精选版2011中考数学压轴题特训详解

精选版2011中考数学压轴题特训详解

中考数学压轴题精选精析 （2010 广东广州，25，14 分）如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为 （3，0），（0，1），点 D 是线段 BC 上的动点（与端点 B、C 不重合），过点 D 作直线 ＝－ ＋ 交折线 OAB 于点 E． （1）记△ODE 的面积为 S，求 S 与 的函数关系式； （2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 OA1B1C1， 试探究 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该 重叠部分的面积；若改变，请说明理由. 【分析】（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点 E 在 OA 边上， 只需求出这个三角形的底边 OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公 式即可；②如果点 E 在 AB 边上，这时△ODE 的面积可用长方形 OABC 的面积减去△OCD、 △OAE、△BDE 的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定 重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在 OA 边上的线段长度是否变化． 【答案】（1）由题意得 B（3，1）． 若直线经过点 A（3，0）时，则 b＝ 若直线经过点 B（3，1）时，则 b＝ 若直线经过点 C（0，1）时，则 b＝1 ①若直线与折线 OAB 的交点在 OA 上时，即 1＜b≤ ，如图 25-a， 此时 E（2b，0） ∴S＝ OE·CO＝ ×2b×1＝b ②若直线与折线 OAB 的交点在 BA 上时，即 ＜b＜ ，如图 2 y 1 2 x b b C D B AEO x y 3 2 5 2 3 2 图 1 D E x y C B A O 1 2 1 2 3 2 5 2 此时 E（3， ），D（2b－2，1） ∴S＝S 矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE ) ＝ 3－[ (2b－1)×1＋ ×(5－2b)·( )＋ ×3( )]＝ ∴ （2）如图 3，设 O1A1 与 CB 相交于点 M，OA 与 C1B1 相交于点 N，则矩形 OA1B1C1 与 矩形 OABC 的重叠部分的面积即为四边形 DNEM 的面积。 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！ 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形 DNEM 为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形 DNEM 为菱 形． 过点 D 作 DH⊥OA，垂足为 H， 由题易知，tan∠DEN＝ ，DH＝1，∴HE＝2， 设菱形 DNEM 的边长为 a， 则在 Rt△DHM 中，由勾股定理知： ，∴ ∴S 四边形 DNEM＝NE·DH＝ ∴矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 ． 【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理 【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化， 关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养 学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度． D E x y C B AO 图 2 3 2b − 1 2 1 2 5 2 b− 1 2 3 2b − 25 2 b b− 2 31 2 5 3 5 2 2 2 b b S b b b  < ≤=   − < < 图 3 H N M C1 A1 B1 O1 D E x y C B A O 1 2 2 2 2(2 ) 1a a= − + 5 4a = 5 4 5 4 【推荐指数】★★★★★ （10 浙江嘉兴）24．如图，已知抛物线y＝－ x2＋x＋4 交 x 轴的正半轴于点 A，交 y 轴于 点 B． （1）求 A、B 两点的坐标，并求直线 AB 的解析式； （2）设 P（x，y）（x＞0）是直线 y＝x 上的一点，Q 是 OP 的中点（O 是原点），以 PQ 为对角线作正方形 PEQF，若正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点，求 x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形 PEQF 与△OAB 公共部分的面积为 S，求 S 关于 x 的函 数解析式，并探究 S 的最大值． （10 重庆潼南）26.（12 分）如图, 已知抛物线 与 y 轴相交于 C，与 x 轴 相交于 A、B，点 A 的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（0，-1）. （1）求抛物线的解析式； （2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE⊥x 轴于点 D，连结 DC，当△DCE 的面积最 大时，求点 D 的坐标； （3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标， 若不存在，说明理由. 1 2 cbxxy ++= 2 2 1 AB C E D x y o 题图26 AB C x y o 备用图 （10 重庆潼南）26. 解：（1）∵二次函数 的图像经过点 A（2，0）C(0,－ 1) ∴ 解得： b=－ c=－1-------------------2 分 ∴二次函数的解析式为 --------3 分 （2）设点 D 的坐标为（m，0） （0＜m＜2） ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC 得， --------------4 分 ∴ ∴DE= -----------------------------------5 分 ∴△CDE 的面积= × ×m = = 当 m=1 时，△CDE 的面积最大 ∴点 D 的坐标为（1，0）--------------------------8 分 （3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为 设 y=0 则 解得：x1=2 x2=－1 ∴点 B 的坐标为（－1，0） C（0，－1） 设直线 BC 的解析式为：y=kx＋b ∴ 解得：k=-1 b=-1 ∴直线 BC 的解析式为: y=－x－1 在 Rt△AOC 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC= ∵点 B(－1,0) 点 C（0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450 ①当以点 C 为顶点且 PC=AC= 时， 设 P(k, －k－1) 过点 P 作 PH⊥y 轴于 H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k∣ 在 Rt△PCH 中 k2+k2= 解得 k1= ， k2=－ ∴P1（ ，－ ） P2（－ ， ）---10 分 cbxxy ++= 2 2 1    −= =++ 1 022 c cb 2 1 12 1 2 1 2 −−= xxy OC DE AO AD = 12 2 DEm =− 2 2 m− 2 1 2 2 m− 24 2 mm +− 4 1)1(4 1 2 +−− m 12 1 2 1 2 −−= xxy 12 1 2 10 2 −−= xx    −= =+− 1 0 b bk 5 5 ( )2 5 2 10 2 10 2 10 12 10 − 2 10 12 10 − ②以 A 为顶点，即 AC=AP= 设 P(k, －k－1) 过点 P 作 PG⊥x 轴于 G AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣ 在 Rt△APG 中 AG2＋PG2=AP2 （2－k)2+(－k－1)2=5 解得：k1=1,k2=0(舍) ∴P3(1, －2) ----------------------------------11 分 ③以 P 为顶点，PC=AP 设 P(k, －k－1) 过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q PL⊥x 轴于点 L ∴L(k,0) ∴△QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA= k ∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜ 在 Rt△PLA 中 ( k)2=(k－2)2＋(k＋1)2 解得：k= ∴P4( ,－ ) ------------------------12 分 综上所述： 存在四个点：P1（ ，－ ） P2（- ， ） P3(1, －2) P4( ,－ ) （10 四川宜宾）24．(本题满分 l2 分)将直角边长为 6 的等腰Rt△AOC 放在如图所示的平面 直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 C、A 分别在 x、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点 A、C 及点 B(–3，0)． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 AB 的平行线交 AC 于点 E，连接 AP，当 △APE 的面积最大时，求点 P 的坐标； (3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点 G，使△AGC 的面积与（2）中△APE 的最 大面积相等?若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由． 5 2 2 2 5 2 5 2 7 2 10 12 10 − 2 10 12 10 − 2 5 2 7 y xCB O A 24 题图 （10 浙江宁波）26、如图 1、在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点 A 的坐标 为（－2，0），点 D 的坐标为（0， ），点 B 在 轴的正半轴上，点 E 为线段 AD 的 中点，过点 E 的直线 与 轴交于点 F，与射线 DC 交于点 G。 （1）求 的度数; （2）连结 OE，以 OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△ ，记直线 与射线 DC 的交点为 H。 ①如图 2，当点 G 在点 H 的左侧时，求证：△DEG∽△DHE; ②若△EHG 的面积为 ，请直接写出点 F 的坐标。 25、解：（1） （2）（2， ） （3）①略 ②过点 E 作 EM⊥直线 CD 于点 M ∵CD∥AB ∴ ∴ ∵ ∴ ∵△DHE∽△DEG ∴ 即 当点 H 在点 G 的右侧时，设 ， ∴ 解： ∴点 F 的坐标为（ ，0） 当点 H 在点Ｇ的左侧时，设 ， ∴ 32 x l x DCB∠ FOE ′ FE ′ 33 °60 32 °=∠=∠ 60DABEDM 32 3260sin =×=°⋅= DEEm 3332 1 2 1 =⋅⋅=⋅⋅=∆ GHMEGHS EGH 6=GH DE DH DG DE = DHDGDE ⋅=2 xDG = 6+= xDH )6(4 += xx 11321331 −=++−=x 113 +− xDG = 6−= xDH )6(4 −= xx y x CD A O B E G F （图 1） x CD A O B E G H F F′ y （图 2） x CD A O B E y （图 3） x CD A O B E y （图 3） Ｍ 解： ， （舍） ∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ ∴ ∵ ∴点Ｆ的坐标为（ ，0） 综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是 （ ，0）， （ ，0） （10 江苏南通）28．