上海市徐汇区中考数学一模试卷

上海市徐汇区中考数学一模试卷

‎2017年上海市徐汇区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】‎ ‎1．（4分）如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（　　）‎ A．= B．=3 C．= D．=‎ ‎2．（4分）如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（4分）如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（　　）‎ A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+2‎ ‎4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（　　）‎ A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC ‎5．（4分）一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（　　）‎ A．6000米 B．1000米 C．2000米 D．3000米 ‎6．（4分）已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（　　）‎ A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．（4分）已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b=　 　．‎ ‎8．（4分）点C是线段AB延长线的点，已知=，=，那么=　 　．‎ ‎9．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD=　 　．‎ ‎10．（4分）如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是　 　．‎ ‎11．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：　 　．‎ ‎12．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是　 　．‎ ‎13．（4分）正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF=　 　．‎ ‎14．（4分）已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a=　 　．‎ ‎15．（4分）如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是　 　．‎ ‎16．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是　 　．‎ ‎17．（4分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是　 　．‎ ‎18．（4分）如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）‎ ‎19．（10分）计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．‎ ‎20．（10分）将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．‎ ‎21．（10分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=，=．求：‎ ‎（1）向量（用向量、表示）；‎ ‎（2）tanB的值．‎ ‎22．（10分）如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．‎ ‎（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；‎ ‎（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：=1.41，=1.73）‎ ‎23．（12分）如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．‎ ‎（1）求证：DE∥AB；‎ ‎（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．‎ ‎24．（12分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）连接CD、BC，求∠DBC余切值；‎ ‎（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．‎ ‎25．（14分）如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥‎ BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式及定义域；‎ ‎（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；‎ ‎（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．‎ ‎　‎ ‎2017年上海市徐汇区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】‎ ‎1．（4分）（2017•徐汇区一模）如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（　　）‎ A．= B．=3 C．= D．=‎ ‎【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．‎ ‎【解答】解：∵2x=3y，‎ ‎∴=，‎ ‎∴选项A不正确；‎ ‎ ‎ ‎∵2x=3y，‎ ‎∴=，‎ ‎∴==3，‎ ‎∴选项B正确；‎ ‎ ‎ ‎∵2x=3y，‎ ‎∴=，‎ ‎∴==，‎ ‎∴选项C不正确；‎ ‎ ‎ ‎∵2x=3y，‎ ‎∴=，‎ ‎∴==，‎ ‎∴∴选项D不正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2017•徐汇区一模）如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ 由题意，得：tanα=i==，‎ 设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，‎ 则斜边==13x，‎ 则cosα==．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2017•徐汇区一模）如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（　　）‎ A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+2‎ ‎【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．‎ ‎【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，‎ 抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2（x+1）2﹣2，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2017•徐汇区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（　　）‎ A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC ‎【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可．‎ ‎【解答】解：如图，‎ A、∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；‎ B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，‎ ‎∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；‎ C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A，‎ ‎∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；‎ D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2017•徐汇区一模）一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（　　）‎ A．6000米 B．1000米 C．2000米 D．3000米 ‎【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ 由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米，‎ 在Rt△ABC中，∵sin∠A=，‎ ‎∴AC===2000米．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2017•徐汇区一模）已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（　　）‎ A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2‎ ‎【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，‎ ‎∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，‎ ‎∴当x≥1时，y随x的增大而减小，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．（4分）（2017•徐汇区一模）已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b=　6　．‎ ‎【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解．‎ ‎【解答】解：若b是a、c的比例中项，‎ 即b2=ac．则b===6．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2017•徐汇区一模）点C是线段AB延长线的点，已知=，=，那么=　﹣　．‎ ‎【分析】根据向量、的方向相反进行解答．‎ ‎【解答】解：如图，向量、的方向相反，且=，=，‎ 所以=+=﹣．‎ 故答案是：﹣．