全国卷高考全真模拟试题含答案
全国卷高考全真模拟试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，考试时间120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<2}，B＝{x|lg(x－1)>0}，则A∩(∁UB)＝( )
A．{x|1
2}，∴∁UB＝{x|x≤2}，∴A∩(∁UB)＝{x|x<2}，故选C.
2．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 由题意得，2zi－[－i(1＋i)]＝0，则z＝＝－－，∴＝－＋，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.
3．下列说法中，不正确的是( )
A．已知a，b，m∈R，命题：“若am20”的否定是：“∀x∈R，x2－x≤0”
C．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题
D．“x>3”是“x>2”的充分不必要条件
答案 C
解析 本题考查命题真假的判断．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q中至少有一个为真命题，C错误，故选C.
4．函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( )
答案 B
解析 易判断函数为奇函数，由y＝0得x＝±1或x＝0.且当01时，y>0，故选B.
5．sin2α＝，0<α<，则cos的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 D
解析 cos＝＝sinα＋cosα，又∵(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，0<α<，∴sinα＋cosα＝，故选D.
6. 执行如图所示的程序框图，若输入t的值为5，则输出的s的值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 依题意，当输入t的值是5时，执行题中的程序框图，s＝1，k＝2<5，s＝1＋，k＝3<5，s＝1＋－，k＝4<5，s＝1＋－＋，k＝5≥5，此时结束循环，输出的s＝1＋－＋＝，选D.
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A．2π－ B．2π－
C. D．2π－2
答案 A
解析 本题考查几何体的三视图和体积．由三视图得该几何体为底面半径为1，高为2的圆柱体挖去一个底面边长为的正方形，高为1的正四棱锥后剩余的部分，则其体积为2×π×12－×()2×1＝2π－，故选A.
8．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最小值为( )
A．0 B．－1
C．－ D．－
答案 D
解析 f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin＝sin的图象，又g(x)的图象关于y轴对称，
∴g(0)＝sin＝±1，
∴－＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋kπ(k∈Z)，又|φ|<，
∴φ＝－，∴f(x)＝sin，又x∈，
∴2x－∈，∴f(x)min＝－.
9．设不等式组，所表示的区域为M，函数y＝的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 本题考查不等式组表示的平面区域、几何概型．在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(，0)，(－，0)，(0，)为顶点的三角形区域，函数y＝的图象与x轴围成的区域如图中的阴影部分所示，则所求概率为＝，故选B.
10．如图，在正六边形ABCDEF中，点P是△CDE内(包括边界)的一个动点，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A.
B．[3,4]
C.
D.
答案 B
解析 本题考查平面向量的运算、线性规划的应用．以A为原点，分别以AB，AE
所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C，D(1，)，E(0，)，F，设点P(x，y)，则＝(x，y)，＝，＝(1,0)，则由＝λ＋μ得解得则λ＋μ＝x＋y，又因为点P在△CDE内，所以当点P与点D重合时，λ＋μ取得最大值1＋×＝4，当点P在线段CE上时，λ＋μ取得最小值3，所以λ＋μ的取值范围为[3,4]，故选B.
11．在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，α∈，则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因为OP在y轴上，在平行四边形OPMN中，MN∥OP，因此M，N的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M，N关于x轴对称，|MN|＝|OP|＝a，可设M(x，－y0)，N(x，y0)．由kON＝kPM得y0＝.把点N的坐标代入椭圆方程得|x|＝b，点N.因为α是直线ON的倾斜角，因此tanα＝÷b＝.又α∈，因此0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．又f(x)是偶函数，则g(－x)＝x2f(－x)－x2＝x2f(x)－x2＝g(x)，即g(x)是偶函数．不等式x2f(x)－f(1)1，解得x<－1或x>1，选项B正确．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．某单位有员工90人，其中女员工有36人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是________．
答案 9
解析 男员工应抽取的人数为×15＝9.
14．已知三棱锥P－ABC的顶点P、A、B、C在球O的球面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为________．
答案 3＋2
解析 依题意，边长是的等边△ABC的外接圆半径r＝·＝1，∵球O的表面积为36π＝4πR2，∴球O的半径R＝3，∴球心O到平面ABC的距离d＝＝2，∴球面上的点P到平面ABC距离的最大值为R＋d＝3＋2.
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a＝5，tanB＝－，那么＝________.