（本小题满分 14 分）已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A（－4，3）、B （2，0）两点，当 x=3 和 x=－3 时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点 C（0，－ 2）的直线 l 与 x 轴平行，O 为坐标原点． （1）求直线 AB 和这条抛物线的解析式； （2）以 A 为圆心，AO 为半径的圆记为⊙A，判断直线 l 与⊙A 的位置关系，并说明理由； （3）设直线 AB 上的点 D 的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线 y＝ax2＋bx＋c 上的动点， 当 △PDO 的周长最小时，求四边形 CODP 的面积． （10 浙江义乌）24．如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0）、A（2，0）、B （6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标； （2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移， 分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1．设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S，A1、 B1 的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含 S 的代数式表示 － ，并求出当 S=36 时点 A1 的坐标； （3）在图 1 中，设点 D 坐标为(1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度 沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运 动．P、Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动．设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、 轴围成的三 角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由． 1331 +=x 1331 −=x 133 +== DGAF 5132133 +=++=+= AFAOOF 513 −− 1F 113 +− 2F 513 −− 2x 1x x －1 y xO （第 28 题） 1 2 3 4 －2 －4 －3 3 －1 －2－3－4 41 2 （ 10 浙 江 义 乌 ） 24 ． 解 ： （ 1 ） 对 称 轴 ： 直 线 ……………………………………………………..… 1 分 解析式： 或 ……………………………….2 分 顶点坐标：M（1， ）……….…………………………………………..3 分 （2）由题意得 3……………………………………..1 分 得： ①…………….………………….……2 分 得： ②….………………………………………..………..3 分 把②代入①并整理得： (S＞0) (事实上，更确切为 S＞6 )4 分 当 时， 解得： (注：S＞0 或 S＞6 不写不 扣 分) 把 代入抛物线解析式得 ∴点 A1（6，3）………5 分 （3）存在………………………………………………………………….…..……1 分 解法一：易知直线 AB 的解析式为 ，可得直线 AB 与对称轴的 交点 E 的坐标为 ∴BD=5，DE= ，DP=5－t，DQ= t 当 ∥ 时， 得 ………2 分 下面分两种情况讨论: 设直线 PQ 与直线 AB、x 轴的交点分别为点 F、G 1x = 21 1 8 4y x x= − 21 1( 1)8 8y x= − − 1 8 − 2 1 3y y− = 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 8 4 8 4y y x x x x− = − − + = 2 1 2 1 1 1( )[ ( ) ] 38 4x x x x− + − = 1 2 1 2 2( 1 1) 3( ) 62 x xs x x − + − ×3= = + − 1 2 23 sx x+ = + 2 1 72x x s − = 6 36s = 2 1 2 1 14 2 x x x x + =  − = 1 2 6 8 x x =  = 6 1 6x = 1 3y = 3 3 4 2y x= − 31, 4  −   15 4 PQ AB DQ DP DE DB = 5 15 5 4 t t−= 15 7t = 图 2 O1 A1 O y x B1C1 D M C B AO y x 图 1 D M F G ①当 时，如图 1-1 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FGA＝∠FEQ ∴∠DPQ＝∠DEB 易得△DPQ∽△DEB ∴ ∴ 得 ∴ (舍去)…………………………3 分 ② 当 时，如图 1-2 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FAG＝∠FQE ∵∠DQP＝∠FQE ∠FAG＝∠EBD ∴∠DQP＝∠DBE 易得△DPQ∽△DEB ∴ ∴ ， ∴ ∴当 秒时，使直线 、直线 、 轴围成的三角形与直线 、 直 线 、 抛 物 线 的 对 称 轴 围 成 的 三 角 形 相 似………………………………4 分 (注:未求出 能得到正确答案不扣分) 解法二：可将 向左平移一个单位得到 ,再用解法一 类似的方法可求得 , , ∴ , . （10 安徽省卷）23.如图，已知△ABC∽△ ，相似比为 （ ），且△ABC 的三边 长分别为 、 、 （ ），△ 的三边长分别为 、 、 。 ⑴若 ，求证： ； ⑵若 ，试给出符合条件的一对△ABC 和△ ，使得 、 、 和 、 、 进都 是正整数，并加以说明； ⑶若 ， ，是否存在△ABC 和△ 使得 ？请说明理由。 （10 山东聊城）25．（本题满分 12 分）如图，已知抛 物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为 x＝1，且抛物线经过 A（—1，0）、B（0，—3） 两点，与 x 轴交于另一点 B． 0 < 15 7t < DQ DP DB DE = 5 155 4 t t−= 20 15 7 7t = > 20 7t = 15 7 < 1 8t < 3 DQ DP DB DE = 5 155 4 t t−= 20 7t = 20 7t = PQ AB x PQ AB 15 7t = 2 8 4 x xy = − 2 1 8 8 xy = − 2 1 72x x S ′ ′− = 1 (5,3)A′ 20 7t = 2 1 72x x S − = 1(6,3)A 20 7t = 111 CBA k 1>k a b c cba >> 111 CBA 1a 1b 1c 1ac = kca = 1ac = 111 CBA a b c 1a 1b 1c 1ab = 1bc = 111 CBA 2=k CBAOyx图 1 - 2 DM E F P QG x y O x＝1 第 25 题 A C B E N M D CB A O y x （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴 x＝1 上求一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小， 并求出此时点 M 的坐标； （3）设点 P 为抛物线的对称轴 x＝1 上的一动点，求使∠PCB＝90°的点 P 的坐标． （10 四川眉山）26．如图，Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半 轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（ ，0）、（0，4），抛物线 经过 B 点，且顶点在直线 上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若△DCE 是由△ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD 于点 N．设点 M 的横坐标为 t，MN 的长度为 l．求 l 与 t 之间的函数关系式，并求 l 取最大值时，点 M 的坐标． 26．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 …（1 分） ∴ ∴ ……………………………………………………………（3 分） ∴所求函数关系式为： …………（4 分） （2）在 Rt△ABO 中，OA=3，OB=4， ∴ ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………（5 分） 3− 22 3y x bx c= + + 5 2x = 22 5( )3 2y x m= − + 22 54 ( )3 2 m= × − + 1 6m = − 2 22 5 1 2 10( ) 43 2 6 3 3y x x x= − − = − + 2 2 5AB OA OB= + = E N M D CB A O y x ∴C、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6 分） 当 时， 当 时， ∴点 C 和点 D 在所求抛物线上． …………………………（7 分） （3）设直线 CD 对应的函数关系式为 ，则 解得： ． ∴ ………（9 分） ∵MN∥y 轴，M 点的横坐标为 t， ∴N 点的横坐标也为 t． 则 ， ，……………………（10 分） ∴ ∵ ， ∴当 时， ， 此时点 M 的坐标为（ ， ）． ………………………………（12 分） （10 浙江杭州）24. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的解析式是 y = +1， 点 C 的坐标为(–4，0)，平行四边形 OABC 的顶点 A，B 在抛物 线上，AB 与 y 轴交于点 M，已知点 Q(x，y)在抛物线上，点 P(t，0)在 x 轴上. (1) 写出点 M 的坐标； (2) 当四边形 CMQP 是以 MQ，PC 为腰的梯形时. ① 求 t 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围； ② 当梯形 CMQP 的两底的长度之比为 1：2 时，求 t 的值. 24. (本小题满分 12 分) (1) ∵OABC 是平行四边形，∴AB∥OC，且 AB = OC = 4， ∵A，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴， ∴ A，B 的横坐标分别是 2 和– 2， 2 4 1 x （第 24 题） （第 24 题） 5x = 22 105 5 4 43 3y = × − × + = 2x = 22 102 2 4 03 3y = × − × + = y kx b= + 5 4 2 0 k b k b + =  + = 4 8,3 3k b= = − 4 8 3 3y x= − 22 10 43 3My t t= − + 4 8 3 3Ny t= − 2 2 24 8 2 10 2 14 20 2 7 34 ( )3 3 3 3 3 3 3 3 2 2N Ml y y t t t t t t = − = − − − + = − + − = − − +   2 03 − < 7 2t = 3 2l =最大 7 2 1 2 代入 y = +1 得， A(2, 2 )，B(– 2，2)， ∴M (0，2)， ---2 分 (2) ① 过点 Q 作 QH ⊥ x 轴，设垂足为 H， 则 HQ = y ，HP = x–t ， 由△HQP∽△OMC，得： , 即： t = x – 2y , ∵ Q(x,y) 在 y = +1 上， ∴ t = – + x –2. ---2 分 当点 P 与点 C 重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得 x = 1± , 当 Q 与 B 或 A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2 ∴x 的取值范围是 x ≠ 1± , 且 x≠± 2 的所有实数. ---2 分 ② 分两种情况讨论： 1）当 CM > PQ 时，则点 P 在线段 OC 上， ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ， ∴点 M 纵坐标为点 Q 纵坐标的 2 倍，即 2 = 2( +1)，解得 x = 0 ， ∴t = – + 0 –2 = –2 . --- 2 分 2）当 CM < PQ 时，则点 P 在 OC 的延长线上， ∵CM∥PQ，CM = PQ， ∴点 Q 纵坐标为点 M 纵坐标的 2 倍，即 +1=2×2，解得： x = ± . ---2 分 当 x = – 时，得 t = – – –2 = –8 – , 当 x = 时， 得 t = –8. ---2 分 （10 浙江温州）24．