高中数学高考导数题型与分析和解题方法

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高中数学高考导数题型与分析和解题方法

生命是永恒不断的创造,因为在它内部蕴含着过剩的精力,它不断流溢,越出时间和空间的界限,它不停地追求,以形形色色的自我表现的形式表现出来。‎ ‎--泰戈尔 导数题型分析及解题方法 一、考试内容 导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数;‎ 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。‎ 二、热点题型分析 题型一:利用导数研究函数的极值、最值。‎ ‎1. 在区间上的最大值是 2 ‎ ‎2.已知函数处有极大值,则常数c= 6 ;‎ ‎3.函数有极小值 -1 ,极大值 3 ‎ ‎ ‎ 题型二:利用导数几何意义求切线方程 ‎1.曲线在点处的切线方程是 ‎ ‎2.若曲线在P点处的切线平行于直线,则P点的坐标为 (1,0) ‎ ‎3.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为 ‎ ‎4.求下列直线的方程:‎ ‎ (1)曲线在P(-1,1)处的切线; (2)曲线过点P(3,5)的切线;‎ 解:(1)‎ ‎ 所以切线方程为 ‎ (2)显然点P(3,5)不在曲线上,所以可设切点为,则①又函数的导数为,‎ 所以过点的切线的斜率为,又切线过、P(3,5)点,所以有②,由①②联立方程组得,,即切点为(1,1)时,切线斜率为;当切点为(5,25)时,切线斜率为 ‎;所以所求的切线有两条,方程分别为 题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值 ‎ ‎ ‎1.已知函数的切线方程为y=3x+1 ‎ ‎ (Ⅰ)若函数处有极值,求的表达式;‎ ‎ (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数在[-3,1]上的最大值;‎ ‎ (Ⅲ)若函数在区间[-2,1]上单调递增,求实数b的取值范围 ‎ 解:(1)由 过的切线方程为:‎ ‎ ‎ ‎①‎ ‎②‎ 而过 故 ‎ ‎∵ ③ ‎ 由①②③得 a=2,b=-4,c=5 ∴ ‎ ‎(2)‎ 当 ‎ 又在[-3,1]上最大值是13。 ‎ ‎(3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又由①知2a+b=0。 ‎ 依题意在[-2,1]上恒有≥0,即 ‎ ‎①当;‎ ‎②当;‎ ‎③当 ‎ 综上所述,参数b的取值范围是 ‎2.已知三次函数在和时取极值,且.‎ ‎(1) 求函数的表达式;‎ ‎(2) 求函数的单调区间和极值;‎ ‎(3) 若函数在区间上的值域为,试求、应满足的条件.‎ 解:(1) , ‎ 由题意得,是的两个根,解得,. ‎ 再由可得.∴. ‎ ‎(2) ,‎ 当时,;当时,;‎ 当时,;当时,;‎ 当时,.∴函数在区间上是增函数;‎ 在区间上是减函数;在区间上是增函数.‎ 函数的极大值是,极小值是. ‎ ‎(3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位,向上平移4个单位得到的,‎ 所以,函数在区间上的值域为().‎ 而,∴,即. ‎ 于是,函数在区间上的值域为.‎ 令得或.由的单调性知,,即.‎ 综上所述,、应满足的条件是:,且. ‎ ‎3.设函数.‎ ‎(1)若的图象与直线相切,切点横坐标为2,且在处取极值,求实数 的值;‎ ‎(2)当b=1时,试证明:不论a取何实数,函数总有两个不同的极值点. ‎ 解:(1) ‎ 由题意,代入上式,解之得:a=1,b=1.  ‎ ‎(2)当b=1时,       ‎ 因故方程有两个不同实根.  ‎ 不妨设,由可判断的符号如下:‎ 当>0;当<0;当>0‎ 因此是极大值点,是极小值点.,当b=1时,不论a取何实数,函数总有两个不同的极值点。‎ 题型四:利用导数研究函数的图象 ‎1.如右图:是f(x)的导函数, 的图象如右图所示,则f(x)的图象只可能是( D )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2.函数( A )‎ x y o ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎-2‎ ‎-2‎ x y o ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎-2‎ ‎-2‎ x y y ‎4‎ o ‎-4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ y x ‎-4‎ ‎-2‎ o ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3.方程 ( B )‎ ‎ A、0 B、‎1 C、2 D、3‎ 题型五:利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围 ‎1.设函数 ‎ (1)求函数的单调区间、极值.‎ ‎(2)若当时,恒有,试确定a的取值范围.‎ 解:(1)=,令得 ‎ 列表如下:‎ x ‎(-∞,a)‎ a ‎(a,‎3a)‎ ‎3a ‎(‎3a,+∞)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极小 极大 ‎ ‎ ‎∴在(a,‎3a)上单调递增,在(-∞,a)和(‎3a,+∞)上单调递减 时,,时, ‎ ‎(2)∵,∴对称轴,‎ ‎∴在[a+1,a+2]上单调递减 ‎ ‎∴,‎ 依题, 即 解得,又 ∴a的取值范围是 ‎2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间 ‎(2)若对xÎ〔-1,2〕,不等式f(x)f(2)=2+c,解得c<-1或c>2‎ 题型六:利用导数研究方程的根 ‎1.已知平面向量=(,-1). =(,).‎ ‎(1)若存在不同时为零的实数k和t,使=+(t2-3),=-k+t,⊥,‎ 试求函数关系式k=f(t) ;‎ ‎(2) 据(1)的结论,讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.‎ 解:(1)∵⊥,∴=0 即[+(t2-3) ]·(-k+t)=0. ‎ 整理后得-k+[t-k(t2-3)] + (t2-3)·=0 ‎ ‎∵=0,=4,=1,∴上式化为-4k+t(t2-3)=0,即k=t(t2-3)‎ ‎(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况,可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数. ‎ 于是f′(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1). ‎ 令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时,f′(t)、f(t)的变化情况如下表:‎ t ‎(-∞,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+ ∞)‎ f′(t)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ F(t)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 当t=-1时,f(t)有极大值,f(t)极大值=.‎ 当t=1时,f(t)有极小值,f(t)极小值=-‎ 函数f(t)=t(t2-3)的图象如图13-2-1所示,‎ 可观察出:‎ ‎(1)当k>或k<-时,方程f(t)-k=0有且只有一解;‎ ‎(2)当k=或k=-时,方程f(t)-k=0有两解;‎ ‎(3) 当-<k<时,方程f(t)-k=0有三解. ‎ 题型七:导数与不等式的综合 ‎ ‎1.设在上是单调函数.‎ ‎(1)求实数的取值范围;‎ ‎(2)设≥1,≥1,且,求证:.‎ 解:(1) 若在上是单调递减函数,则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.‎ 若在上是单调递增函数,则≤,‎ 由于.从而0
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