答案
解析 △ABC中，∵tanB＝－，∴sinB＝，cosB＝－，又S△ABC＝acsinB＝2c＝8，∴c＝4，∴b＝＝，∴＝＝.
16．过直线l：x＋y＝2上任意一点P向圆C：x2＋y2＝1作两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为________．
答案
解析 依题意，设点P(x0,2－x0)，则直线AB的方程为x0x＋(2－x0)y＝1(注：由圆x2＋y2＝r2外一点E(x0，y0)向该圆引两条切线，切点分别为F，G，则直线FG的方程是x0x＋y0y＝r2)，直线OP的方程是(2－x0)x－x0y＝0，其中点Q是直线AB与OP的交点，因此点Q(x，y)的坐标是方程组的解．
由得
即点Q，点Q到直线l的距离d＝＝.
注意到0<＝≤1，－2<－2≤－1,1≤
<2，所以≤<，即点Q到直线l的距离的取值范围是.
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和Sn满足：S3＝39，且2a2是3a1与a3的等差中项．
(1)求数列{an}的通项an；
(2)若数列{an}为递增数列，bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，问是否存在正整数n使得Tn>成立？若存在，求出n的最小值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设数列{an}的公比为q.
由S3＝39得a1(1＋q＋q2)＝39. ①
因为2a2是3a1与a3的等差中项，则3a1＋a3＝4a2.
即q2－4q＋3＝0，解得q＝1或q＝3.
代入①式得：当q＝1时，a1＝13，{an}的通项公式为an＝13；
当q＝3时，a1＝3，{an}的通项公式为an＝3×3n－1＝3n.
(2)因为数列{an}为递增数列，所以an＝3n，bn＝＝＝.
Tn＝
＝.
由Tn>得n2－n－4>0，即n>.
又n∈N*，所以存在最小正整数n＝3，使得Tn>成立．
18．(本小题满分12分)2016年1月19日，习近平主席开启对沙特、埃及、伊朗为期5天的国事访问．某校高二文科一班主任为了解同学们对此事的关注情况，在该班进行了一次调查，发现在全班50名同学中，对此事关注的同学有30名．该班在本学期期末考试中政治成绩(满分100分)的茎叶图如下：
(1)求“对此事不关注者”的政治期末考试成绩的中位数与平均数；
(2)若成绩不低于60分记为“及格”，从“对此事不关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为P1，从“对此事关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为P2，求P2－P1的值；
(3)若成绩不低于80分记为“优秀”，请以是否优秀为分类变量．
①补充下面的2×2列联表；
政治成
绩优秀
政治成
绩不优秀
合计
对此事关注
者(单位：人)
对此事不关注
者(单位：人)
合计
②是否有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系？
参考数据：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)“对此事不关注者”的20名同学，成绩从低到高依次为：
42,46,50,52,53,56,61,61,63,64,66,66,72,72,76,82,82,86,90,94，
中位数为＝65，
平均数为
＝66.7.
(2)由条件可得P1＝＝，P2＝＝，
所以P2－P1＝－＝.
(3)①补充的2×2列联表如下：
政治成
绩优秀
政治成
绩不优秀
合计
对此事关注
者(单位：人)
12
18
30
对此事不关注
者(单位：人)
5
15
20
合计
17
33
50
②由2×2列联表可得
K2＝＝≈1.203<2.706，
所以，没有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系．
19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．
(1)求证：B1C∥平面A1BD；
(2)若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥A1－ABD的体积．
解 解法一：(1)证明：连接AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，
∵D是AC的中点，
∴DO为△ACB1的中位线，
∴OD∥B1C.
又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD.
(2)∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝3，
∴AB＝，且△ABC为直角三角形．
取AB的中点M，连接A1M，
∵AB＝BB1＝AA1，∠A1AB＝60°，
∴△ABA1为等边三角形，
∴A1M⊥AB，且A1M＝.
又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，
A1M⊂平面AA1B1B，
∴A1M⊥平面ABC.
∵S△ABD＝S△ABC＝，
∴V三棱锥A1－ABD＝S△ABD·A1M＝.
解法二：(1)证明：取A1C1的中点D1，连接B1D1，CD1，DD1，
∵A1D1＝A1C1，
CD＝AC，A1C1綊AC，
∴A1D1綊CD，
∴四边形A1DCD1为平行四边形，
∴CD1∥A1D.
