【数学】2018届一轮复习苏教版12-2直接证明与间接证明教案（江苏专用）

【数学】2018届一轮复习苏教版12-2直接证明与间接证明教案（江苏专用）

‎12.2 直接证明与间接证明 ‎1．直接证明 ‎(1)综合法 ‎①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法．‎ ‎②框图表示：⇒…⇒…⇒ ‎③思维过程：由因导果．‎ ‎(2)分析法 ‎①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．‎ ‎②框图表示：⇐…⇐…⇐ ‎③思维过程：执果索因．‎ ‎2．间接证明 反证法：要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．‎ 这个过程包括下面3个步骤：‎ ‎(1)反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；‎ ‎(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；‎ ‎(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　×　)‎ ‎(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　×　)‎ ‎(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“aa＋b，则a、b应满足的条件是__________________________．‎ 答案　a≥0，b≥0且a≠b 解析　∵a＋b－(a＋b)‎ ‎＝(a－b)＋(b－a)‎ ‎＝(－)(a－b)‎ ‎＝(－)2(＋)．‎ ‎∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)>0.‎ ‎∴a＋b>a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.‎ ‎5．(2016·盐城模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有 ≤f()，已知函数y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．‎ 答案　 解析　∵f(x)＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，‎ 且A，B，C∈(0，π)．‎ ‎∴≤f()＝f()，‎ 即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝，‎ ‎∴sin A＋sin B＋sin C的最大值为.‎ 题型一　综合法的应用 例1　数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.‎ ‎(1)证明：数列{}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{}的前n项和Sn，并证明＋＋…＋>.‎ ‎(1)证明　∵an＋1＝，‎ ‎∴＝，化简得＝2＋，‎ 即－＝2，故数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎(2)解　由(1)知＝2n－1，‎ ‎∴Sn＝＝n2.‎ 方法一＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－ ‎)＝1－＝.‎ 方法二＋＋…＋＝＋＋…＋>1，‎ 又∵1>，‎ ‎∴＋＋…＋>.‎ 思维升华　(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．‎ ‎　若a，b，c是不全相等的正数，求证：‎ lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c.‎ 证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，‎ ‎∴≥ >0，≥ >0，≥ >0.‎ 由于a，b，c是不全相等的正数，‎ ‎∴上述三个不等式中等号不能同时成立，‎ ‎∴··>abc>0成立．‎ 上式两边同时取常用对数，得 lg(··)>lg abc，‎ ‎∴lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c.‎ 题型二　分析法的应用 例2　已知函数f(x)＝tan x，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]>f.‎ 证明　要证[f(x1)＋f(x2)]>f，‎ 即证明(tan x1＋tan x2)>tan ，‎ 只需证明>tan ，‎ 只需证明>.‎ 由于x1，x2∈，故x1＋x2∈(0，π)．‎ 所以cos x1cos x2>0，sin(x1＋x2)>0,1＋cos(x1＋x2)>0，‎ 故只需证明1＋cos(x1＋x2)>2cos x1cos x2，‎ 即证1＋cos x1cos x2－sin x1sin x2>2cos x1cos x2，‎ 即证cos(x1－x2)<1.‎ 由x1，x2∈，x1≠x2知上式显然成立，‎ 因此[f(x1)＋f(x2)]>f.‎ 引申探究 若本例中f(x)变为f(x)＝3x－2x，试证：对于任意的x1，x2∈R，均有≥f.‎ 证明　要证明≥f，‎ 即证明≥－2·，‎ 因此只要证明－(x1＋x2)≥－(x1＋x2)，‎ 即证明≥，‎ 因此只要证明≥，‎ 由于x1，x2∈R时，3x1>0,3x2>0，‎ 由基本不等式知≥显然成立，故原结论成立．‎ 思维升华　(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．‎ ‎(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．‎ ‎　(2016·苏州模拟)下列各式：‎ >，>，>，>.‎ 请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题(写出已知，求证)，并用分析法加以证明．‎ 解　已知a>b>0，m>0，求证：>.‎ 证明如下：∵a>b>0，m>0，欲证>，‎ 只需证a(b＋m)>b(a＋m)，只需证am>bm，‎ 只需证a>b，由已知得a>b成立，‎ 所以>成立．‎ 题型三　反证法的应用 命题点1　证明否定性命题 例3　(2016·连云港模拟)设{an}是公比为q的等比数列．‎ ‎(1)推导{an}的前n项和公式；‎ ‎(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．‎ ‎(1)解　设{an}的前n项和为Sn，‎ 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；‎ 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ①‎ qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn， ②‎ ‎①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，‎ ‎∴Sn＝，‎ ‎∴Sn＝ ‎(2)证明　假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，‎ ‎(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，‎ a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，‎ aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，‎ ‎∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.‎ ‎∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，‎ ‎∴q＝1，这与已知矛盾．‎ ‎∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．‎ 命题点2　证明存在性问题 例4　已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.‎ ‎(1)求证：SA⊥平面ABCD；‎ ‎(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎(1)证明　由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.‎ 同理SA⊥AB.‎ 又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，‎ ‎∴SA⊥平面ABCD.‎ ‎(2)解　假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.‎ ‎∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.‎ ‎∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，‎ ‎∴平面FBC∥平面SAD.‎ 这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，‎ ‎∴假设不成立．‎ ‎∴不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.