专题04因动点产生的特殊四边形问题突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘解析版

专题04因动点产生的特殊四边形问题突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘解析版

‎【类型综述】‎ 特殊四边形的几何动点问题，很多困难源于问题中的可动点，常见的动点四边形有平行四边形、矩形、菱形等问题，其中尤其是平行四边形的问题出现次数最多。实际上，求解特殊四边形的动点问题，关键是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式，确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系，分类画出符合条件的图形进行讨论，就能找到解决问题的途径，有效避免思维混乱。21·cn·jy·com ‎【方法揭秘】‎ 我们先思考三个问题：‎ ‎1．已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？‎ ‎2．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？‎ ‎3．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？‎ 图1 图2 图3www.21-cn-jy.com 如图1，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D．‎ 如图2，已知A(0, 3)，B(－2, 0)，C(3, 1)，如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？2-1-c-n-j-y 点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D(5, 4)．2·1·c·n·j·y 如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等．www-2-1-cnjy-com 关系式xA＋xC＝xB＋xD和yA＋yC＝yB＋yD有时候用起来很方便．‎ 我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合．‎ 如图4，点A是抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的一个动点，AB⊥x轴于点B，线段AB交直线y＝x－1于点C，那么 点A的坐标可以表示为(x,－x2＋2x＋3)，‎ 点C的坐标可以表示为(x, x－1)，‎ 线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为 AB＝yA＝－x2＋2x＋3，‎ 线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标 图4‎ 表示为AC＝yA－yC＝(－x2＋2x＋3)－(x－1)＝－x2＋x＋2． ‎ 通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离．21世纪教育网版权所有 ‎【典例分析】‎ 例1 如图1，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝a(x－2)2＋经过A、B两点，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．‎ ‎（1）求a，的值；‎ ‎（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；‎ ‎（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A、C、M、N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．】‎ 图1 ‎ 思路点拨 ‎1．第（2）题的等腰三角形只考虑QA＝QB的情形．‎ ‎2．第（3）题的正方形不可能AC为边，只存在AC为对角线的情形．‎ 满分解答 图2 图3 图4‎ 考点伸展 如果把第（3）题中的正方形改为平行四边形，那么符合条件的点M有几个？‎ ‎①如果AC为对角线，上面的正方形AMCN是符合条件的，M(2,－1)．‎ ‎②如图5，如果AC为边，那么MN//AC，MN＝AC＝2．所以点M的横坐标为4或0． ‎ 此时点M的坐标为(4, 3)或(0, 3)．‎ 第（2）题如果没有限制等腰三角形ABQ的底边，那么符合条件的点Q有几个？‎ ‎①如图2，当QA＝QB时，Q(2, 2)．‎ ‎②如图6，当BQ＝BA＝时，以B为圆心，BA为半径的圆与直线x＝2有两个交点． ‎ 根据BQ2＝10，列方程22＋(m－3)2＝10，得．‎ 此时Q或．‎ ‎③如图7，当AQ＝AB时，以A为圆心，AB为半径的圆与直线x＝2有两个交点，但是点(2,－3)与A、B三点共线，所以Q(2, 3)．21cnjy.com 图5 图6 图7‎ 例2如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？‎ ‎（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．‎ 图1‎ 思路点拨 ‎1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD．‎ ‎2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．‎ ‎3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．‎ 满分解答 考点伸展 第（3）题的解题思路是这样的：‎ 因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．‎ 再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．‎ ‎，，，．‎ 如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此．‎ 整理，得．解得，（舍去）．‎ 如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此．‎ 整理，得．．所以，（舍去）．‎ 图2 图3‎ 例3 如图1，抛物线经过A(1, 0)、B(5, 0)、C三点．设点E(x, y)是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点E(x, y)运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值；21教育名师原创作品 ‎（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请说明理由． ‎ 思路点拨 ‎1．平行四边形OEBF的面积等于△OEB面积的2倍．‎ ‎2．第（3）题探究正方形OEBF，先确定点E在OB的垂直平分线上，再验证EO＝EB．‎ 满分解答 ‎（1）因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(5, 0)两点，设y＝a(x－1)(x－5)．‎ 代入点C，得．解得．‎ 所以抛物线的解析式为．‎ 图2 图3‎ 考点伸展 既然第（3）题正方形OEBF是存在的，命题人为什么不让探究矩形OEBF有几个呢？‎ 如图4，如果平行四边形OEBF为矩形，那么∠OEB＝90°．‎ 根据EH2＝HO·HB，列方程．‎ 或者由DE＝OB＝，根据DE2＝，列方程．‎ 这两个方程整理以后都是一元三次方程4x3－28x2＋53x－20＝0，这个方程对于初中毕业的水平是不好解的．【来源：21cnj*y.co*m】‎ 事实上，这个方程可以因式分解，．‎ 如图3，x＝；如图4，x＝4；如图5，x＝，但此时点E在x轴上方了．‎ 这个方程我们也可以用待定系数法解：‎ 设方程的三个根是、m、n，那么4x3－28x2＋53x－20＝．‎ 根据恒等式对应项的系数相等，得方程组解得 图4 图5‎ 例4如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝x＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中、b用含a的式子表示）；‎ ‎（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；‎ ‎（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．