中考数学最短路径将军饮马问题无答案

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中考数学最短路径将军饮马问题无答案

最短路径(将军饮马)问题与拓展 相关定理或公理:①线段公理:两点之间,线段最短。由此可以推出两边之和大于第三边;‎ ‎②垂线段性质:垂线段最短。‎ 问题提出:‎ 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。”诗中隐隐含着一个有趣的数学问题。‎ 如图,将军在观望烽火后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后 再走到B点的营地。怎样走才能使总的路程最短?‎ 模型【1】一定直线,异侧两定点 ‎ 已知:直线l和它异侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小 模型【2】一定直线,同侧两定点 ‎ 已知:直线l和它同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小 模型【3】两定直线,两定点 ‎ 已知:∠MON内部有两点P、Q,在OM、ON上分别作点A、B,使四边形PQBA周长最小 模型【4】两定直线,一定点 ‎ 已知:∠MON内部有一点P在OM、ON上分别作点A、B,使△PAB周长最小 模型【5】两定直线,一定点 ‎ 已知:∠MON内部有一点P在OM、ON上分别作点A、B,使AB+PB最小 注意:模型4与模型5的联系与区别 变式:线段之差最大问题 模型【6】一定直线,同侧两定点 ‎ 已知:直线l和它同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使︱PA-PB︱最大 模型【7】一定直线,异侧两定点 ‎ 已知:直线l和它同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使︱PA-PB︱最大 造桥选址问题 利用平移变换进行造桥选址,是平移变换的一个重要应用。‎ 原题再现 ‎ 如图1,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥与河垂直)。(人教版八年级上册第86页)‎ 变式拓展 模型【8】一定直线及直线上一长度不变的线段,同侧两定点 ‎ 已知:直线l和它同侧两点A、B,在直线求作一条线段CD(长度不变),使AC+CD+DB最小 巩固练习 ‎1、如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠BAD=110°,在BC上存在一点M,在CD上存在点N,使△AMN的周长最短,则∠MAN的度数为 ;‎ 第1题图 ‎2、如图,Rt△ABC中,BC=3,AC=4,AB=5, BD平分∠BAC,点E、F分别为BD、BC上的动点,‎ 连接CE、EF,则CE+EF的最小值是______‎ ‎3、如图,若AP=4,∠CAB=30°,在AB上有一动点M,‎ AC上有一动点N,则DPMN周长的最小值是____________‎ ‎4、如图,△ABC在平面直角坐标系中,且A(1,3)、B(-4,1)、‎ 若M(a-1,0)、N(a,0),当BM+MN+NA最小时,‎ 直接写出a的值是_________.‎ 几何的定值与最值 ‎ 几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是:分清问题的定量及变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明.‎ ‎ 几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有:‎ ‎ 1.特殊位置与极端位置法;‎ ‎ 2.几何定理(公理)法;‎ ‎3.数形结合法等.‎ 例1、如图,△ABC是等边三角形,边长为6,AD⊥BC,垂足是点D,点E为直线AD上一点,以CE为边作等边三角形CEF,则DF的最小值是________‎ 练习:‎ ‎1、如图,△ABC是等边三角形,边长为6, 点D为BC中点,,点E为直线BC上一点,以AE为边作等边三角形AEF,则DF的最小值是________‎ ‎2、平面直角坐标系中,C(0,4),K(2,0),A为x轴上一动点,连接AC,将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB,当点A在x轴上运动,BK取最小值时,点B的坐标为 .‎
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