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2017•徐汇区一模）如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD=　　．‎ ‎【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，‎ ‎∴CE=3.5，‎ AB∥CD∥EF，‎ ‎∴，‎ ‎∴BD=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2017•徐汇区一模）如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是　：2　．‎ ‎【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是：2，‎ ‎∴它们的周长比为：2．‎ 故答案为：：2．‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2017•徐汇区一模）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：　AP2=BP•AB　．‎ ‎【分析】根据黄金分割的概念解答即可．‎ ‎【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，‎ ‎∴AP2=BP•AB，‎ 故答案为：AP2=BP•AB．‎ ‎【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2017•徐汇区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是　　．‎ ‎【分析】求出∠A=∠BCD，根据锐角三角函数的定义求出sin∠BCD即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴∠CDB=90°，‎ 由勾股定理得：BC=5，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，‎ ‎∴∠A=∠BCD，‎ ‎∴sinA=sin∠BCD==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2017•徐汇区一模）正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF=　　．‎ ‎【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD，根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF，从而得出△ABF∽△‎ DEF，再根据相似三角形的性质即可得出==3，结合AF+DF=AD=3即可求出AF的长度，此题得解．‎ ‎【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴∠A=∠ADC=90°，AB∥CD，‎ ‎∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A，∠ABF=∠DEF，‎ ‎∴△ABF∽△DEF，‎ ‎∴==3，‎ ‎∵AF+DF=AD=3，‎ ‎∴AF=AD=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出△ABF∽△DEF是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2017•徐汇区一模）已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a=　　．‎ ‎【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C的纵坐标是﹣2，即可列方程求得a的值．‎ ‎【解答】解：y=ax2﹣4ax=a（x2﹣4x+4）﹣4a=a（x﹣2）2﹣4a，‎ 则顶点坐标是（2，﹣4a），‎ 则﹣4a=﹣2，‎ 解得a=．‎ 故答案是：．‎ ‎【点评】本题考查了配方法确定函数的顶点坐标，正确进行配方是关键．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2017•徐汇区一模）如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是　　．‎ ‎【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利用勾股定理可以求AB的长．‎ ‎【解答】解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，则CF=1，AE=2，‎ ‎∴∠AEB=∠BFC=90°，‎ ‎∴∠ABE+∠BAE=90°，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∴∠ABE+∠CBE=90°，‎ ‎∴∠BAE=∠CBE，‎ ‎∴△ABE∽△BCF，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴BE=，‎ 在Rt△ABE中，AB==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、两平行线的距离以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2017•徐汇区一模）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是　16　．‎ ‎【分析】如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．由AD∥BC，推出△AOD∽△COB，可得=（）2，因为=，得到=（）2，解方程即可．‎ ‎【解答】解：如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴△AOD∽△COB，‎ ‎∴=（）2，‎ ‎∵=，‎ ‎∴=（）2，‎ 解得x=1或16（舍弃），‎ ‎∵S△ABD=S△ADC=1，‎ ‎∴S△AOB=S△DOC=3，‎ ‎∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16，‎ 故答案为16．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）（2017•徐汇区一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是　2　．‎ ‎【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A的对应点E在直线CB上，BE=2，利用勾股定理可求AE的长．‎ ‎【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，‎ ‎∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上，‎ ‎∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，‎ ‎∴AB=4，‎ 由旋转得：EC=AC=5，‎ ‎∴BE=5﹣3=2，‎ 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE===2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形中确定直角三角形，如果知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边．‎ ‎　‎ ‎18．（4分）（2017•徐汇区一模）如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为　　．‎ ‎【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据•AP•BE=•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，‎ ‎∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD，‎ 在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，‎ ‎∴CH=a，DH=a，‎ 在Rt△DFH中，DF===2a，‎ 在Rt△ECG中，∵CE=a，‎ ‎∴CG=a，GE=a，‎ 在Rt△BEG中，BE===a，‎ ‎∴•AP•BE=•DF•AQ，‎ ‎∴==，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）‎ ‎19．（10分）（2017•徐汇区一模）计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．‎ ‎【分析】首先根据特殊角的三角函数进行代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可．‎ ‎【解答】解：原式=2×﹣|1|+，‎ ‎=+1+，‎ ‎=﹣2﹣3．‎ ‎【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2017•徐汇区一模）将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．‎ ‎【分析】（1）首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；‎ ‎（2）过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．‎ y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，‎ 则D的坐标是（2，﹣9）．‎ 在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，则y=﹣5，‎ 则C的坐标是（0，﹣5），‎ 令y=0，则x2﹣4x﹣5=0，‎ 解得x=﹣1或5，‎ 则B的坐标是（5，0）；‎ ‎（2）过D作DA⊥y轴于点A．‎ 则S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．‎ ‎【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y轴的交点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2017•徐汇区一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=，=．求：‎ ‎（1）向量（用向量、表示）；‎ ‎（2）tanB的值．‎ ‎【分析】（1）首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出==，==，=+．