【数学】2020届一轮复习人教A版不等式的解法学案

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【数学】2020届一轮复习人教A版不等式的解法学案

不等式的解法 ‎【考纲要求】‎ ‎1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,‎ ‎2.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图,‎ ‎3.掌握一次不等式、分式不等式、高次、指对不等式等的解法,‎ ‎4.培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力。‎ ‎【知识网络】‎ 不等式的解法 一次、分式、高次、指对等不等式 函数不等式解法 一元二次不等式解法 ‎【考点梳理】‎ 要点一、一元二次不等式的解法 一元二次不等式ax2+bx+c>0 (或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0),图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解,图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解.而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标.求解一元二次不等式的步骤,先把二次项系数化为正数,再解对应的一元二次方程,最后根据一元二次方程的根,结合不等号的方向,写出不等式的解集.‎ 设相应的一元二次方程的两根为,,则不等式的解的各种情况如下表:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二次函数()的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ‎ 无实根 ‎ R ‎ ‎ ‎ ‎ 要点诠释:‎ 一元二次不等式的步骤:‎ ‎(1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数:‎ ‎(2)计算判别式,分析不等式的解的情况: ‎ ‎①时,求根(注意灵活运用因式分解和配方法);‎ ‎②时,求根;‎ ‎③时,方程无解 ‎ ‎(3)写出解集.‎ 要点二、高次不等式的解法 不等式的解法394838 知识要点】‎ 高次不等式:形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-xn)>0(其中x1, x2, ……,xn是互不相等的实常数)叫做一元n次不等式(n∈N).‎ 要点诠释:‎ 作出相应函数的图象草图.具体步骤如下:(a)明确标出曲线与x轴的交点,(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方(除此之外,对草图不必做更细致的要求).然后根据图象草图,写出满足不等式的解集.‎ 要点三、无理不等式的解法 无理不等式:如果函数f(x)是关于x的无理式,那么f(x)>0或f(x)<0,叫做无理不等式.‎ 要点诠释:‎ ‎ (1)> ‎ ‎ (2)>g(x) 或 ‎ ‎ 或 ‎ (3) 0,a≠1).当01时,f(x)>g(x).‎ ‎ (2)m·(ax)2+n·(ax)+k>0.令ax=t(t>0),转化为mt2+nt+k>0,先求t的取值范围,再确定x的集合.‎ ‎ (3)logaf(x)>logag(x) (a>0, a≠1).‎ ‎ 当01时,‎ ‎ (4) .‎ ‎ 令logaf(x)=t(t∈R),转化为mt2+nt+k>0,先求t的取值范围,再确定x的集合.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一:一元二次不等式 例1. 不等式的解集为,求关于的不等式的解集。‎ ‎【解析】由题意可知方程的两根为和 由韦达定理有,‎ ‎∴,‎ ‎∴化为,即 ‎,解得,‎ 故不等式的解集为.‎ ‎【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点,也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解集与其系数之间的关系,这一点是解此类题的关键。‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】已知的解为,试求、,并解不等式.‎ ‎【解析】由韦达定理有:,,∴,.‎ ‎∴代入不等式得,‎ 即,,解得,‎ 故不等式的解集为:.‎ ‎【变式2】已知关于的不等式的解集为,求关于的不等式的解集.‎ ‎【解析】由韦达定理有:,解得, 代入不等式得 ‎,即,解得或.‎ ‎∴的解集为:.‎ 例2.已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围。‎ ‎【解析】(1)当m2+4m-5=0时,m=1或m=-5‎ 若m=1,则不等式化为3>0, 对一切实数x成立,符合题意。‎ 若m=-5,则不等式为24x+3>0,不满足对一切实数x均成立,所以m=-5舍去。‎ ‎(2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时,‎ 由此一元二次不等式的解集为R知,抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上,且与x轴无交点,‎ 所以,‎ ‎ 即, ∴ 10;(2)(x2-5x-6)(1-x)>0.‎ ‎【解析】(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图(图1).‎ ‎ ‎ ‎ 所以不等式的解集为(-∞,-2)(-1,1)(2,+∞).‎ ‎ (2)先把原不等式化成与它等价的:(x+1)(x-6)(x-1)<0.作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图(图2),所以解集为(-∞,-1)(1,6).‎ ‎【总结升华】(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数,如果为正数,函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数,因此曲线总在x轴的上方,这样作草图就可以一蹴而就了,如果不是正数,那么首先化为正数;(2)解高次不等式的步骤可以概括为:找零点、分区间、画草图、写解集.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0.‎ ‎【解析】此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式,当x值从大于-1变化到小于-1时(不含-1),y值符号没有发生变化,而x值从大于1到小于1时(不含1),y值符号发生了变化,如图3,‎ ‎ ‎ ‎ 故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+∞).‎ ‎【总结升华】本题可以先对不等式化简再解。原不等式等价于 类型三:无理不等式 例4.解不等式≤x-2.‎ 解法一: 即 ,所以x≥5.‎ 所以原不等式的解集为[5,+∞).‎ 解法二:设=t (t≥0). 则x=.‎ 所以原不等式化为t≤-2, ‎ 所以t2-2t-3≥0, 即t≤-1或t≥3.‎ 因为 t≥0, 所以 t≥3, 所以 x≥5.‎ 解法3:令y1=, y2=x-2, 从而原不等式的解集就是使函数y1>y2的x的取值范围.‎ 在同一坐标系中分别作出两个函数的图象(图4).‎ 设它们交点的横坐标是x0, 则=x0-2>0.‎ 解之,得x0=5或x0=1(舍).所以原不等式解集为[5,+∞).‎ ‎【总结升华】解法1是通法,要求必须熟练掌握,解法2是换元法,由于不等式两边次数恰是倍数关系,故换元后变为二次不等式,但最终还要解x的方程.解法3是数形结合法,用图象解题,一般比较简捷、形象、直观,但要注意作图的正确和表达的清晰和完整.‎ 举一反三:‎ ‎【变式】解不等式 ‎【解析】或 ‎ Û x>1或x=1或x=-2.‎ ‎ 所以原不等式的解集是[1,+∞{-2}.‎ 类型四:指对不等式 例5.(2018 洛阳一模)若,均有(且)则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 当时,函数的图像如下图所示:‎ 对任意的,总有恒成立 若不等式恒成立,则的图像恒在的图象的上方 的图象与的图象交于点时,此时 故所求的的图象对应的底数应满足故选A.‎ 举一反三:‎ ‎【变式】(2018 北京高考)如图,函数的图象为折线ACB,则不等式的解集是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知的图象,在此坐标系内做出的图象,如图 满足不等式的范围是所以不等式的解集是故选C.‎ 例6.解不等式 ‎【解析】原不等式可化为:‎ ‎ ‎ ‎ 所以 所以 所以 1
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