2021高考数学一轮复习专练6函数的奇偶性与周期性含解析理新人教版
专练6 函数的奇偶性与周期性
命题范围：函数的奇偶性、函数的周期性．
[基础强化]
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝－x3
C．y＝－lg|x| D．y＝2x
2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．f(x)|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－8)＝( )
A．3 B.
C．－ D．－3
4．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝( )
A．－ B．－
C. D.
5．[2020·广西桂林测试]定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝3x，则( )
A．f(－1)＝f(2) B．f(－1)＝f(4)
C．f>f D．f＝f(4)
6．[2020·天水一中测试]函数f(x)为奇函数，定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(2 016)＋f(2 017)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log23)，c＝f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是( )
A．c
0恒成立；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a0，给出下列命题：
①f(3)＝0；
②直线x＝－6是y＝f(x)的一条对称轴；
③y＝f(x)在(－9，－6)上为增函数；
④y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为( )
A．①② B．②④
C．①②③ D．①②④
专练6 函数的奇偶性与周期性
1．C
2．B
3．D ∵f(x)为奇函数，∴f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.
4．A ∵f(x)为奇函数且周期为2，∴f＝－f＝－f＝－2××＝－.
5．C ∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)＝31＝3，∴f(2)＝f(0)＝1，∴f(4)＝f(0)＝1，f＝f＝，f＝f＝f＝，
∴f>f.
6．D ∵f(x＋2)为偶函数，∴f(2＋x)＝f(2－x)，
又f(x)为奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x－2)，
∴f(x＋2)＝－f(x－2)，∴f(x＋4)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以8为周期的周期函数，
∵f(0)＝0，∴f(2 016)＝f(0)＝0，f(2 017)＝f(1)＝1，
∴f(2 016)＋f(2 017)＝0＋1＝1.
7．C f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，得函数在(0，＋∞)上是减函数，图象越靠近y轴，图象越靠上，即自变量的绝对值越小，函数值越大，由于0<0.20.6<10时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝a＝8，所以a＝－3.
13．B ∵f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)为周期函数，且周期为6，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(3－6)＝f(－3)＝
－(－3＋2)2＝－1，
f(4)＝f(4－6)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，
f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝－(－1＋2)2＝－1，
f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝336＋1＋2＝339.
14．C 奇函数f(x)在R上是增函数，
当x>0时，f(x)>f(0)＝0，
当x1>x2>0时，f(x1)>f(x2)>0，
∴x1f(x1)>x2f(x2)，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且g(x)＝xf(x)是偶函数，
∴a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，20，
故函数y＝f(x)在[0,3]上是增函数，作出函数y＝f(x)在区间[－9,9]上的大致图象如图：
由图可知，f(x)在(－9，－6)上为减函数，且有f(－9)＝f(－3)＝f(3)＝f(9)＝0，即y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点，故③错误，④正确．