21教育【出处：21教育名师】‎ 图1 备用图 思路点拨 ‎1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形．‎ ‎2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．‎ 满分解答 ‎（3）已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：‎ ‎①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD．‎ 由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．‎ 当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4, 21a)．‎ 由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．所以P(1, 26a)．‎ 由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．‎ 整理，得7a2＝1．所以．此时P．‎ ‎②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．‎ 由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．‎ 由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．所以P(1, 8a)．‎ 由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．‎ 整理，得4a2＝1．所以．此时P．‎ 图1 图2 图321教育网 考点伸展 第（3）题也可以这样解．设P(1,n)．‎ ‎①如图2，当AD时矩形的边时，∠QPD＝90°，所以，即．‎ 解得．所以P．所以Q．‎ 将Q代入y＝a(x＋1)(x－3)，得．所以．‎ ‎②如图3，当AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,－3a)．‎ 由∠AQD＝90°，得，即．解得．‎ 例5 如图1，已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3,0)和B(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．‎ ‎（1）求抛物线C的表达式；‎ ‎（2）求点M的坐标；‎ ‎（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？21世纪教育版权所有 图1‎ 思路点拨 ‎1．抛物线在平移的过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．【来源：21·世纪·教育·网】‎ ‎2．平行四边形的面积为16，底边MN＝4，那么高NN′＝4．‎ ‎3．M′N′＝4分两种情况：点M′在点N′的上方和下方． ‎ ‎4．NN′＝4分两种情况：点N′在点N的右侧和左侧．‎ 满分解答 图2 图3‎ 考点伸展 本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D，那么△MM′D的面积S关于m有怎样的函数关系？2-1-c-n-j-y 如图4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m, 4)，可得点D的横坐标为．‎ 将代入y＝－(x＋1)2＋4，得．所以DH＝．‎ 所以S＝．‎ 图4‎ 例6如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点． ‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求tan∠ABO的值；‎ ‎（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．【出处：21教育名师】‎ 图1 ‎ 思路点拨 ‎1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形．‎ ‎2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．‎ 满分解答 ‎（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 ‎ 解得，c＝1．‎ 所以抛物线的解析式是．‎ ‎（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．‎ 如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．‎ 在Rt△AOH中，OA＝1，，‎ 所以． 图2‎ 所以，． ‎ 在Rt△ABH中，．‎ 图3 图4‎ 考点伸展 第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．【版权所有：21教育】‎ 那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．‎ 由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得（如图5）．‎ 所以符合题意的点M有4个：，，，．‎ 图5‎ 例7将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．‎ ‎（1）请直接写出抛物线c2的表达式；‎ ‎（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．‎ ‎①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；‎ ‎②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．www.21-cn-jy.com 图1‎ 思路点拨 ‎1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．‎ ‎2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．‎ ‎3．根据矩形的对角线相等列方程．‎ 满分解答 ‎①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：‎ 情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．‎ 情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．‎ 图2 图3 图4‎ 考点伸展 第（2）题②，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：‎ 在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB边上的高为，所以△ABM是等边三角形．‎ 同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．‎ 因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.（2017四川省达州市）‎ 探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：，．