【数学】2018届一轮复习人教A版（理）5-3平面向量的数量积学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）5-3平面向量的数量积学案

‎§5.3　平面向量的数量积 考纲展示►　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．‎ ‎2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．‎ ‎3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．‎ ‎4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ 考点1　平面向量的数量积的运算 ‎ ‎ ‎1.平面向量数量积的有关概念 ‎(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．‎ ‎(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则________ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝________，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.‎ ‎(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________的乘积．‎ 答案：(2)|a||b|cos θ　|a||b|cos θ ‎(3)|b|cos θ ‎2．平面向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a(交换律)．‎ ‎(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．‎ ‎(3)(a＋b)·c＝________(分配律)．‎ 答案：(3)a·c＋b·c ‎(1)[教材习题改编]在△ABC中，·>0，则△ABC是________三角形．‎ 答案：钝角 解析：由向量夹角的定义可知，与的夹角为π－B，则·＝||||cos(π－B)>0，‎ 得cos(π－B)>0，∴cos B<0，即角B为钝角，∴△ABC为钝角三角形．‎ ‎(2)[教材习题改编]在▱ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，则·＝________.‎ 答案：－4‎ 解析：在平行四边形ABCD中，＝， ∠BAD＝180°－∠ABC＝120°，‎ ‎∴·＝·＝||||cos∠BAD ‎＝4×2cos 120°＝－4.‎ 与平面向量的数量积有关的易错点：投影；向量夹角；运算律．‎ 下列说法正确的有________个．‎ ‎①向量b在向量a方向上的投影是向量；‎ ‎②若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角；‎ ‎③(a·b)·c＝a·(b·c)；‎ ‎④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.‎ 答案：0‎ 解析：①向量b在a方向上的投影是数量，为|b|cos θ，它可以为正，可以为负，也可以为0；‎ ‎②a·b＞0与a和b的夹角为锐角不等价，a·b＞0还包含a和b同向的情形．同样a·b＜0不仅包含a和b的夹角为钝角，还包含a和b反向的情形；‎ ‎③由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等，故数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)；‎ ‎④a·b＝0⇔|a||b|cos θ＝0⇔|a|＝0或|b|＝0或cos θ＝0，因此，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b.‎ ‎[典题1]　(1)[2017·四川成都模拟]在△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满足＝＝2，若||＝2，||＝3，∠BAC＝90°，则·＝(　　)‎ A．1 B．－ C. D．－ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题知，＝－，＝－＝－，‎ ＝＋＝＋＝＋，‎ ·＝·(－)‎ ‎＝·－2＋2－· ‎＝－＋2＝－.‎ ‎(2)[2017·安徽合肥联考]已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a上的投影为________．‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　∵|a＋b|2＝a2＋b2＋‎2a·b＝1＋4＋2×1×2×＝7，‎ ‎∴|a＋b|＝，‎ ‎∴cos〈a＋b，a〉＝＝＝.‎ ‎∴a＋b在a上的投影为|a＋b|cos〈a＋b，a〉＝×＝2.‎ ‎[点石成金]　向量数量积的两种运算方法 方法 运用提示 适用题型 定义法 当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·‎ ‎|b|cos θ 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题 坐标法 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2‎ 适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．‎ 答案：1　1‎ 解析：解法一：如图，‎ ·＝(＋)· ‎＝·＋·＝2＝1.‎ ·＝(＋)· ‎＝·＋· ‎＝·＝||·||≤||2＝1.‎ 解法二：以射线AB，AD为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，‎ 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，‎ 设E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，‎ ‎∴·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.‎ ‎∵＝(1,0)，‎ ‎∴·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，‎ 故·的最大值为1.‎ 解法三：由图知，无论点E在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，‎ ‎∴·＝||·1＝1.‎ 当E运动到点B时，在方向上的投影最大即为||＝1，‎ ‎∴(·)max＝||·1＝1.‎ 考点2　平面向量数量积的性质 ‎ 　　‎ 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．‎ ‎(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝________.‎ ‎(2)模：|a|＝＝________.‎ ‎(3)夹角：cos θ＝＝ .‎ ‎(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔________.‎ ‎(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.‎ 答案：(1)x1x2＋y1y2　(2)　‎ ‎(4)x1x2＋y1y2＝0‎ ‎(1)[教材习题改编]已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝4，则a与b的夹角θ＝________.‎ 答案：30°‎ ‎(2)[教材习题改编]已知a＝(1,2)，b＝(3,4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k＝________.‎ 答案：± 平面向量数量积的常用结论．