(本题 l4 分)如图，在 RtAABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点 B 2 4 1 x 42 txy −= 2 4 1 x 2 2 1 x 5 5 2 4 1 x 202 1 2 1 2 4 1 x 32 32 2)32(2 1 32 32 32 32 作射线 BBl∥AC．动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 出发沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动．过点 D 作 DH⊥AB 于 H，过点 E 作 EF 上 AC 交射线 BB1 于 F，G 是 EF 中点，连结 DG．设点 D 运动的时间为 t 秒． (1)当 t 为何值时，AD=AB，并求出此时 DE 的长度； (2)当△DEG 与△ACB 相似时，求 t 的值； (3)以 DH 所在直线为对称轴，线段 AC 经轴对称变换后的图形为 A′C′． ①当 t> 时，连结 C′C，设四边形 ACC′A ′的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式； ②当线段 A ′C ′与射线 BB，有公共点时，求 t 的取值范围(写出答案即可)． （10 重庆）26．已知：如图（1），在平面直角坐标 xOy 中，边长为 2 的等边△OAB 的顶点 B 在第一象限，顶点 A 在 x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点 C 在第四象限，OC＝ AC，∠C＝120°．现有两动点 P、Q 分别从 A、O 两点同时出发，点 Q 以每秒 1 个单位 的速度沿 OC 向点 C 运动，点 P 以每秒 3 个单位的速度沿 A→O→B 运动，当其中一个点 到达终点时，另一个点也随即停止. （1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积 S 与运动的时间 t 之间的函数关系，并写出自变 量 t 的取值范围； （2）在等边△OAB 的边上（点 A 除外）存在点 D，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出 所有符合条件的点 D 的坐标； （3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与 OB、AB 交于点 M、N，连接 MN．将∠ MCN 绕着 C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得 M、N 始终在边 OB 和边 AB 上．试 判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发 生变化，请说明理由． 5 3 （10 安徽芜湖）24．（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形 ABCO，其 顶点为 A（0，1）、B（－3 3，1）、C（－3 3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－ 3，1）、F（－ 4 3 3 ，0）的直线 EF 向右下方翻折，B、C 的对应点分别为 B′、C ′． （1）求折痕所在直线 EF 的解析式； （2）一抛物线经过 B、E、B′三点，求此二次函数解析式； （3）能否在直线 EF 上求一点 P，使得△PBC 周长最小？如能，求出点 P 的坐标；若不能， 说明理由． 解： （10 甘肃兰州）28.（本题满分 11 分）如图 1，已知矩形ABCD 的顶点 A 与点 O 重合，AD、AB 分别在 x 轴、y 轴上，且 AD=2，AB=3；抛物线 经过坐标原点 O 和 x 轴 上另一点 E（4,0） （1）当 x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？ （2）将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平 行移动，同时一动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动.设它们运动的时 间为 t 秒（0≤t≤3），直线 AB 与 该 抛物线的交点为 N（如图 2 所示）. ① 当 时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由； ② 以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积是否可能为 5，若有可能，求出此时 N 点的 坐标；若无可能，请说明理由． cbxxy ++−= 2 4 11=t 图 1 第 28 题图 图 2 28. （本题满分 11 分） 解：（1）因抛物线 经过坐标原点 O（0,0）和点 E（4,0） 故可得 c=0,b=4 所以抛物线的解析式为 …………………………………………1 分 由 得当 x=2 时，该抛物线的最大值是 4. …………………………………………2 分 （2）① 点 P 不在直线 ME 上. 已知 M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)， 设直线 ME 的关系式为 y=kx+b. 于是得 ，解得 所以直线 ME 的关系式为 y=-2x+8. …………………………………………3 分 由已知条件易得，当 时，OA=AP= ， …………………4 分 ∵ P 点的坐标不满足直线 ME 的关系式 y=-2x+8. ∴ 当 时，点 P 不在直线 ME 上. ……………………………………5 分 ②以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积可能为 5 ∵ 点 A 在 x 轴的非负半轴上，且 N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t. ∴ 点 P，N 的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6 分 ∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) , ∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3- t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t …………………………………………………………………………………7 分 （ⅰ）当 PN=0，即 t=0 或 t=3 时，以点P，N，C，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形 的高为 AD，∴ S= DC·AD= ×3×2=3. （ⅱ）当 PN≠0 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形是四边形 ∵ PN∥CD，AD⊥CD， ∴ S= (CD+PN)·AD= [3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8 分 当-t 2+3 t+3=5 时，解得 t=1、2…………………………………………………9 分 而 1、2 都在 0≤t≤3 范围内，故以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 5 综上所述，当 t=1、2 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形面积为 5， cbxxy ++−= 2 xxy 42 +−= xxy 42 +−= ( )22 4y x=− − +    =+ =+ 42 04 bk bk    = −= 8 2 b k 4 11=t 4 11 )4 11,4 11(P 4 11=t 2 1 2 1 2 1 2 1 1 -2 1 A x y O B P M C Q E D 当 t=1 时，此时 N 点的坐标（1,3）………………………………………10 分 当 t=2 时，此时 N 点的坐标（2,4）………………………………………11 分 说明：（ⅱ）中的关系式，当 t=0 和 t=3 时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有 （ⅱ）也可以,不扣分） （10 江苏盐城）28．（本题满分 12 分）已知：函数 y=ax2+x+1 的图象与 x 轴只有一个公共 点． （1）求这个函数关系式； （2）如图所示，设二次函数 y=ax2+x+1 图象的顶点为 B，与 y 轴的交点为 A，P 为图象 上的一点，若以线段 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B，求 P 点的坐标； （3）在(2)中，若圆与 x 轴另一交点关于直线 PB 的对称点为 M，试探索点 M 是否在抛物 线 y=ax2+x+1 上，若在抛物线上，求出 M 点的坐标；若不在，请说明理由． 28．解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分) 当a≠0时，△=1- 4a=0，a = 1 4，此时，图象与x轴只有一个公共点． ∴函数的解析式为：y=x+1 或`y= 1 4x2+x+1……（3 分） （2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC⊥x 轴于点C． ∵y = ax2 + x + 1是二次函数，由（1）知该函数关系式为： y= 1 4x2+x+1，则顶点为 B（-2，0），图象与 y 轴的交点 坐标为 A（0，1）………（4 分） ∵以 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA ∴ ，故 PC=2BC，……………………………………………………（5 分） 设 P 点的坐标为(x，y)，∵∠ABO 是锐角，∠PBA 是直角，∴∠PBO 是钝角，∴x<-2 ∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即 y=-4-2x， P 点的坐标为(x，-4-2x) ∵点 P 在二次函数 y= 1 4x2+x+1 的图象上，∴-4-2x= 1 4x2+x+1…………………（6 分） 解之得：x1=-2，x2=-10 ∵x<-2 ∴x=-10，∴P 点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7 分） （3）点 M 不在抛物线y = ax2 + x + 1上……………………………………………（8 分） 由（2）知：C 为圆与 x 轴的另一交点，连接 CM，CM 与直线 PB 的交点为 Q，过点 M 作 AO BC OB PC = A x y OB x 轴的垂线，垂足为 D，取 CD 的中点 E，连接 QE，则 CM⊥PB，且 CQ=MQ ∴QE∥MD，QE= 1 2MD，QE⊥CE ∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB ∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB = 1 2 CE=2QE=2×2BE=4BE，又 CB=8，故 BE= 8 5，QE= 16 5 ∴Q 点的坐标为(- 18 5 ， 16 5 ) 可求得 M 点的坐标为( 14 5 ， 32 5 )…………………………………………………（11 分） ∵ 1 4(f(14,5))2 + (f(14,5)) + 1= 144 25 ≠ 32 5 ∴C 点关于直线 PB 的对称点 M 不在抛物线y = ax2 + x + 1上……………………（12 分） (其它解法，仿此得分) （10 浙江台州）24．