21*cnjy*com ‎（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；‎ 运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为 ；‎ ‎②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐 标： ；‎ 拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）①；②（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；（3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）用P1、P2的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，∴Q1Q=，∴‎ OQ=OQ1+Q1Q=x1+= ，∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线，∴PQ= =，即 线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式为x=，y=；‎ ‎（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5），∴MN==，故答案为：；‎ ‎②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1），设D（x，y），则x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，∴此时D点坐标为（﹣3，3），当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1），当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（﹣1，﹣3），综上可知 D点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），故答案为：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；‎ ‎（3）如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，又对称性可知EP=EM，FP=FN，∴‎ PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小，设R（x，），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n，∴=2，解得x=﹣（舍去）或x=，∴R（，），∴‎ ‎，解得n=1，∴P（2，1），∴N（2，﹣1），设M（x，y），则=， =，‎ 解得x=，y=，∴M（，），∴MN= =，即△PEF的周长的最小值为．‎ 考点：1．一次函数综合题；2．阅读型；3．分类讨论；4．最值问题 ‎2.（2017湖北省襄阳市）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．‎ ‎（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？‎ ‎（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．‎ ‎【答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）t的值为或．‎ 试题解析：‎ ‎（1）在中，令x=0可得y=4，∴C（0，4），∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，∴抛物线解析式为；‎ 考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．压轴题．‎ ‎3.（2017山东省枣庄市）如图，抛物线 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；‎ ‎（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；‎ ‎（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．21cnjy.com ‎【答案】（1），D（2，8）；（2）（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）（2，‎ ‎）或（2，）．‎ 试题解析：‎ ‎（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，∴抛物线解析式为 ，∵=，∴D（2，8）；‎ ‎（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，），则FG=||，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴，当点F在x轴上方时，有，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；‎ 当点F在x轴下方时，有，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，﹣）；‎ 综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；‎ 考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．压轴题．‎ ‎4. (2017湖北恩施第24题)如图12，已知抛物线过点，，过定点的直线与抛物线交于，两点，点在点的右侧，过点作轴的垂线，垂足为.‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)当点在抛物线上运动时，判断线段与的数量关系(、、)，并证明你的判断；‎ ‎(3)为轴上一点，以为顶点的四边形是菱形，设点，求自然数的值；‎ ‎(4)若，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，求出点的坐标及的最大面积，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）y=x2+1；（2）BF=BC，理由详见解析；（3）6；（4）当t=2时，S△QBF 有最大值，最大值为+1，此时Q点坐标为（2，2）．‎ 试题解析：‎ ‎（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，‎ 所以抛物线解析式为y=x2+1；‎ ‎（2）BF=BC．‎ 理由如下：‎ 设B（x，x2+1），而F（0，2），‎ ‎∴BF2=x2+（x2+1﹣2）2=x2+（x2﹣1）2=（x2+1）2，∴BF=x2+1，‎ ‎∵BC⊥x轴，∴BC=x2+1，∴BF=BC；‎ ‎（3）如图1，m为自然数，则点P在F点上方，‎ ‎∵以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，∴CB=CF=PF，‎ 而CB=FB，∴BC=CF=BF，∴△BCF为等边三角形，∴∠BCF=60°，∴∠OCF=30°，‎ 在Rt△OCF中，CF=2OF=4，∴PF=CF=4，∴P（0，6），‎ 即自然数m的值为6；‎ 考点：二次函数综合题.‎ ‎5.（2017山东临沂第26题）如图，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，与轴交于点，且.21·世纪*教育21*cnjy*com ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点在轴上，且，求点的坐标；‎ ‎（3）点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在。求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.21*cnjy*com ‎【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）D1（0，1），D2（0，﹣1）；（3）存在，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）‎ 试题解析：（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），‎ ‎∴OC=3，‎ ‎∵OC=3OB，‎ ‎∴OB=1，‎ ‎∴B（﹣1，0），‎ 把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，‎ ‎∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），‎ ‎∴AF∥x轴，‎ ‎∴F（﹣1，﹣3），‎ ‎∴BF=3，AF=3，‎ ‎∴∠BAC=45°，‎ 设D（0，m），则OD=|m|，‎ ‎∵∠BDO=∠BAC，‎ ‎∴∠BDO=45°，‎ ‎∴OD=OB=1，‎ ‎∴|m|=1，‎ ‎∴m=±1，‎ ‎∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；‎ ‎②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，‎ 则N在x轴上，M与C重合，‎ ‎∴M（0，﹣3），‎ 综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）．【：21cnj*y.co*m】‎ 考点：1、二次函数的综合，2、待定系数法求二次函数的解析式，3、全等三角形的判定和性质，4、平行四边形的判定和性质 ‎6.（2017湖北省襄阳市）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．