‎ ‎ (1)对任意向量a和b，(a＋b)·(a－b)＝________.‎ ‎(2)对任意向量a和b，(a＋b)2＝__________.‎ ‎(3)若两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b________0.‎ ‎(4)若两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b________0.‎ 答案：(1)a2－b2　(2)a2＋‎2a·b＋b2　(3)>　(4)<‎ ‎ [考情聚焦]　平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 平面向量的模 ‎[典题2]　(1)[2015·浙江卷]已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵ e1·e2＝，‎ ‎∴ |e1||e2|cos〈e1，e2〉＝，∴ 〈e1，e2〉＝60°.‎ 又∵ b·e1＝b·e2＝1>0，‎ ‎∴ 〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝30°.‎ 由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，‎ ‎∴ |b|＝＝.‎ ‎(2)[2017·河北石家庄模拟]已知平面向量a，b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b|＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵|a＋b|2＝|a|2＋‎2a·b＋|b|2‎ ‎＝4＋2|a||b|cos ＋1＝5－2＝3，‎ ‎∴|a＋b|＝.‎ 角度二 平面向量的夹角 ‎[典题3]　(1)[2017·湖南衡阳八中高三月考]若向量a，b的夹角为，且|a|＝2，|b|＝1，则a与a＋2b的夹角为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　设向量a与a＋2b的夹角等于α，因为向量a，b的夹角为，且|a|＝2，|b|＝1，‎ 所以a·(a＋2b)＝a2＋‎2a·b ‎＝4＋2×2×1×cos ＝6，‎ ‎|a＋2b|＝＝＝2，‎ ‎∴cos α＝＝＝.‎ ‎∵α∈[0，π]，∴α＝.故选A.‎ ‎(2)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　∵b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)|b|2‎ ‎＝t＋1－t＝－t＋1＝0，∴t＝2.‎ 角度三 平面向量的垂直 ‎[典题4]　已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.‎ ‎[点石成金]　平面向量数量积求解问题的策略 ‎(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．‎ ‎(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.‎ ‎(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：‎ ‎①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎②|a±b|＝＝.‎ ‎③若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)‎ A．30° B．45° ‎ C．60° D．120°‎ 答案：A 解析：由两向量的夹角公式，可得 cos∠ABC＝＝＝，则∠ABC＝30°.‎ ‎2．[2016·北京卷]设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D 解析：取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0.|a－b|＝|‎2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.‎ 由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.‎ 故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.‎ ‎3．[2015·重庆卷]若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(‎3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. ‎ C. D．π 答案：A 解析：由(a－b)⊥(‎3a＋2b)，得 ‎(a－b)·(‎3a＋2b)＝0，‎ 即‎3a2－a·b－2b2＝0.‎ 又∵ |a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，‎ 即3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0，‎ ‎∴ |b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.‎ ‎∴ cos θ＝.‎ 又∵ 0≤θ≤π，∴ θ＝.‎ ‎4．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．5‎ 答案：A 解析：由条件可得，(a＋b)2 ＝10，(a－b)2 ＝6，两式相减得‎4a·b＝4，所以a·b＝1.‎ ‎5．[2016·天津卷]已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则· 的值为(　　)‎ A．－ B. ‎ C. D. 答案：B 解析：如图，设＝m，＝n.‎ 根据已知得，＝m，‎ 所以＝＋＝m＋n，＝m－n，‎ ·＝·(m－n)‎ ‎＝m2－n2－m·n＝－－＝.‎ ‎ 6.[2016·浙江卷]已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤ ，则a·b的最大值是________．‎ 答案： 解析：由题意，令e＝(1,0)，a＝(cos α，sin α)，b＝(2cos β，2sin β)，则由|a·e|＋|b·e|≤，可得 ‎|cos α|＋2|cos β|≤.①‎ 令sin α ＋2sin β＝m.②‎ ‎①2 ＋②2，得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m2对一切实数α，β恒成立，‎ 所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1.‎ 故a·b＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 以向量为背景的创新题 ‎[典例1]　(1)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝，若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a·b和b·a都在集合中，则a·b等于(　　)‎ A. B. ‎ C．1 D. ‎[答案]　D　‎ ‎[审题视角]　先根据定义表示a·b和b·a，利用其属于集合，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出cos θ，然后利用θ∈确定cos θ的取值范围，结合集合中n∈Z的限制条件即可确定n的值，从而求出a·b的值．‎ ‎[解析]　根据新定义，得 a·b＝＝＝cos θ，‎ b·a＝＝＝cos θ.‎ 又因为a·b和b·a都在集合中，‎ 设a·b＝，b·a＝(n1，n2∈Z)，‎ 那么(a·b)·(b·a)＝cos2θ＝，‎ 又θ∈，故cos2θ∈，‎ 所以0

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