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点 P，Q 都是斜边 AB 上的 动点，点 P 从 B 向 A 运动（不与点 B 重合），点 Q 从 A 向 B 运动，BP=AQ．点 D，E 分别是 点 A，B 以 Q，P 为对称中心的对称点， HQ⊥AB 于 Q，交 AC 于点 H．当点 E 到达顶点 A 时， P，Q 同时停止运动．设 BP 的长为 x，△HDE 的面积为 y． （1）求证：△DHQ∽△ABC； （2）求 y 关于 x 的函数解析式并求 y 的最大值； （3）当 x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？ 24．（14 分）（1）∵A、D 关于点 Q 成中心对称，HQ⊥AB， ∴ =90°，HD=HA， ∴ ，…………………………………………………………………………3 分 ∴△DHQ∽△ABC． ……………………………………………………………………1 分 （2）①如图 1，当 时， ED= ，QH= ， CHQD ∠=∠ AHDQ ∠=∠ 5.20 ≤< x x410 − xAAQ 4 3tan =∠ （第 24 题） D E Q B AC P H D H Q E B AC P （图 1） （图 2） 此时 ． …………………………………………3 分 当 时，最大值 ． ②如图 2，当 时， ED= ，QH= ， 此时 ． …………………………………………2 分 当 时，最大值 ． ∴y 与 x 之间的函数解析式为 y 的最大值是 ．……………………………………………………………………1 分 （3）①如图 1，当 时， 若 DE=DH，∵DH=AH= ， DE= ， ∴ = ， ． 显然 ED=EH，HD=HE 不可能； ……………………………………………………1 分 ②如图 2，当 时， 若 DE=DH， = ， ； …………………………………………1 分 若 HD=HE，此时点 D，E 分别与点 B，A 重合， ； ………………………1 分 若 ED=EH，则△EDH∽△HDA， ∴ ， ， ． ……………………………………1 分 ∴当 x 的值为 时，△HDE 是等腰三角形. （其他解法相应给分） （10 浙江金华）24. (本题 12 分) 如图，把含有 30°角的三角板 ABO 置入平面直角坐标系中，A，B 两点坐标分别为 （3，0）和(0，3 ）.动点 P 从 A 点开始沿折线 AO-OB-BA 运动，点 P 在 AO，OB， BA 上运动的速度分别为 1， ，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘 l 从 x 轴的位置 开 xxxxy 4 15 2 3 4 3)410(2 1 2 +−=×−= 4 5=x 32 75=y 55.2 ≤< x 104 −x xAAQ 4 3tan =∠ xxxxy 4 15 2 3 4 3)104(2 1 2 −=×−= 5=x 4 75=y      ≤<− ≤<+− = ).55.2(4 15 2 3 ),5.20(4 15 2 3 2 2 xxx xxx y 4 75 5.20 ≤< x xA QA 4 5 cos =∠ x410 − x410 − x4 5 21 40=x 55.2 ≤< x 104 −x x4 5 11 40=x 5=x AD DH DH ED = x x x x 2 4 5 4 5 104 =− 103 320=x 103 320,5,11 40,21 40 3 3 始以 3 3 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持 l∥x 轴），且分别与 OB， AB 交于 E，F 两点﹒设动点 P 与动直线 l 同时出发，运动时间为 t 秒，当点 P 沿折线 AO-OB-BA 运动一周时，直线 l 和动点 P 同时停止运动． 请解答下列问题： （1）过 A，B 两点的直线解析式是 ▲ ； （2）当 t﹦4 时，点 P 的坐标为 ▲ ；当 t ﹦ ▲ ，点 P 与点 E 重合； （3）① 作点 P 关于直线 EF 的对称点 P′. 在运动过程中，若形成的四边形 PEP′F 为 菱形，则 t 的值是多少？ ② 当t﹦2 时，是否存在着点 Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的坐 标； 若不存在，请说明理由． 24．(本题 12 分) 解：（1） ；………4 分 （2）（0, ）， ；……4 分（各 2 分） （3）①当点 在线段 上时，过 作 ⊥ 轴， 为垂足（如图 1） ∵ , ,∠ ∠ 90° ∴△ ≌△ ，∴ ﹒ 又∵ ,∠ 60°,∴ 而 ，∴ , 由 得 ；………………………………………………………………1 分 当点 P 在线段 上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点 P 在线段 上时， 过 P 作 ⊥ ， ⊥ ， 、 分别为垂足（如图 2） 333 +−= xy 3 2 9=t P AO F FG x G FGOE = FPEP = =EOP =FGP EOP FGP PGOP = tFGOE 3 3== =A tFGAG 3 1 60tan 0 == tAP = tOP −= 3 tAGAPPG 3 2=−= tt 3 23 =− 5 9=t OB BA PH EF PM OB H M B F AP E O x y l ( 第 24 题 图) B F AP E O x y G P′P′ (图 1) B F A P E O x y M P′ H （图 2) ∵ ,∴ ,∴ ∴ ， 又∵ 在 Rt△ 中， 即 ，解得 ．…………………………………………………1 分 ②存在﹒理由如下： ∵ ，∴ , ， 将△ 绕点 顺时针方向旋转 90°，得到 △ （如图 3） ∵ ⊥ ，∴点 在直线 上， C 点坐标为（ ， －1） 过 作 ∥ ，交 于点 Q, 则△ ∽△ 由 ，可得 Q 的坐标为（－ ， ）………………………1 分 根据对称性可得，Q 关于直线 EF 的对称点 （－ ， ）也符合条件．……1 分 （10 山东烟台）26、（本题满分 14 分） 如图，已知抛物线 y=x2+bx-3a 过点 A（1,0），B(0,-3),与 x 轴交于另一点 C。 （1）求抛物线的解析式； （2）若在第三象限的抛物线上存在点 P，使△PBC 为以点 B 为直角顶点的直角三角形，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点 Q，使以 P,Q,B,C 为顶点的四边形为直角 梯形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 （10 江苏泰州）27.（12 分） tOE 3 3= tBE 3 333 −= 33 60tan 0 tBEEF −== 6 9 2 1 tEFEHMP −=== )6(2 −= tBP BMP MPBP =⋅ 060cos 6 9 2 1)6(2 tt −=⋅− 7 45=t 2=t 33 2=OE 2=AP 1=OP BEP E ECB′ OB EF B′ EF 33 2 33 2 F FQ CB′ EC FEQ ECB′ 3==′= QE CE FE EB FE BE 3 2 3 3 Q′ 3 2 3 y B F AP E O x Q′ B′ QC C1 D1 (图 3) （10 江苏泰州）28.（14 分）如图，⊙O 是 O 为圆心，半径为 的圆，直线 交 坐标轴于 A、B 两点。 (1)若 OA=OB ①求 k ②若 b=4，点 P 为直线 AB 上一点，过 P 点作⊙O 的两条切线，切点分别这 C、D，若∠ CPD=90°，求点 P 的坐标； (2)若 ，且直线 分⊙O 的圆周为 1：2 两部分，求 b. （10 江苏淮安）28．(本小题满分 12 分) 如题 28(a)图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为(12，0)，点 B 坐标为(6，8)，点 C 为 OB 的中点，点 D 从点 O 出发，沿△OAB 的三边按逆时针方向以 2 个单位长度／秒的速 度运动一周． (1)点 C 坐标是( ， )，当点 D 运动 8.5 秒时所在位置的坐标是( ， )； (2)设点 D 运动的时间为 t 秒，试用含 t 的代数式表示△OCD 的面积 S,并指出 t 为何值 5 y kx b= + 1 2k = − y kx b= + 时，S 最大； (3)点 E 在线段 AB 上以同样速度由点 A 向点 B 运动，如题 28(b)图，若点 E 与点 D 同时 出发，问在运动 5 秒钟内，以点 D，A，E 为顶点的三角形何时与△OCD 相似(只考虑以 点 A．O 为对应顶点的情况)： 题 28(a)图 题 28(b)图 （10 江苏扬州）28．（本题满分 12 分）在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD 是斜 边 AB 上的高，点 E 在斜边 AB 上，过点 E 作直线与△ABC 的直角边相交于点 F，设 AE ＝x，△AEF 的面积为 y． （1）求线段 AD 的长； （2）若 EF⊥AB，当点 E 在线段 AB 上移动时， ①求 y 与 x 的函数关系式（写出自变量 x 的取值范围） ②当 x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值； （3）若 F 在直角边 AC 上（点 F 与 A、C 两点均不重合），点 E 在斜边 AB 上移动，试问：是 否存在直线 EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线 EF，求出 x 的值；若不存在直 线 EF，请说明理由． （10 湖南衡阳）23．（11 分）已知：等边三角形 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 在 的边 上沿 方向以 1 厘米/秒的速度向 点运动（运动开始时，点 与点 重合，点 到达点 时运动终止），过点 分别作 边的垂线，与 的其它边交于 两点，线段 运动的时间为 秒． （1）线段 在运动的过程中， 为何值时，四边形 恰为矩形？并求出该矩形的面 积； （2）线段 在运动的过程中，四边形 的面积为 ，运动的时间为 ．求四边形 的面积 随运动时间 变化的函数关系式，并写出自变量 的取值范围． ABC MN ABC△ AB AB B M A N B M N、 AB ABC△ P Q、 MN t MN t MNQP MN MNQP S t MNQP S t t C P Q BA M N （10 江苏苏州）29．(本题满分 9 分)如图，以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B．已知 A、 B 两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)． (1)求抛物线的解析式； (2)设 M(m，n)是抛物线上的一点(m、n 为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以 M、 B、O、A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点 M 的坐标； (3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点 P，PA2+PB2+PM2＞28 是 否总成立?