‎ ‎（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？‎ ‎（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．‎ ‎【答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）t的值为或．‎ ‎（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）在中，令x=0可得y=4，∴C（0，4），∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，∴抛物线解析式为；‎ ‎（2）由题意可设P（t，4），则E（t，），∴PB=10﹣t，PE=﹣4=，∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，∴△PBE∽△OCD，∴，即BP•OD=CO•PE，∴2（10﹣t）=4（），解得t=3或t=10（不合题意，舍去），∴当t=3时，∠PBE=∠OCD；‎ 考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．压轴题．‎ ‎7.（2017郴州第25题） 如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点，点是抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点.‎ ‎（1）试求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）如图（1），若点在第三象限，四边形是平行四边形，求点的坐标；‎ ‎（3）如图（2），过点作轴，垂足为，连接，‎ ‎ ①求证：是直角三角形；‎ ‎②试问当点横坐标为何值时，使得以点为顶点的三角形与相似？‎ ‎【答案】（1）y=x2+x﹣4；（2）点P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4）；（3）①详见解析；②，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似．www-2-1-cnjy-com 试题解析：‎ ‎（1）由题意得： ，解得： ，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=x2+x﹣4．‎ ‎（2）设P（m，m2+m﹣4），则F（m，﹣m﹣4）．‎ ‎∴PF=（﹣m﹣4）﹣（m2+m﹣4）=﹣m2﹣m．‎ ‎∵PE⊥x轴，‎ ‎∴PF∥OC．‎ ‎∴PF=OC时，四边形PCOF是平行四边形．‎ ‎∴﹣m2﹣m=4，解得：m=﹣或m=﹣8．‎ 当m=﹣时，m2+m﹣4=﹣ ，‎ 当m=﹣8时，m2+m﹣4=﹣4．‎ ‎∴点P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4）．‎ ‎②由①得∠ACD=90°．‎ 当△ACD∽△CHP时，，即 或，‎ 解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5．‎ 当△ACD∽△PHC时，，即或．‎ 解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．‎ 综上所述，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似．【：21·世纪·教育·】‎ 考点：二次函数综合题.‎ ‎8.（2017青海西宁第28题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，且.若抛物线经过两点，且顶点在边上，对称轴交于点，点 的坐标分别为.21*cnjy*com21教育名师原创作品 ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）猜想的形状并加以证明；‎ ‎（3）点在对称轴右侧的抛物线上，点在轴上，请问是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）y=﹣x2+3x；（2）△EDB为等腰直角三角形，证明见解析；（3）存在．点M坐标为（，2）或（，﹣2）．‎ 试题解析： （1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，∴A（4，0），C（0，3），‎ ‎∵抛物线经过O、A两点，∴抛物线顶点坐标为（2，3），‎ ‎∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，‎ 把A点坐标代入可得0=a（4﹣2）2+3，解得a=﹣，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3，即y=﹣x2+3x；‎ ‎①当AF为平行四边形的一边时，则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2，‎ ‎∴点M的纵坐标为2或﹣2，‎ 在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=，‎ ‎∵点M在抛物线对称轴右侧，‎ ‎∴x＞2，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴M点坐标为（，2）；‎ 在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=，‎ ‎∵点M在抛物线对称轴右侧，‎ ‎∴x＞2，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴M点坐标为（，﹣2）；‎ 考点：二次函数综合题．‎ ‎9.（2017湖北咸宁第24题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点，交轴于点，已知.2·1·c·n·j·y21·cn·jy·com ⑴求抛物线的解析式及点的坐标；‎ ⑵连接为抛物线上一动点，当时，求点的坐标；‎ ⑶平行于轴的直线交抛物线于两点，以线段为对角线作菱形，当点在轴上，且时，求菱形对角线的长.‎ ‎【答案】（1）y=x2﹣2x﹣6，D（2，﹣8）；（2）F点的坐标为（7，）或（5，﹣）；（3）菱形对角线MN的长为+1或﹣1．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵OB=OC=6，‎ ‎∴B（6，0），C（0，﹣6），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣6，‎ ‎∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，‎ ‎∴点D的坐标为（2，﹣8）；‎ ‎（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，‎ 设F（x，x2﹣2x﹣6），则FG=|x2﹣2x﹣6|，‎ 在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，‎ ‎∴A（﹣2，0），‎ ‎∴OA=2，则AG=x+2，‎ ‎∵B（6，0），D（2，﹣8），‎ ‎∴BE=6﹣2=4，DE=8，‎ ‎（3）∵点P在x轴上，‎ ‎∴由菱形的对称性可知P（2，0），‎ 如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，‎ ‎∵PQ=MN，‎ ‎∴MT=2PT，‎ 考点：二次函数综合题．‎ ‎10. (2017山东菏泽第24题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴正半轴于点，与过点的直线相交于另一点，过点作轴，垂足为.‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）点在线段上（不与点、重合），过作轴，交直线于，交抛物线于点，连接，求面积的最大值；21·世纪*教育网 ‎（3）若是轴正半轴上的一动点，设的长为，是否存在，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【版权所有：21教育】‎ ‎【答案】(1) ；（2）当m= 时， ；（3）当时，以点为顶点的四边形是平行四边形.‎ 试题解析：‎ ‎（1）把点，代入抛物线可得， ‎ ‎ ‎ 解得，‎ ‎∴ ；‎ ‎（2）∵,‎ ‎∴A(0,1).‎ 设直线AD的表达式为y=x+b，‎ 把A(0,1)，代入得，，‎ 解得，，‎ ‎∴ ‎ ‎（3）存在.‎ ‎①点P在点C的左边，‎ ‎∵OP的长为t，设（03），则,，‎ ‎∴MN= ，‎ ‎ ‎