2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理

2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 学习目标 1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基 底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综 合问题. 知识点 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的 任一向量 a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底.( × ) 提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底. 2.{0，e}可以作为基底.( × ) 提示 由于 0 和任意向量共线，故{0，e}不可作为基底. 3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.( × ) 提示 基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底. 4.若 e1，e2 是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2 为实数)可以表示该平面内所 有向量.( √ ) 一、平面向量基本定理的理解 例 1 (多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是 ( ) A.e1＋e2 和 e1－e2 B.3e1－4e2 和 6e1－8e2 C.e1＋2e2 和 2e1＋e2 D.e1 和 e1＋e2 答案 ACD 解析 选项 B 中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2 与 3e1－4e2 共线，∴不能作为基底，选项 A，C，D 中两向量均不共线，可以作 为基底. 反思感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基 底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 跟踪训练 1 已知向量{a，b}是一个基底，实数 x，y 满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b， 则 x－y＝________. 答案 3 解析 因为{a，b}是一个基底， 所以 a 与 b 不共线， 由平面向量基本定理得 3x－4y＝6， 2x－3y＝3， 所以 x＝6， y＝3， 所以 x－y＝3. 二、用基底表示向量 例 2 如图，已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点， 设AD→ ＝a，AB→＝b，试用{a，b}为基底表示DC→ ，EF→，FC→. 解 因为 DC∥AB，AB＝2DC，E，F 分别是 DC，AB 的中点， 所以FC→＝AD→ ＝a，DC→ ＝AF→＝1 2AB→＝1 2b. EF→＝ED→ ＋DA→ ＋AF→ ＝－1 2DC→ －AD→ ＋1 2AB→ ＝－1 2 ×1 2b－a＋1 2b＝1 4b－a. 延伸探究 1.本例中若取 BC 的中点 G，则AG→ ＝________. 答案 1 2a＋3 4b 解析 BC→＝BA→＋AD→ ＋DC→ ＝－b＋a＋1 2b＝a－1 2b， 所以AG→ ＝AB→＋BG→ ＝AB→＋1 2BC→ ＝b＋1 2a－1 4b＝1 2a＋3 4b. 2.本例中若 EF 的中点为 H，试表示出BH→ . 解 BH→ ＝FH→ －FB→＝1 2FE→－1 2AB→ ＝－1 2EF→－1 2AB→， 因为EF→＝1 4b－a， 所以BH→ ＝－1 8b＋1 2a－1 2b＝1 2a－5 8b. 反思感悟 平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是 利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量. 跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中，设AB→＝a，AD→ ＝b，BD→ ＝c，则以{a，b}为基底时， AC→可表示为________，以{a，c}为基底时，AC→可表示为________. 答案 a＋b 2a＋c 解析 以{a，b}为基底时，AC→＝AB→＋AD→ ＝a＋b； 以{a，c}为基底时，将BD→ 平移，使 B 与 A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得AC→＝2a＋c. 1.设点 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，下列向量组： ①AD→ 与AB→；②DA→ 与BC→；③CA→与DC→ ；④OD→ 与OB→ . 其中可作为该平面其它向量基底的是( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 答案 B 解析 易知AD→ 与AB→不共线，CA→与DC→ 不共线. 2.如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是( ) A.