请说明理由． 1． 已 知 ： 抛 物 线 ， 顶 点 ， 与 轴 交 于 A、B 两 点 ， 。 （1） 求这条抛物线的解析式； （2） 如图，以 AB 为直径作圆，与抛物线交于点 D，与抛物线的对称轴交于点 F，依 次连接 A、D、B、E，点 Q 为线段 AB 上一个动点（Q 与 A、B 两点不重合），过点 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ (1, 4)C − x ( 1,0)A − C P Q BA M N C P Q BA M N Q 作 于 ， 于 ，请判断 是否为定值；若是， 请求出此定值，若不是，请说明理由； （3） 在（2）的条件下，若点 H 是线段 EQ 上一点，过点 H 作 ， 分别 与边 、 相交于 、 ，（ 与 、 不重合， 与 、 不重合）， 请判断 是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。 （10 云南楚雄）24、（本小题 13 分）已知：如 图，⊙A 与 轴交于 C、D 两点，圆心 A 的坐标 为（1，0）， ⊙A 的半径为 ，过点 C 作⊙A 的切线交 于 点 B（－4，0）。 （1）求切线 BC 的解析式； （2）若点 P 是第一象限内⊙A 上一点，过点 P 作⊙A 的切线与直线 BC 相交于点 G ，且∠ CGP=120°，求点 G 的坐标； （3）向左移动⊙A（圆心 A 始终保持在 上），与直线 BC 交于 E、F，在移动过程中是否存 在点 A，使得△AEF 是直角三角形？若存在，求出点 A 的坐标，若不存在，请说明理由。 QF AE⊥ F QG DB⊥ G QF QG BE AD + MN EQ⊥ MN AE BE M N M A E N E B QA EM QB EN = y 5 x x 第 26 题图 A B x G F M H E N Q O D C y （10 上海）25．如图 9，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°.半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点 D，与边 AC 相交于点 E，连结 DE 并延长，与线段 BC 的延长线交于点 P. （1）当∠B＝30°时，连结 AP，若△AEP 与△BDP 相似，求 CE 的长； （2）若 CE=2，BD=BC，求∠BPD 的正切值； （3）若 ，设 CE=x，△ABC 的周长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式. 图 9 图 10( 备 用 ) 图 11(备用) （10 辽宁丹东）26．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形 OMNH，点 H 的坐标为（－8， 0），点 N 的坐标为（－6，－4）． （1）画出直角梯形 OMNH 绕点 O 旋转 180°的图形 OABC，并写出顶点 A，B，C 的坐标 （点 M 的对应点为 A， 点 N 的对应点为 B， 点 H 的对应点为 C）； （2）求出过 A，B，C 三点的抛物线的表达式； （3）截取 CE=OF=AG=m，且 E，F，G 分别在线段 CO，OA，AB 上，求四边形 BEFG 的面积 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；面积 S 是否存在最小值?若 存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； （4）在（3）的情况下，四边形 BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出 此时 m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由． 1tan 3BPD∠ = 第 26 题图 26．（1） 利用中心对称性质，画出梯形 OABC． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 ∵A，B，C 三点与 M，N，H 分别关于点 O 中心对称， ∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 （写错一个点的坐标扣 1 分） （2）设过 A，B，C 三点的抛物线关系式为 ， ∵抛物线过点 A（0，4）， ∴ ．则抛物线关系式为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 将 B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 解得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 所求抛物线关系式为： ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 （3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 ∴ OA（AB+OC） AF·AG OE·OF CE·OA （ 0＜ ＜4） ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 ∵ ． ∴当 时，S 的取最小值． 又∵0＜m＜4，∴不存在 m 值，使 S 的取得最小值． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 （4）当 时，GB=GF，当 时，BE=BG． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分 O MN H A CE F D B ↑ →－8 (－6，－4) x y 2y ax bx c= + + 4c = 2 4y ax bx= + + 36 6 4 4 64 8 4 0 a b a b + + =  + + = ， ． 1 4 3 2 a b  = −  = ， ． 21 3 44 2y x x= − + + AGF EOF BECEFGB ABCOS S S S S= − − −△ △ △四边形 梯形 2 1= 1 2 − 1 2 − 1 2 − mmmmm 42 1)8(2 1)4(2 18642 1 ×−−−−−+××= ）（ 2882 +−= mm m 2( 4) 12S m= − + 4m = 2 2 6m = − + 2m = （10 湖南益阳）20.如图 9，在平面直角坐标系中，已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A（－ 2，0），B（6，0），C（0，3）. (1)求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； (2)过Ｃ点作 CD 平行于 轴交抛物线于点 D，写出 D 点的坐标，并求 AD、BC 的交点 E 的 坐标； (3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形 CEDP 的形状，并说明理由. 20．解：⑴ 由于抛物线经过点 ，可设抛物线的解析式为 ， 则 ，　　　　　　　　　 　解得 ∴抛物线的解析式为 　　　……………………………4 分 ⑵ 的坐标为 ……………………………5 分 直线 的解析式为 直线 的解析式为 　由 　求得交点 的坐标为 　　　　　　　 ……………………………8 分 ⑶　连结 交 于 ， 的坐标为 又∵ ， 　　∴ ，且 　　　　∴四边形 是菱形　　　　　　　　　　……………………………12 分 x )3,0(C )0(32 ≠++= abxaxy    =++ =+− 03636 0324 ba ba    = −= 1 4 1 b a 34 1 2 ++−= xxy D )3,4(D AD 12 1 += xy BC 32 1 +−= xy      +−= += 32 1 12 1 xy xy E )2,2( PE CD F P )4,2( E )2,2( )3,4(),3,0( DC ,1== EFPF 2== FDCF PECD ⊥ CEDP P A C D E B o x y 1− 1 1 9图 A D B A D x P O · ·C F E B A D y （10 江苏连云港）28．（本题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，⊙C 的圆心坐标为（－2，－2），半径为 2．函数 y＝－x＋2 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 P 为 AB 上一动点 （1）连接 CO，求证：CO⊥AB； （2）若△POA 是等腰三角形，求点 P 的坐标； （3）当直线 PO 与⊙C 相切时，求∠POA 的度数；当直线 PO 与⊙C 相交时，设交点为 E、 F，点 M 为线段 EF 的中点，令 PO＝t，MO＝s，求 s 与 t 之间的函数关系，并写出 t 的取值范围． （10 江苏宿迁）28．（本题满分 12 分）已知抛物线 交 轴于 、 ，交 轴于点 ，其顶点为 ． 　（1）求 、 的值并写出抛物线的对称轴； （2）连接 ，过点 作直线 交抛物线的对称轴于点 ．求证：四边形 是等腰梯形； （3）问 Q 抛物线上是否存在点 ，使得△OBQ 的面积等于四边形 的面积的 ？若 存在，求出点 的坐标；若不存在， 请说明理由． 28、（1）求出： ， ，抛物线 的对称轴为：x=2 ………………3 分 (2) 抛物线的解析式为 ，易得 C 点坐标为（0，3），D 点坐标为（2， -1） 设抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 F，易得 F 点坐标为（2，0），连接 OD，DB，BE ∵ OBC 是等腰直角三角形， DFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（2，2）， ∴∠BOE= ∠OBD= ∴OE∥BD ∴四边形 ODBE 是梯形 ………………5 分 cbxxy ++= 2 x )0,1(A )0,3(B y C D b c BC O BCOE ⊥ E ODBE Q ODBE 3 1 Q 4−=b 3=c 342 +−= xxy ∆ ∆ 45 （第 28 题） （第 28 题 2） 在 和 中， OD= ，BE= ∴OD= BE ∴四边形 ODBE 是等腰梯形 ………………7 分 (3) 存在， ………………8 分 由题意得： ………………9 分 设点 Q 坐标为（x，y）， 由题意得： = ∴ 当 y=1 时，即 ，∴ ， ， ∴Q 点坐标为（2+ ，1）或(2- ，1) ………………11 分 当 y=-1 时，即 ， ∴x=2， ∴Q 点坐标为（2，-1） 综上所述，抛物线上存在三点 Q （2+ ，1），Q (2- ，1) ，Q （2，-1） 使得 = ． ………………12 分 （10 江苏南京）28.（8 分）如 图 ， 正 方 形 ABCD 的 边长是 2，M 是 AD 的中点，点 E 从点 A 出发，沿 AB 运动到点 B 停止，连接 EM 并延长交射线 CD 于点 F，过 M 作 EF 的垂线交射线 BC 于点 G，连结 EG、FG。 （1）设 AE= 时，△EGF 的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范 围； （2）P 是 MG 的中点，请直接写出点 P 的运动路线的长。 ODFRt∆ EBFRt∆ 512 2222 =+=+ DFOF 512 2222 =+=+ FBEF 2 9332 1 2 1 =××=⋅= DEOBS ODBE四边形 yyOBS OBQ 2 3 2 1 =⋅=三角形 2 3 2 9 3 1 3 1 =×=ODBES四边形 1±=y 1342 =+− xx 221 +=x 222 −=x 2 2 1342 −=+− xx 1 2 2 2 3 OBQS三角形 ODBES四边形3 1 x y y x x E F Q1 Q3 Q2 （10 山东青岛）24．