a2b2＝0.‎ ‎③|a|＝.‎ ‎④cos θ＝＝.(θ为a与b的夹角)‎ ‎3.名师二级结论：‎ ‎(1)向量 b在a的方向上的投影为|b|cos θ=.‎ ‎（2）若向量a∥b，且b=，则可设a=.‎ ‎4.考点交汇展示：‎ ‎ (1)与平面几何交汇 ‎1.【2018年天津卷文】在如图的平面图形中，已知,则的值为 A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎ (2)与平面解析几何交汇 ‎2.【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，‎ 从而可以求得，故选D.‎ ‎ (3)与不等式交汇 ‎3.【【衡水金卷】2018届四省名校第三次大联考】如图，在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 过P点分别作交AC于M点，交BC于N点，则,因为，所以求出，设，则由三角形面积公式有，而，则，故的最小值为，选D.‎ ‎4.【2016高考浙江】已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ ,则a·b的最大值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，即最大值为.‎ ‎（3）与三角函数交汇 ‎5.【2018届江苏省盐城市东台中学监测】已知向量满足，且与的夹角的正切值为，与的夹角的正切值为，，则的值为 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎6.【2016高考浙江】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【考点分类】‎ 考向一 平面向量数量积及其几何意义 ‎1.【2019届四川省成都市第七中学零诊】如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，连接，‎ 已知，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ 设，‎ ‎，‎ 当时，有最小值，故答案为.‎ ‎2.【2017天津，文14】在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【方法规律】‎ ‎1.平面向量数量积的计算方法 ‎①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a b|cosθ求解；‎ ‎②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解；‎ ‎③用平面向量数量积的几何意义计算.‎ ‎2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． ‎ ‎【解题技巧】‎ 1. 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.‎ 2. 计算向量在向量方向上的投影有两种思路：思路1，用||计算;思路2，利用计算.‎ 3. 在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.‎ ‎【易错点睛】‎ ‎1.向量的数量积不满足消去率和结合律.‎ ‎2.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数，可以为正，也可以为负，还可以为0.‎ ‎3.若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,与实数乘积不同.‎ 例 已知平面向量a,b,c，下列说法中：‎ ‎①若a·b=a·c,则a=c； ②a(b·c)=(a·b)c;‎ ‎③若a·b=0,则a=0或b=0; ④a·b≤|a|·|b|，正确的序号为 .‎ ‎【错解】①②③④‎ ‎【错因分析】没有掌握平面向量数量积的运算法则和平面向量数量积的性质，套用实数的运算法则和性质.‎ ‎【预防措施】熟练掌握平面向量数量积的运算法则和平面数量积的性质.‎ ‎【正解】因平面向量的数量积不满足消去率和结合律，故①②，因若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b，故③错，根据平面向量的数量积的性质知④正确，故正确的说法序号为④‎ 考向二 平面向量垂直、平面向量夹角 ‎1.【2018年文北京卷】设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若，则m= .‎ ‎【答案】‎ ‎2.【2017课标1，文13】已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m= ．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎3.【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：，‎ ‎，‎ ‎，‎ · ‎，解得：．‎ ‎【方法规律】‎ ‎1.对平面向量夹角问题 ‎(1)当，是非坐标形式时，需要先求出及||、||或它们的关系.‎ ‎(2)若已知向量，的坐标，直接利用公式求解.‎ ‎2. 利用向量垂直的充要条件将向量垂直问题转化为向量数量积来解决.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.非零向量垂直a,b的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎2．a⊥b⇔a·b＝0，体现了“形”与“数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题．‎ ‎【易错点睛】‎ ‎1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.‎ ‎2.若两个向量夹角为锐角，则＞0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则小于0，反之，不一定 ‎3. 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．‎ ‎4.a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0时，a·b＝0，但不能说a⊥b.‎ 例 已知向量，且向量与夹角为锐角，求的范围；‎ ‎【错解】因为向量与夹角为锐角，所以=+2＞0，解得＞-2.‎ ‎【错因分析】从出发解出的值，忽视剔除同向的情况．