‎ 命题点3　证明唯一性命题 例5　已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一个根．‎ 证明　由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝.‎ 假设x1，x2是它的两个不同的根，‎ 即ax1＝b， ①‎ ax2＝b， ②‎ 由①－②得a(x1－x2)＝0，‎ 因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，‎ 所以a＝0，这与已知矛盾，故假设错误．‎ 所以当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．‎ 思维升华　应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤 第一步：分清命题“p⇒q”的条件和结论；‎ 第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q；‎ 第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；‎ 第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真．‎ 所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．‎ ‎　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.‎ ‎(1)证明：是函数f(x)的一个零点；‎ ‎(2)试用反证法证明>c.‎ 证明　(1)∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，‎ ‎∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，‎ ‎∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，‎ 又x1x2＝，∴x2＝(≠c)，‎ ‎∴是f(x)＝0的一个根．‎ 即是函数f(x)的一个零点．‎ ‎(2)假设0，由00，‎ 知f()>0，与f()＝0矛盾，∴≥c，‎ 又∵≠c，∴>c.‎ ‎22．反证法在证明题中的应用 典例　(14分)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A、C两点，O是坐标原点．‎ ‎(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；‎ ‎(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．‎ 思想方法指导　在证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意：‎ ‎(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的．‎ ‎(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法．‎ ‎(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去．‎ 规范解答 ‎(1)解　因为四边形OABC为菱形，‎ 则AC与OB相互垂直平分．‎ 由于O(0,0)，B(0,1)，‎ 所以设点A，‎ 代入椭圆方程得＋＝1，‎ 则t＝±，故|AC|＝2.[4分]‎ ‎(2)证明　假设四边形OABC为菱形，‎ 因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，‎ 所以k≠0.‎ 由 消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.[7分]‎ 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则 ＝－， ‎＝k·＋m＝.‎ 所以AC的中点为M.[10分]‎ 因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，‎ 所以直线OB的斜率为－，‎ 因为k·＝－≠－1，‎ 所以AC与OB不垂直．[13分]‎ 所以OABC不是菱形，与假设矛盾．‎ 所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．[14分]‎ ‎1．(2017·泰州月考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是__________________________．‎ 答案　方程x2＋ax＋b＝0没有实根 解析　因为“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x2＋ax＋b＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”．‎ ‎2．若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为__________．‎ 答案　(－3,0]‎ 解析　若2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，‎ 则必有或k＝0.‎ 解得－30，则关于三个数＋，＋，＋的叙述正确的是________．‎ ‎①都大于2 ②至少有一个大于2‎ ‎③至少有一个不小于2 ④至少有一个不大于2‎ 答案　③‎ 解析　因为(＋)＋(＋)＋(＋)‎ ‎＝(＋)＋(＋)＋(＋)≥6，‎ 当且仅当x＝y＝z时等号成立．‎ 所以三个数中至少有一个不小于2，③正确．‎ ‎4．(2016·镇江模拟)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是____________．‎ 答案　P0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________．‎ 答案　①③④‎ 解析　要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立．‎ ‎6．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是________．‎ ‎①假设a，b，c都是偶数；‎ ‎②假设a，b，c都不是偶数；‎ ‎③假设a，b，c至多有一个偶数；‎ ‎④假设a，b，c至多有两个偶数．‎ 答案　②‎ 解析　“至少有一个”的否定为“都不是”，故②正确．‎ ‎7．(2016·全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．‎ 答案　1和3‎ 解析　由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．‎ ‎8．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是____________．‎ 答案　 解析　若二次函数f(x)≤0在区间[－1,1]内恒成立，‎ 则 解得p≤－3或p≥， ‎ 故满足题干条件的p的取值范围为.‎ ‎9．已知m>0，a，b∈R，求证：()2≤.‎ 证明　因为m>0，所以1＋m>0.‎ 所以要证原不等式成立，‎ 只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，‎ 即证m(a2－2ab＋b2)≥0，‎ 即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，‎ 故原不等式得证．‎ ‎10．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f(x＋)为偶函数．‎ 证明　由函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，可知f(x＋1)＝f(－x)．‎ 将x换成x－代入上式可得 f(x－＋1)＝f[－(x－)]，‎ 即f(x＋)＝f(－x＋)，‎ 由偶函数的定义可知f(x＋)为偶函数．‎ ‎11．(2016·苏州模拟)已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．‎ ‎(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；‎ ‎(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．‎ 证明　(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，‎ 不妨设x10.‎ ‎∵a>1，∴ax2－x1>1且ax1>0，‎ ‎∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.‎ 又∵x1＋1>0，x2＋1>0，‎ ‎∴－＝ ‎＝>0.‎ 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，‎ 故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．‎ ‎(2)假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，‎ 则ax0＝－.‎ ‎∵a>1，∴0

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