若存在实数λ1，λ2 使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B.对空间任意向量 a 都可以表示为 a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内 D.对于平面α内任意向量 a，使 a＝λ1e1＋λ2e2 的实数λ1，λ2 有无数对 答案 A 解析 B 错，这样的 a 只能与 e1，e2 在同一平面内，不能是空间任意向量；C 错，在平面α 内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2 的形式，故λ1e1＋λ2e2 一定在平面α内；D 错，这样的λ1，λ2 是唯一的，而不是无数对. 3.给出下列三种说法： ①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有 无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量. 其中，说法正确的为( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 答案 B 4.在△ABC 中，若AD→ ＝1 2(AB→＋AC→)，则下列关系式正确的是( ) A.BD＝2CD B.BD＝CD C.BD＝3CD D.CD＝2BD 答案 B 解析 由AD→ ＝1 2(AB→＋AC→)得 2AD→ ＝AB→＋AC→， 即AD→ －AB→＝AC→－AD→ ， 即BD→ ＝DC→ ，∴BD＝CD. 5.如图，▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M，AB→＝a，AD→ ＝b，试用基底{a，b}表示MC→ ，MA→ ， MB→ . 解 AC→＝AB→＋AD→ ＝a＋b， BD→ ＝AD→ －AB→＝b－a， 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以MC→ ＝1 2AC→＝1 2a＋1 2b. MA→ ＝－MC→ ＝－1 2a－1 2b，MD→ ＝1 2BD→ ＝1 2b－1 2a， 所以MB→ ＝－MD→ ＝1 2a－1 2b. 1.知识清单： (1)平面向量基本定理. (2)基底. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量. 1.如图所示，用向量 e1，e2 表示向量 a－b 为( ) A.－4e1－2e2 B.－2e1－4e2 C.e1－3e2 D.3e1－e2 答案 C 2.如图所示，在矩形 ABCD 中，BC→＝5e1，DC→ ＝3e2，则OC→ 等于( ) A.1 2(5e1＋3e2) B.1 2(5e1－3e2) C.1 2(3e2－5e1) D.1 2(5e2－3e1) 答案 A 解析 OC→ ＝1 2AC→＝1 2(BC→－BA→)＝1 2(BC→＋DC→ ) ＝1 2(5e1＋3e2). 3.如图，在△ABC 中，AD→ ＝1 3AC→，BP→＝2 3BD→ ，若AP→＝λAB→＋μAC→，则λ μ 等于( ) A.3 2 B.2 3 C.3 D.1 3 答案 A 解析 由题意可得，BD→ ＝AD→ －AB→＝1 3AC→－AB→， AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋2 3BD→ ＝AB→＋2 3 1 3AC→－AB→ ＝1 3AB→＋2 9AC→， 据此可知λ＝1 3 ，μ＝2 9 ，∴λ μ ＝3 2. 4.设{a，b}为基底，已知向量AB→＝a－kb，CB→＝2a＋b，CD→ ＝3a－b，若 A，B，D 三点共线， 则实数 k 的值等于( ) A.2 B.－2 C.10 D.－10 答案 A 解析 AD→ ＝AB→＋BC→＋CD→ ＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b，∵A，B，D 三点共 线，∴AB→＝λAD→ ，即 a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b， ∵{a，b}为基底，∴ 2λ＝1， k＝λk＋2， 解得λ＝1 2 ，k＝2. 5.(多选)若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是 ( ) A.{e1－e2，e2－e1} B.{2e1－e2，e1－1 2e2} C.{2e2－3e1，6e1－4e2} D.{e1＋e2，e1＋3e2} 答案 ABC 解析 选项 A 中，两个向量为相反向量，即 e1－e2＝－(e2－e1)，则 e1－e2，e2－e1 为共线向 量；选项 B 中，2e1－e2＝2 e1－1 2e2 ，也为共线向量；选项 C 中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)， 为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项 D 符合. 6.已知 e1，e2 不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则 实数λ的取值范围为______________. 答案 (－∞，4)∪(4，＋∞) 解析 若能作为平面内的一个基底，则 a 与 b 不共线.a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由 a≠kb， 即得λ≠4. 7.