（本小题满分 12 分）已知：把 Rt△ABC 和 Rt△DEF 按如图（1）摆放 （点 C 与点 E 重合），点 B、C（E）、F 在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm． 如图（2），△DEF 从图（1）的位置出发，以 1 cm/s 的速度沿 CB 向△ABC 匀速移动，在 △DEF 移动的同时，点 P 从△ABC 的顶点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速移动.当 △DEF 的顶点 D 移动到 AC 边上时，△DEF 停止移动，点 P 也随之停止移动．DE 与 AC 相交于 点 Q，连接 PQ，设移动时间为 t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上？ （2）连接 PE，设四边形 APEC 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；是否存 在某一时刻 t，使面积 y 最小？若存在，求出 y 的最小值；若不存在，说明理由． （3）是否存在某一时刻 t，使 P、Q、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时 t 的 值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用） 解：（1） （2） （3） 24．（本小题满分 12 分） A D B C F（E） 图（1） A D B C FE 图（2） P Q A B C 图（3）（用圆珠笔或钢笔画图） 解：（1）∵点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上， ∴AP = AQ. ∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°， ∴∠EQC = 45°. ∴∠DEF =∠EQC. ∴CE = CQ. 由题意知：CE = t，BP =2 t， ∴CQ = t. ∴AQ = 8－t. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB = 10 cm . 则 AP = 10－2 t. ∴10－2 t = 8－t. 解得：t = 2. 答：当 t = 2 s 时，点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上. ∙∙∙∙∙∙ 4 分 （2）过 P 作 ，交 BE 于 M， ∴ . 在 Rt△ABC 和 Rt△BPM 中， ， ∴ . ∴PM = . ∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t. ∴y = S△ABC－S△BPE = － = － = = . ∵ ，∴抛物线开口向上. ∴当 t = 3 时，y 最小= . 答：当 t = 3s 时，四边形 APEC 的面积最小，最小面积为 cm2. ∙∙∙∙8 分 （3）假设存在某一时刻 t，使点 P、Q、F 三点在同一条直线上. 过 P 作 ，交 AC 于 N， ∴ . ∵ ，∴△PAN ∽△BAC. ∴ . ∴ . ∴ ， . ∵NQ = AQ－AN， ∴NQ = 8－t－( ) = ． ∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F 在同一条直线上， ∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ. ∵∠FQC = ∠PQN， ∴△QCF∽△QNP . PM BE⊥ 90BMP∠ = ° sin AC PMB AB BP = = 8 2 10 PM t = 8 5t 1 2 BC AC⋅ 1 2 BE PM⋅ 1 6 82 × × ( )1 86 t t2 5 × − × 24 24 245 5t t− + ( )24 8435 5t − + 4 05a = > 84 5 84 5 PN AC⊥ 90ANP ACB PNQ∠ = ∠ = ∠ = ° PAN BAC∠ = ∠ PN AP AN BC AB AC = = 10 2 6 10 8 PN t AN−= = 66 5PN t= − 88 5AN t= − 88 5t− 3 5t 图（2） Q A D B C FE P M CE A D B F 图（3） P QN ∴ . ∴ . ∵ ∴ 解得：t = 1. 答：当 t = 1s，点 P、Q、F 三点在同一条直线上. 12 分 （10 山东威海）25.（12 分） （1）探究新知： ①如图，已知 AD∥BC，AD＝BC，点 M，N 是直线 CD 上任意两点． 求证：△ABM 与△ABN 的面积相等． ②如图，已知 AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点 M 是直线 CD 上任一点，点 G 是直线 EF 上任一点．试判断△ABM 与△ABG 的面积是否相等，并说明理由． （2）结论应用： 如图③，抛物线 的顶点为 C（1，4），交 x 轴于点 A（3，0），交 y 轴于 点 D．试探究在抛物线 上是否存在除点 C 以外的点 E，使得△ADE 与△ACD 的面积相等？ 若存在，请求出此时点 E 的坐标，若不存在，请说明理由． ﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚ cbxaxy ++= 2 cbxaxy ++= 2 PN NQ FC CQ = 6 36 5 5 9 t t t t − =− 0 t< < 4.5 66 35 9 5 t t − =− A B D CM N 图 ① A 备用图 C D B O x y A 图 ③ C D B O x y C 图 ② A B DM F EG 25．（本小题满分 12 分） ﹙1﹚①证明：分别过点 M，N 作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点 E，F． ∵ AD∥BC，AD＝BC， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形． ∴ AB∥CD． ∴ ME= NF． ∵ S△ABM＝ ，S△ABN＝ ， ∴ S△ABM＝ S△ABN． ……………………………………………………………………1 分 ②相等．理由如下：分别过点 D，E 作 DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为 H，K． 则∠DHA=∠EKB=90°． ∵ AD∥BE， ∴ ∠DAH=∠EBK． ∵ AD＝BE， ∴ △DAH≌△EBK． ∴ DH=EK． ……………………………2 分 ∵ CD∥AB∥EF， ∴ S△ABM＝ ，S△ABG＝ ， ∴ S△ABM＝ S△ABG. …………………………………………………………………3 分 ﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4 分 解：因为抛物线的顶点坐标是 C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为 . 又因为抛物线经过点 A(3，0)，将其坐标代入上式，得 ，解得 . ∴ 该抛物线的表达式为 ，即 ． ………………………5 分 ∴ D 点坐标为（0，3）． 设直线 AD 的表达式为 ，代入点 A 的坐标，得 ，解得 . ∴ 直线 AD 的表达式为 ． MEAB⋅ 2 1 NFAB⋅ 2 1 DHAB⋅ 2 1 EKAB⋅ 2 1 4)1( 2 +−= xay ( ) 4130 2 +−= a 1−=a 4)1( 2 +−−= xy 322 ++−= xxy 3+= kxy 330 += k 1−=k 3+−= xy A B D CM N 图 ① E F H C 图 ② A B DM F EG K 过 C 点作 CG⊥x 轴，垂足为 G，交 AD 于点 H．则 H 点的纵坐标为 ． ∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2． …………………………………………………………6 分 设点 E 的横坐标为 m，则点 E 的纵坐标为 ． 过 E 点作 EF⊥x 轴，垂足为 F，交 AD 于点 P，则点 P 的纵坐标为 ，EF∥CG． 由﹙1﹚可知：若 EP＝CH，则△ADE 与△ADC 的面积相等． ①若 E 点在直线 AD 的上方﹙如图③-1﹚， 则 PF= ，EF＝ ． ∴ EP＝EF－PF＝ = ． ∴ ． 解得 ， ． ……………………………7 分 当 时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3． ∴ E 点坐标为（2，3）． 同理 当 m=1 时，E 点坐标为（1，4），与 C 点重合． ………………………………8 分 ②若 E 点在直线 AD 的下方﹙如图③－2,③－3﹚， 则 ． ……………………………………………9 分 ∴ ．解得 ， ． ………………………………10 分 当 时，E 点的纵坐标为 ； 当 时，E 点的纵坐标为 ． ∴ 在抛物线上存在除点 C 以外的点 E，使得△ADE 与△ACD 的面积相等，E 点的坐标为 E1 （2，3）； ； ． ………………12 分 ﹙其他解法可酌情处理﹚ （10 四川巴中）31．如图 12 已知△ABC 中，∠ACB＝90°以 AB 所在直线为 x 轴，过 c 点的 直线为 y 轴建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为（一 1 ， 0）， B 点坐标为（4，0 ） （1）试求点 C 的坐标 （2）若抛物线 过△ABC 的三个顶点，求抛物线的解析式． （3）点 D（ 1，m ）在抛物线上，过点 A 的直线 y=－x－1 交（2）中的抛物线于点 E，那 么在 x 轴上点 B 的左侧是否存在点 P，使以 P、B、D 为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在， 求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。 231 =+− 322 ++− mm m−3 m−3 322 ++− mm )3(322 mmm −−++− mm 32 +− 232 =+− mm 21 =m 12 =m 2=m mmmmmPE 3)32()3( 22 −=++−−−= 232 =− mm 2 173 3 +=m 2 173 4 −=m 2 173+=m 2 17122 1733 +−=−+− 2 173−=m 2 17122 1733 +−=−−− )2 171 2 173(2 +−+ ，E )2 171 2 173(3 +−− ，E 2y ax bx c= + + A 图 ③-1 C D B O x y H P G F P E A 图③－3 C D B O x y H P G F P E A 图③－2 C D B O x y H P GF P E （10 湖南常德）25.如图 9，已知抛物线 轴交于点 A（-4，0）和 B（1， 0）两点，与 y 轴交于 C 点. (1)求此抛物线的解析式； (2)设 E 是线段 AB 上的动点，作 EF∥AC 交 BC 于 F，连接 CE，当 的面积是 面 积的 2 倍时，求 E 点的坐标； (3)若 P 为抛物线上 A、C 两点间的一个动点，过 P 作 y 轴的平行线，交 AC 于 Q，当 P 点运 动到什么位置时，线段 PQ 的值最大，并求此时 P 点的坐标. （10 湖南常德）26.如图 10，若四边形 ABCD、四边形 CFED 都是正方形，显然图中有 AG=CE， AG⊥CE. 4．当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 11 的位置时，AG=CE 是否成立？若成立，请给出证明； 若不成立，请说明理由. 5．当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 12 的位置时，延长 CE 交 AG 于 H，交 AD 于 M. ①求证：AG⊥CH; ②当 AD=4，DG= 时，求 CH 的长。 