吉林省延边市长白山第一高级中学2019-2020学年高二上学期学科竞赛数学试卷

吉林省延边市长白山第一高级中学2019-2020学年高二上学期学科竞赛数学试卷

数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 ‎ 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．命题 ，则 是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2．已知,则下列判断中，错误的是 （ ）‎ A．p或q为真，非q为假 B． p或q为真，非p为真 C．p且q为假，非p为假 D． p且q为假，p或q为真 ‎3．“”是“”的（ ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 ‎4. 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于两点，则与和椭圆的另一个焦点构成的的周长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：‎ ‎①，，， ②， ‎ ‎③，， ④， 其中，真命题的个数有（ ）‎ A.个 B.个 C.个 D.个 ‎6．已知，则动点的轨迹是（　）‎ A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支 ‎7．在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 圆：上的点到直线的距离最小值是（ ）‎ A． 2 B． C． D．‎ ‎9．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为其右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．不论m取任何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标 是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的体积为1，则阳马的外接球的表面积等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知椭圆的焦点为，过的直线与交于两点.若,，则椭圆的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（共计20分）‎ ‎13．求过点（2，3）且在x轴和y轴截距相等的直线的方程 ．‎ ‎14. 双曲线上的一点到它的一个焦点的距离等于，那么点到另一个焦点的距离为_______‎ ‎15. 四棱锥中， 底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：____ ______时，平面.‎ ‎16．给出以下命题， ‎ ‎①命题“若，则或”为真命题；‎ ‎②命题“若，则”的否命题为真命题；‎ ‎③若平面上不共线的三个点到平面距离相等，则；‎ ‎④若，是两个不重合的平面，直线，命题，命题，则是的必要不充分条件；‎ ⑤平面过正方体的三个顶点，且与底面的交线为，‎ 则∥。‎ 其中，真命题的序号是 ‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．（共10分）求下列双曲线的实轴和虚轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标渐进线方程。‎ ‎（1） （2）‎ ‎18．（共12分）已知，，若是的充分而不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎19．（共12分）如图，在正方体中，分别是的中点。求证：‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值。‎ ‎20. （共12分）已知双曲线和椭圆有公共的焦点，且离心率为。‎ ‎（1）求双曲线的方程。‎ ‎（2）经过点作直线交双曲线于， 两点，且为的中点，求直线的方程。‎ ‎21．（共12分）如图， 是正方形，O是正方形的中心， 底面，是的中点。‎ 求证：‎ ‎（1）∥平面； ‎ ‎（2）平面平面；‎ ‎（3）求二面角的大小。‎ ‎22. （共12分） 已知在平面直角坐标系中，动点与两定点连线的斜率之积为，记点的轨迹为曲线。‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与曲线交于两点，曲线上是否存在点使得四边形 为平行四边形？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由。‎ ‎ 高二数学答案 ‎1.C 2.C 3.B 4.B 5.A 6.A 7.C 8.C 9.D 10.B 11.A 12.D ‎13. 14. 17 15.E为中点 16.①④⑤‎ ‎17.‎ ‎18．‎ ‎19.（1）取BD的中点O，连接EO、D1O，则OE∥，OE＝．又D1G∥DC，D1G＝DC，∴OE∥D1G，OE＝D1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O．又D1O⊂平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D．‎ ‎（2） ‎20.(1) (2)‎ ‎21.(1),(2)证明略（3）‎ ‎22. 解：（1）设P（x,y）,有·=-得·=-得=1（x≠±2）∴C的方程为=1（x≠±2）‎ ‎（2）假设存在符合条件的点E（）由题意知直线l的斜率不为零设直线l的方程为x=my-点M坐标为（）、点N坐标为（）由得：（+2）-2‎ my-3=0,△>0∴+则+=-由四边形OMEN为平行四边形，得∴E（-）‎ 点E坐标代入C方程得：=0，解得∴此时直线l的方程为，但，所以不存在.‎