‎ ‎【预防措施】解题时，每步都要求是等价转化，在转化时，要认真分析各种情况，要做到不重不漏.‎ ‎【正解】因为向量与夹角为锐角，所以=+2＞0，解得＞-2.‎ 当=时，与同向，故的范围为.‎ 考向三 平面向量模 ‎1.【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是 A. −1 B. +1 C. 2 D. 2−‎ ‎【答案】A ‎2.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 所以.‎ 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为.‎ ‎【方法规律】‎ 对平面向量的模问题，若向量是非坐标形式，用求模长；若给出向量的坐标，则用||=来求解.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.计算向量模时，要先将所计算模的向量用基底表示出来，再利用模公式转化为平面向量的数量积，利用平面向量的运算法则计算.‎ ‎2．对平面上两点间的距离、线段的长度问题，可转化其对应向量的模问题来解决.‎ ‎【易错点睛】‎ 在计算向量模问题时，要正确应用模公式，避免出现如下错误：a·b＝|a b|和|a·b|＝|a b|.‎ 例 已知||=1，||=2，向量与夹角为120o,求||.‎ ‎【错解】||===5.‎ ‎【错因分析】错用a·b＝|a b|,平面向量的数量积的概念与性质掌握不牢.‎ ‎【预防措施】熟练掌握平面向量的数量积的定义、运算法则和性质，会用公式和平面向量的数量积的知识计算向量的模, 避免出现如下错误：a·b＝|a b|和|a·b|＝|a b|.‎ ‎【正解】||===.‎ ‎【热点预测】‎ ‎1.已知向量 ， ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎2．【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】已知单位向量满足，则与的夹角是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ， 即如图 ‎ =即是第二象限的角平分线，所以由图可见 与 的夹角是，故选D. ‎ ‎3．【2018届陕西省咸阳市5月信息专递】已知两个向量和的夹角为，，则向量在方向上的正射影的数量为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎4．【2018届河南省洛阳市期中】向量均为非零向量， ，则的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】， ，所以，即，设 的夹角为， ，又，所以的夹角为，故选A.‎ ‎5．【2018届黑龙江省仿真模拟（五）】已知向量，，则当时，的取值范围是 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎6．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若，且，，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图所示：，，，‎ ‎∵，∴点C在劣弧AB上运动，‎ 表示C、D两点间的距离.‎ 的最大值是，最小值为.‎ 故选：D.‎ ‎7．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎8．【2018届河南省郑州外国语学校调研】已知向量，向量在方向上的投影为，且，则 ．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ 由已知得，，‎ ‎，‎ 由得：，即，‎ ‎.‎ 故答案为：5. ‎ ‎9．【2018届黑龙江省仿真模拟(三)】已知单位向量，的夹角为，则向量与的夹角为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 单位向量，的夹角为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设向量与的夹角为，‎ 则，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎10．【2018届湖北省宜昌市一中考前训练2】在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时， ．‎ ‎【答案】24.‎ ‎【解析】‎ 由，得，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 以为坐标原点建立如图所示的坐标系，‎ 则，设，‎ 则 ‎ ‎，‎ 当时取得最小值，此时，‎ 则，故答案为.‎ ‎11．【2018届河北省唐山一中强化提升（一）】已知向量的夹角为，，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎12．【2018届上海市大同中学三模】如图直角梯形中，，，，.点是直角梯形区域内任意一点，.点所在区域的面积是 ．‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图所示，△ABE中，,，，分别为边的中点，则梯形即为满足题意的图形，‎ 以为直径的圆及其内部的点满足，则图中的阴影部分为满足题意的点所在区域.‎ 其中△BFG为边长为1的等边三角形，其面积，‎ 扇形是半径为1，圆心角为120°的扇形，其面积为，‎ 综上可得：点所在区域的面积是 .‎ ‎13.【2018届辽宁省葫芦岛市二模】如图，已知为中点，以为直径在同侧作半圆，分别为两半圆上的动点，（不含端点)，且，则的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得 以为直径的半圆方程为 ‎ 以为直径的半圆方程为（ ， 设 ‎ 可得 ‎ 即有 即为 即有 可得 ，即 ， 则 ‎ 可得 即β时，‎ ‎ 的最大值为， 故答案为．‎ ‎14.【2018届江苏省盐城市东台中学监测】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若△ABC的外接圆的半径为，若，求的值 ‎【答案】(1) .(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎（2）因为△ABC的外接圆的半径为，由正弦定理得，，‎ 所以，所以．‎ 由余弦定理知，，‎ 即，所以，即，‎ 因为所以 所以△ABC为直角三角形，且 所以.‎