21 2y x bx c x= + + 与 CEF BEF 2 A BO C 图 9 y x A B C D EF 图 110 G A D 图 11 F E B C G A D B C E F H M 图 12 （10 浙江绍兴）24.如图,设抛物线 C1: ,C2: ,C1 与 C2 的 交点为 A, B,点 A 的坐标是 ,点 B 的横坐标是－2. （1）求 的值及点 B 的坐标； （2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H, 在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的 直线为 ,且 与x轴交于点N. ① 若 过△DHG 的顶点 G,点 D 的坐标为 (1, 2)，求点 N 的横坐标； ② 若 与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围. 24．（本题满分 14 分） 解：（1）∵ 点 A 在抛物线 C1 上，∴ 把点 A 坐标代入 得 =1. ∴ 抛物线 C1 的解析式为 , 设 B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) . （2）①如图 1， ∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且 DH⊥x 轴，∴ 点 M 在 DH 上，MH=5. 过点 G 作 GE⊥DH,垂足为 E, 由△DHG 是正三角形,可得 EG= , EH=1， ∴ ME＝4. 设 N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1, 由△MEG∽△MHN,得 , ∴ , ∴ , ∴ 点 N 的横坐标为 ． ② 当点Ｄ移到与点 A 重合时,如图 2， 直线 与 DG 交于点 G,此时点Ｎ的横坐标最大． 过点Ｇ,Ｍ作 x 轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F, 设Ｎ（x，0）， ∵ A (2, 4), ∴ G ( , 2), ∴ NQ= ，ＮF = , GQ=2, MF =5. ( ) 51 2 −+= xay ( ) 51 2 +−−= xay )4,2( a l l l l )4,2( ( ) 51 2 −+= xay a 422 −+= xxy 3 HN EG MH ME = 1 3 5 4 −= x =x 134 5 + 134 5 + l 322 + 322 −−x 1−x 第 24 题图 第 24 题图 1 第 24 题图 2 ∵ △NGQ∽△NMF， ∴ , ∴ , ∴ . 当点 D 移到与点 B 重合时,如图 3， 直线 与 DG 交于点 D,即点 B, 此时点 N 的横坐标最小. ∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4), 设 N（x，0）， ∵ △BHN∽△MFN， ∴ ， ∴ , ∴ . ∴ 点 N 横坐标的范围为 ≤x≤ . （10 广东中山）22．如图（1），（2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6，BC=4，点 F 在 DC 上， DF=2．动点 M、N 分别从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M 可 运动到 DA 的延长线上），当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停止运动．连接 FM、FN， 当 F、N、M 不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN 三边的中点作△PWQ．设动点 M、N 的速 度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的时间为 x 秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP； （2）设 0≤x≤4（即 M 从 D 到 A 运动的时间段）．试问 x 为何值时，△PWQ 为直角三角形？ 当 x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？ （3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短？求此时 MN 的值． （10 山东济宁）23．（10 分） 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（ ， ）的抛物线交 轴于 点，交 轴于 ， 两点（点 在点 的左侧）. 已知 点坐标为（ ， ）. （1）求此抛物线的解析式； MF GQ NF NQ = 5 2 1 322 =− −− x x 3 8310 +=x l MF BH FN NH = 5 4 1 2 =− + x x 3 2−=x 3 2− 3 8310 + 4 1− y A x B C B C A 0 3 第 24 题图 3 图 4 第 22 题图（2） A B CD F 第 22 题图（1） A B M CFD N W P Q M N WP Q （2）过点 作线段 的垂线交抛物线于点 ， 如果以点 为圆心的圆与直线 相切，请判断抛物线的对称轴 与⊙ 有怎样的位置关系，并给出证明； （3）已知点 是抛物线上的一个动点，且位于 ， 两点之间，问：当点 运动到 什么位置时， 的面积最大？并求出此时 点的坐标和 的最大面积. 23．（1）解：设抛物线为 . ∵抛物线经过点 （0，3），∴ .∴ . ∴抛物线为 . ……………………………3 分 (2) 答： 与⊙ 相交. …………………………………………………………………4 分 证明：当 时， ， . ∴ 为（2，0）， 为（6，0）.∴ . 设⊙ 与 相切于点 ，连接 ，则 . ∵ ，∴ . 又∵ ，∴ .∴ ∽ . ∴ .∴ .∴ .…………………………6 分 ∵抛物线的对称轴 为 ，∴ 点到 的距离为 2. ∴抛物线的对称轴 与⊙ 相交. ……………………………………………7 分 (3) 解：如图，过点 作平行于 轴的直线交 于点 . 可求出 的解析式为 .…………………………………………8 分 设 点 的 坐 标 为 （ ， ）， 则 点 的 坐 标 为 （ ， B AB D C BD l C P A C P PAC∆ P PAC∆ 2( 4) 1y a x= − − A 23 (0 4) 1a= − − 1 4a = 2 21 1( 4) 1 2 34 4y x x x= − − = − + l C 21 ( 4) 1 04 x − − = 1 2x = 2 6x = B C 2 23 2 13AB = + = C BD E CE 90BEC AOB∠ = ° = ∠ 90ABD∠ = ° 90CBE ABO∠ = °− ∠ 90BAO ABO∠ = °− ∠ BAO CBE∠ = ∠ AOB∆ BEC∆ CE BC OB AB = 6 2 2 13 CE −= 8 2 13 CE = > l 4x = C l l C P y AC Q AC 1 32y x= − + P m 21 2 34 m m− + Q m A x y BO C D (第 23 题) ）. ∴ . ∵ , ∴当 时， 的面积最大为 . 此时， 点的坐标为（3， ）. …………………………………………10 分 (10 四 川 南 充 )22. 已 知 抛 物 线 上 有 不 同 的 两 点 E 和 F ． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，抛物线 与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和 B，M 为 AB 的中点，∠PMQ 在 AB 的同侧以 M 为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP 交 y 轴于点 C，MQ 交 x 轴 于点 D．设 AD 的长为 m（m＞0），BC 的长为 n，求 n 和 m 之间的函数关系式． （3）当 m，n 为何值时，∠PMQ 的边过点 F． 　　 11. 解：（1）抛物线 的对称轴为 ．　……..（1 分） ∵　抛物线上不同两个点 E 和 F 的纵坐标相同， ∴　点 E 和点 F 关于抛物线对称轴对称，则　 ，且 k≠－2． ∴　抛物线的解析式为 ．　　　　　　　　　　　　……..（2 分） （2）抛物线 与 x 轴的交点为 A（4，0），与 y 轴的交点为 B（0，4）， ∴　AB＝ ，AM＝BM＝ ．　　　　　　　　　　　　　　　　……..（3 分） 1 32 m− + 2 21 1 1 33 ( 2 3)2 4 4 2PQ m m m m m= − + − − + = − + 2 21 1 3 3 27( ) 6 ( 3)2 4 2 4 4PAC PAQ PCQS S S m m m∆ ∆ ∆= + = × − + × = − − + 3m = PAC∆ 27 4 P 3 4 − 21 42y x bx= − + + 2( 3, 1)k k+ − + 2( 1, 1)k k− − − + 21 42y x bx= − + + B A M C DOP Q x y 21 42y x bx= − + + 12 2 bx b= − = × −   2( 3, 1)k k+ − + 2( 1, 1)k k− − − + ( 3) ( 1) 12 k kb + + − −= = 21 42y x x= − + + 21 42y x x= − + + 4 2 2 2 在∠PMQ 绕点 M 在 AB 同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°， 在△BCM 中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°， 在直线 AB 上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°． ∴　∠BCM＝∠AMD． 故　△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……..（4 分） ∴　 ，即　 ， ． 故 n 和 m 之间的函数关系式为 （m＞0）．　　　　　　　　　　……..（5 分） （3）∵　F 在 上， 　　 ∴　 ， 　　化简得， ，∴　k1＝1，k2＝3．　　　　 　　即 F1（－2，0）或 F2（－4，－8）．　　　　　　　　　　　　　……..（6 分） 　　①MF 过 M（2，2）和 F1（－2，0），设 MF 为 ， 　　则　 　　解得， 　∴　直线 MF 的解析式为 ． 　　直线 MF 与 x 轴交点为（－2，0），与 y 轴交点为（0，1）． 　　若 MP 过点 F（－2，0），则 n＝4－1＝3，m＝ ； 　　若 MQ 过点 F（－2，0），则 m＝4－（－2）＝6，n＝ ．　　　……..（7 分） 　　②MF 过 M（2，2）和 F1（－4，－8），设 MF 为 ， 　　则　 　解得， 　∴　直线 MF 的解析式为 ． 　　直线 MF 与 x 轴交点为（ ，0），与 y 轴交点为（0， ）． 　　若 MP 过点 F（－4，－8），则 n＝4－（ ）＝ ，m＝ ； 　　若 MQ 过点 F（－4，－8），则 m＝4－ ＝ ，n＝ ．　　……..（8 分） BC BM AM AD = 2 2 2 2 n m = 8n m = 8n m = 2( 1, 1)k k− − − + 21 42y x x= − + + 2 21 ( 1) ( 1) 4 12 k k k− − − + − − + = − + 2 4 3 0k k− + = y kx b= + 2 2 2 0. k b k b + = − + = ， 1 2 1. k b  =  = ， 1 12y x= + 8 3 4 3 y kx b= + 2 2 4 8. k b k b + = − + = − ， 5 3 4.3 k b  =  = − ， 5 4 3 3y x= − 4 5 4 3 − 4 3 − 16 3 3 2 4 5 16 5 5 2 　故当 　 　 或 时，∠PMQ 的边过点 F． (10 湖北黄冈)25．（15 分）已知抛物线 顶点为 C（1，1）且过原点 O.