已知λ1>0，λ2>0，{e1，e2}是一个基底，且 a＝λ1e1＋λ2e2，则 a 与 e1________，a 与 e2________.(填 “共线”或“不共线”) 答案 不共线 不共线 8.已知向量 a 在基底{e1，e2}下可以表示为 a＝2e1＋3e2，若 a 在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表 示为 a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________. 答案 5 2 －1 2 解析 由条件可知 λ＋μ＝2， λ－μ＝3， 解得 λ＝5 2 ， μ＝－1 2. 9.已知 G 为△ABC 的重心，设AB→＝a，AC→＝b.试用 a，b 表示向量AG→ . 解 连接 AG 并延长，交 BC 于点 D， 则 D 为 BC 的中点， AG→ ＝2 3AD→ ＝2 3 ×1 2(AB→＋AC→) ＝1 3AB→＋1 3AC→＝1 3a＋1 3b. 10.在△ABC 中，点 D，E，F 依次是边 AB 的四等分点，试以CB→＝e1，CA→＝e2 表示CF→. 解 AB→＝CB→－CA→＝e1－e2， 因为 D，E，F 依次是边 AB 的四等分点， 所以AF→＝3 4AB→＝3 4(e1－e2)， 所以CF→＝CA→＋AF→＝e2＋3 4(e1－e2)＝3 4e1＋1 4e2. 11.若 OP→ 1＝a，OP→ 2＝b，P1P→ ＝λPP→ 2(λ≠－1)，则OP→ 等于( ) A.a＋λb B.λa＋(1－λ)b C.λa＋b D. 1 1＋λa＋ λ 1＋λb 答案 D 解析 ∵P1P→ ＝λPP2 → ， ∴OP→ －OP→ 1＝λ(OP→ 2－OP→ )，∴(1＋λ)OP→ ＝OP→ 1＋λOP→ 2， ∴OP→ ＝ 1 1＋λ OP→ 1＋ λ 1＋λ OP→ 2＝ 1 1＋λa＋ λ 1＋λb. 12.已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点 P 满足OP→ ＝ 1 3 1 2OA→ ＋1 2OB→ ＋2OC→ ，则点 P 一定为( ) A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心) C.△ABC 的重心 D.AB 边的中点 答案 B 解析 ∵O 是△ABC 的重心，∴OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＝0， ∴OP→ ＝1 3 －1 2OC→ ＋2OC→ ＝1 2OC→ ，∴点 P 是线段 OC 的中点，即 AB 边中线的三等分点(非重 心). 13.已知 a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c＝－2e1＋4e2(e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量)，则 c＝________.(用 a，b 表示) 答案 2a－2b 解析 设 c＝λa＋μb， 则－2e1＋4e2＝λ(e1＋e2)＋μ(2e1－e2) ＝(λ＋2μ)e1＋(λ－μ)e2， 因为 e1，e2 不共线， 所以 －2＝λ＋2μ， 4＝λ－μ， 解得 λ＝2， μ＝－2， 故 c＝2a－2b. 14.如图，在△MAB 中，C 是边 AB 上的一点，且 AC＝5CB，设MA→ ＝a，MB→ ＝b，则MC→ ＝ ________.(用 a，b 表示) 答案 1 6a＋5 6b 解析 MC→ ＝MA→ ＋AC→＝MA→ ＋5 6AB→ ＝MA→ ＋5 6(MB→ －MA→ )＝1 6MA→ ＋5 6MB→ ＝1 6a＋5 6b. 15.已知单位圆 O 上的两点 A，B 及单位圆所在平面上的一点 P，OA→ 与OB→ 不共线. (1)在△OAB 中，若点 P 在 AB 上，且AP→＝2PB→，若AP→＝rOB→ ＋sOA→ ，求 r＋s 的值； (2)点 P 满足OP→ ＝mOA→ ＋OB→ (m 为常数)，若四边形 OABP 为平行四边形，求 m 的值. 解 (1)∵AP→＝2PB→，∴AP→＝2 3AB→， ∴AP→＝2 3(OB→ －OA→ )＝2 3OB→ －2 3OA→ ， 又∵AP→＝rOB→ ＋sOA→ ， ∴r＝2 3 ，s＝－2 3 ，∴r＋s＝0. (2)∵四边形 OABP 为平行四边形， ∴OB→ ＝OP→ ＋OA→ ， 又∵OP→ ＝mOA→ ＋OB→ ， ∴OB→ －OA→ ＝mOA→ ＋OB→ ， 依题意OA→ ，OB→ 是非零向量且不共线， ∴m＝－1. 16.如图，平面内有三个向量OA→ ，OB→ ，OC→ ，其中OA→ 与OB→ 的夹角为 120°，OA→ 与OC→ 的夹角为 30°，且|OA→ |＝|OB→ |＝1，|OC→ |＝2 3.若OC→ ＝λOA→ ＋μOB→ (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值. 解 如图，以 OA，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形 OMCN，使得 M 在直 线 OA 上，N 在直线 OB 上， 则存在λ，μ，使OM→ ＝λOA→ ，ON→ ＝μOB→ ， 即OC→ ＝OM→ ＋ON→ ＝λOA→ ＋μOB→ . 在 Rt△OCM 中，∵|OC→ |＝2 3， ∠COM＝30°，∴∠OCM＝90°， ∴|OM→ |＝4，∴OM→ ＝4OA→ ， 又|ON→ |＝|MC→ |＝2，∴ON→ ＝2OB→ ， ∴OC→ ＝4OA→ ＋2OB→ ，即λ＝4，μ＝2， ∴λ＋μ＝6.