‎ ‎（2）由△DFC∽△BAC，推出==，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC===2，由tanB=，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAC=∠ACB，‎ ‎∴AC平分∠DCB，‎ ‎∴∠DCA=∠ACB，‎ ‎∴∠DAC=∠DCA，‎ ‎∴AD=DC，‎ ‎∵DE∥AB，AB⊥AC，‎ ‎∴DE⊥AC，‎ ‎∴AF=CF，‎ ‎∴BE=CE，‎ ‎∵AD∥BC，DE∥AB，‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形，‎ ‎∴DE=AB，‎ ‎∴==，==，‎ ‎∴=+．‎ ‎（2）∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，‎ ‎∴△DFC∽△BAC，‎ ‎∴==，‎ ‎∵CD=AD=3，∴BC=6，‎ 在Rt△BAC中，∠BAC=90°，‎ ‎∴AC===2，‎ ‎∴tanB===．‎ ‎【点评】本题考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2017•永安市一模）如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．‎ ‎（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；‎ ‎（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：=1.41，=1.73）‎ ‎【分析】（1）首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可；‎ ‎（2）通过解直角△BCD来求BC的长度．‎ ‎【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，‎ 由题意，得∠ACD=30°．‎ 在直角△ACD中，∠ADC=90°，‎ ‎∴cos∠ACD=，‎ ‎∴CD=AC•cos30°=120×=60（海里）；‎ ‎（2）在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，‎ ‎∴cos∠BCD=，‎ ‎∴BC===60≈60×2.44=146.4（海里），‎ ‎∴146.4÷20=7.32≈7.3（小时）．‎ 答：（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60海里；‎ ‎（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时．‎ ‎【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2017•徐汇区一模）如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．‎ ‎（1）求证：DE∥AB；‎ ‎（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．‎ ‎【分析】（1）根据已知条件得到，根据等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论；‎ ‎（2）由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2‎ ‎=DF•AB，等量代换得到AD2=DF•AB，推出=，根据相似三角形的性质得到==1，于是得到结论．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AE•CD=AD•CE，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠DAB=∠B，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∴，‎ ‎∴DE∥AB；‎ ‎（2）∵BD是DF和AB的比例中项，‎ ‎∴BD2=DF•AB，‎ ‎∵AD=BD，‎ ‎∴AD2=DF•AB，‎ ‎∴=，‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴∠ADF=∠BAD，‎ ‎∴△ADF∽△DBA，‎ ‎∴==1，‎ ‎∴DF=AF．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2017•徐汇区一模）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）连接CD、BC，求∠DBC余切值；‎ ‎（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△‎ ABC相似，求点M的坐标．‎ ‎【分析】（1）根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；‎ ‎（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；‎ ‎（3）运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为（x，3x+3），根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵已知抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，‎ ‎∴点C的坐标为：（0，3），‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴点B的坐标为：（3，0），‎ ‎∴﹣9+3b+3=0，‎ 解得，b=2，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，‎ y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，‎ ‎∴顶点D的坐标为（1，4）；‎ ‎（2）如图1，作DH⊥y轴于H，‎ 则CH=DH=1，‎ ‎∴∠HCD=∠HDC=45°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠OCB=∠OBC=45°，‎ ‎∴∠DCB=90°，‎ ‎∴cot∠DBC===3；‎ ‎（3）﹣x2+2x+3=0，‎ 解得，x1=﹣1，x2=3，‎ ‎∴点A的坐标为：（﹣1，0），‎ ‎∴=，又=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴Rt△AOC∽Rt△DCB，‎ ‎∴∠ACO=∠DBC，‎ ‎∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，‎ ‎∴∠E=45°，‎ ‎∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，‎ ‎∴∠ACB=∠BME，‎ ‎∴BM=BC，‎ 设直线CA的解析式为：y=kx+b，‎ 则，‎ 解得，，‎ 则直线CA的解析式为：y=3x+3，‎ 设点M的坐标为（x，3x+3），‎ 则（x﹣3）2+（3x+3）2=18，‎ 解得，x1=0（舍去），x2=﹣，‎ x2=﹣时，y=﹣，‎ ‎∴点M的坐标为（﹣，﹣）．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）（2017•徐汇区一模）如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式及定义域；‎ ‎（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；‎ ‎（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．‎ ‎【分析】（1）过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，进而根据DF∥AC，求得y=，定义域为：0＜x＜3；‎ ‎（2）当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①‎ 当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可；‎ ‎（3）先根据已知条件判定四边形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出=，即2DQ2=x2，再根据DE∥BC，得出=，即=，求得x的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，过点D作DF∥AC，交BP于F，则 根据QE=2DQ，可得 ‎==，‎ 又∵DE∥BC，‎ ‎∴==1，‎ ‎∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，‎ ‎∵DF∥AC，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴y=，定义域为：0＜x＜3；‎ ‎（2）∵DE∥BC，‎ ‎∴△PEQ∽△PBC，‎ ‎∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，‎ ‎①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，‎ ‎∴BC2=CP•AC，即4=3（3﹣y），‎ 解得y=，‎ ‎∴=，‎ 解得x==BD；‎ ‎②当PC=BC=2时，AP=y=1，‎ ‎∴=1，‎ 解得x==BD；‎ ‎③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；‎ ‎（3）∵DE∥BC，‎ ‎∴∠BDQ+∠CBD=180°，‎ 又∵∠CQB和∠CBD互补，‎ ‎∴∠CQB+∠CBD=180°，‎ ‎∴∠CQB=∠BDQ，‎ ‎∵BD=CE，‎ ‎∴四边形BCED是等腰梯形，‎ ‎∴∠BDE=∠CED，‎ ‎∴∠CQB=∠CED，‎ 又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，‎ ‎∴∠DQB=∠ECQ，‎ ‎∴△BDQ∽△QEC，‎ ‎∴=，即2DQ2=x2，‎ ‎∴DQ=，DE=，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得x=．‎ ‎【点评】‎ 本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行求解．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：放飞梦想；wd1899；nhx600；ZJX；zhjh；Ldt；HJJ；王学峰；CJX；知足长乐；zjx111；曹先生；tcm123；弯弯的小河；gbl210；szl（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2017年6月23日