过抛物线上一点 P（x，y）向直线 作垂线，垂足为 M，连 FM（如图）. （1）求字母 a，b，c 的值； （2）在直线 x＝1 上有一点 ，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证 明此时△PFM 为正三角形； （3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（1，t），使 PM＝PN 恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由. 25．（1）a＝－1，b＝2，c＝0 （2）过 P 作直线 x=1 的垂线，可求 P 的纵坐标为 ，横坐标为 .此时，MP＝MF ＝PF＝1，故△MPF 为正三角形. （3）不存在.因为当 t＜ ，x＜1 时，PM 与 PN 不可能相等，同理，当 t＞ ，x＞1 时， PM 与 PN 不可能相等. （10 辽宁本溪）26. 如图， 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片， 为原点， 点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上， ． （1）在 边上取一点 ，将纸片沿 翻折，使点 落在 边上的点 处，求点 ， 的坐标； （2）若过点 的抛物线与 轴相交于点 ，求抛物线的解析式和对称轴方程； （3）若（2）中的抛物线与 轴交于点 ，在抛物线上是否存在点 ，使 的内心 在坐标轴上？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由． （4）若（2）中的抛物线与 轴相交于点 ，点 在线段 上移动，作直线 ，当点 移动到什么位置时， 两点到直线 的距离之和最大？请直接写出此时点 的坐 标及直线 的解析式． 1 1 8 ,3 3, m n  =  = 2 2 6, 4 ,3 m n = = 3 3 3 ,2 16 3 m n  =  = 4 4 16 ,5 5 2 m n  =  = 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 5 4y = 3(1, )4F 1 4 11 32 + 5 4 5 4 OABC O A x C y 5 3OA OC= =， AB D OD A BC E D E D E， x ( 5 0)F − ， y H P PFH△ P y H Q OD HQ Q O D， HQ Q HQ BC D O F E y x 3 55− (第 26 题) （10 辽宁鞍山）③如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝ 21。动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P，Q 分别从点 D，C 同时出发， 当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动。设运动的时间为 t（秒）． （1）设△BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式 （2）当 t 为何值时，以 B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ （3）当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 O，且 2AO＝OB 时，求 t 的值． （4）是否存在时刻 t，使得 PQ⊥BD？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由． （10 浙江衢州）24. (本题 12 分)△ABC 中，∠A=∠B=30°，AB= ．把△ABC 放在平面直 角坐标系中，使 AB 的中点位于坐标原点 O(如图)，△ABC 可以绕点 O 作任意角度的旋转． (1)　当点 B 在第一象限，纵坐标是 时，求点 B 的横坐标； (2)　如果抛物线 (a≠0)的对称轴经过点 C，请你探究： ①　当 ， ， 时，A，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明 理由； ②　设 b=-2am，是否存在这样的 m 的值，使 A，B 两点不可能同时在这条抛物线上？ 若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由． 24. (本题 12 分) 解：(1)　 ∵　点 O 是 AB 的中点，　∴　 ． ……1 分 设点 B 的横坐标是 x(x>0)，则 ， ……1 分 2 3 6 2 2y ax bx c= + + 5 4a = 1 2b = − 3 5 5c = − 1 32OB AB= = 2 2 26( ) ( 3)2x + = A A B Q C P D O y x C B A 1 1 -1 -1 第 24 题 B C A x y FO D E 解得　 ， (舍去)． ∴　点 B 的横坐标是 ． ……2 分 (2)　①　当 ， ， 时，得　 　……(＊) ． ……1 分 以下分两种情况讨论． 情况 1：设点 C 在第一象限(如图甲)，则点 C 的横坐标为 ， ． ……1 分 由此，可求得点 C 的坐标为( ， )， ……1 分 点 A 的坐标为( ， )， ∵　A，B 两点关于原点对称， ∴　点 B 的坐标为( ， )． 将点 A 的横坐标代入(＊)式右边，计算得 ，即等 于点 A 的纵坐标； 将点 B 的横坐标代入(＊)式右边，计算得 ，即 等于点 B 的纵坐标． ∴　在这种情况下，A，B 两点都在抛物线上． 　……2 分 情况 2：设点 C 在第四象限(如图乙)，则点 C 的坐标为( ，- )， 点 A 的坐标为( ， )，点 B 的坐标为( ， )． 经计算，A，B 两点都不在这条抛物线上． 　 　……1 分 (情况 2 另解：经判断，如果 A，B 两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而 已知的抛物线开口向上．所以 A，B 两点不可能都在这条抛物线上) ②　存在．m 的值是 1 或-1． 　……2 分 ( ，因为这条抛物线的对称轴经过点 C，所以-1≤m≤1．当 m=±1 时，点 C 在 x 轴上，此时 A，B 两点都在 y 轴上．因此当 m=±1 时，A，B 两点不可能同 时在这条抛物线上) （10 浙江湖州）24．（本小题 12 分）如图，已知直角梯形OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC 在 x 轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点 B 作 BD⊥BC，交 OA 于点 D．将∠DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于 E 和 F． （1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）当 BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF 的长； （3）连结 EF，设△BEF 与△BFC 的面积之差为 S，问：当 CF 为何值时 S 最小，并求出这个 最小值． 1 6 2x = 2 6 2x = − 6 2 5 4a = 1 2b = − 3 5 5c = − 25 1 3 5 4 2 5y x x= − − 25 5 13 5( )4 5 20y x= − − 5 5 3tan30 3 13OC OB= × ° = × = 5 5 2 5 5 2 15 5 − 15 5 2 15 5 15 5 − 15 5 15 5 − 5 5 2 5 5 2 15 5 15 5 2 15 5 − 15 5 − 2 2( )y a x m am c= − − + O y x C B A (甲) 1 1 -1 -1 O y x C B A (乙) 1 1 -1 -1 （10 福建福州）22.（满分 14 分） 如图 1，在平面直角坐标系中，点 B 在直线 上，过点 B 作 轴的垂线，垂足为 A， OA=5。若抛物线 过点 O、A 两点。 （1）求该抛物线的解析式； （2）若 A 点关于直线 的对称点为 C，判断点 C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图 2，在（2）的条件下，⊙O1 是以 BC 为直径的圆。过原点 O 作 O1 的切线 OP，P 为 切点（P 与点 C 不重合），抛物线上是否存在点 Q，使得以 PQ 为直径的圆与 O1 相切？若存在， 求出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由。 （ 10 山 东 莱 芜 ） 24. （本题 满分 12 分）如 图，在 平面直 角坐标 系中， 已知抛 物线 交 轴于 两点，交 轴于点 . （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线的对称轴与直线 交于点 D，作⊙D 与 x 轴相切，⊙D 交 轴于点 E、 F 两点，求劣弧 EF 的长； （3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于 轴，垂足为点 G，试确定 P 点的 位置，使得△PGA 的面积被直线 AC 分为 1︰2 两部分. cbxaxy ++= 2 x )0,6(),0,2( BA y )32,0(C xy 2= y x 2y x= x 21 6y x bx c= + + 2y x= （第 24 题图） x y O A C B D E F 24. （本小题满分 12 分） 解：（1）∵抛物线 经过点 ， ， ． ∴ ， 解得 . ∴抛物线的解析式为： . …………………………3 分 （2）易知抛物线的对称轴是 .把 x=4 代入 y=2x 得 y=8，∴点 D 的坐标为（4,8）． ∵⊙D 与 x 轴相切，∴⊙D 的半径为 8． …………………………4 分 连结 DE、DF，作 DM⊥y 轴，垂足为点 M． 在 Rt△MFD 中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF= ． ∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． …………………………6 分 ∴劣弧 EF 的长为： ． …………………………7 分 （3）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b. ∵直线 AC 经过点 . ∴ ，解得 .∴直线 AC 的解析式为： . ………8 分 设点 ，PG 交直线 AC 于 N， 则点 N 坐标为 .∵ . ∴①若 PN︰GN=1︰2，则 PG︰GN=3︰2，PG= GN. 即 = . 解得：m1=－3， m2=2（舍去）. 当 m=－3 时， = . ∴此时点 P 的坐标为 . …………………………10 分 ②若 PN︰GN=2︰1，则 PG︰GN=3︰1， PG=3GN. 即 = . 解得： ， （舍去）.当 时， = . ∴此时点 P 的坐标为 . cbxaxy ++= 2 )0,2(A )0,6(B )320( ，C      = =++ =++ 32 0636 024 c cba cba          = −= = 32 33 4 6 3 c b a 3233 4 6 3 2 +−= xxy 4=x 2 1 π=×π× 3 168180 120 )32,0(),0,2( CA    = =+ 32 02 b bk    = −= 32 3 b k 323 +−= xy )0)(3233 4 6 3,( 2 <+− mmmmP )323,( +− mm GNPNSS GNAPNA :: =∆∆ 2 3 3233 4 6 3 2 +− mm ）（ 3232 3 +− m 3233 4 6 3 2 +− mm 32 15 )32 15,3(− 3233 4 6 3 2 +− mm ）（ 3233 +− m 121 −=m 22 =m 121 −=m 3233 4 6 3 2 +− mm 342 )342,12(− x y O A C B D E F P G N M 综上所述，当点 P 坐标为 或 时，△PGA 的面积被直线 AC 分成 1︰2 两部分． …………………12 分 )32 15,3(− )342,12(−