又A1D⊂平面A1BD，CD1⊄平面A1BD，
∴CD1∥平面A1BD.
∵BB1綊AA1綊DD1，
∴四边形D1DBB1为平行四边形，
∴B1D1∥BD.
又BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，
∴B1D1∥平面A1BD.
又CD1∩B1D1＝D1，
∴平面B1CD1∥平面A1BD.
又B1C⊂平面B1CD1，∴B1C∥平面A1BD.
(2)∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝3，
∴AB＝.
∴AC2＝AB2＋BC2，∴BC⊥AB.
又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，
∴BC⊥平面AA1B1B.
∵∠A1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，
∴AA1＝，
∴S△A1AB＝AB·AA1·sin∠A1AB＝.
∵D是AC的中点，
∴V三棱锥A1－ABD＝V三棱锥D－A1AB＝V三棱锥C－A1AB
＝×S△A1AB·BC＝.
20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过点M(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|＝λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若λ∈，求弦长|AB|的取值范围．
解 (1)由已知e＝，得＝，
又当直线垂直于x轴时，|AB|＝，所以椭圆过点，
代入椭圆方程得＋＝1，
∵a2＝b2＋c2，联立方程可得a2＝2，b2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)当过点M的直线斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点，
λ＝＝＝3＋2>2或λ＝＝＝3－2<，不符合题意．
∴直线的斜率不能为0.
设直线方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程代入椭圆方程得：
(m2＋2)y2＋2my－1＝0，由根与系数的关系可得，
将①式平方除以②式可得：
＋＋2＝－，
由已知|MA|＝λ|MB|可知，＝－λ，
∴－λ－＋2＝－，
又知λ∈，∴－λ－＋2∈，
∴－≤－≤0，解得m2∈.
|AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2＝(1＋m2)[(y1＋y2)2－4y1y2]＝82＝82，
∵m2∈，∴∈，
∴|AB|∈.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋－1，a∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为0，求a的值；
(2)证明：ex＋(ln x－1)sinx>0.
解 (1)f(x)＝ln x＋－1的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝－＝.
若a≤0，则f′(x)>0，于是f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)无最小值，不符合题意．
若a>0，则当0a时，f′(x)>0.
故f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
于是当x＝a时，f(x)取得最小值ln a.
由已知得ln a＝0，解得a＝1.
综上，a＝1.
(2)证明：①下面先证当x∈(0，π)时，ex＋(ln x－1)sinx>0.
因为x∈(0，π)，所以只要证>1－ln x.
由(1)可知≥1－ln x，
于是只要证>，即只要证xex－sinx>0.
令h(x)＝xex－sinx，则h′(x)＝(x＋1)ex－cosx.
当01·e0－1＝0，
所以h(x)在(0，π)上单调递增．
所以当0h(0)＝0，即xex－sinx>0.
故当x∈(0，π)时，不等式ex＋(ln x－1)sinx>0成立．
②当x∈[π，＋∞)时，由(1)知≥1－ln x，
于是有x≥1－ln，即x≥1＋ln x.
所以ex≥e1＋ln x，即ex≥ex，
又因为ex≥e(1＋ln x)，所以ex≥e(1＋ln x)，
所以ex＋(ln x－1)sinx≥e(ln x＋1)＋(ln x－1)sinx
＝(e＋sinx)ln x＋(e－sinx)>0.
综上，不等式ex＋(ln x－1)sinx>0成立．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2sinθ.
(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
(2)若点P坐标为(3，)，圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|＋|PB|的值．
解 (1)由得直线l的普通方程为x＋y－3－＝0.
又由ρ＝2sinθ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－)2＝5.
(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得
2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.
由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1、t2是上述方程的两实数根，
所以t1＋t2＝3，t1·t2＝4.
又直线l过点P(3, )，A、B两点对应的参数分别为t1、t2，
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|(a∈R)．
(1)当a＝4时，求不等式f(x)≥5的解集．
(2)若f(x)≥4对a∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝4时，|x－1|＋|x－a|≥5等价于
或或
解得x≤0或x≥5.
所以不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0或x≥5}．
(2)因为f(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|(x－1)－(x－a)|＝|a－1|，所以f(x)min＝|a－1|.
要使f(x)≥4对a∈R恒成立，则|a－1|≥4即可，
所以a≤－3或a≥5，
即实数a的取值范围是{a|a≤－3或a≥5}．
