最新数学中考压轴题大全含答案 详细解析版

最新数学中考压轴题大全含答案 详细解析版

【最新】中考数学压轴题大全 （安徽）按右图所示的流程，输入一个数据 x，根据 y 与 x 的关系式就输 出 一 个 数 据 y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在 20～100 （含 20 和 100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求： （Ⅰ）新数据都在 60～100（含 60 和 100）之间； （Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大 的 对 应 的 新数据也较大。 （1）若 y 与 x 的关系是 y＝x＋p(100－x)，请说明：当 p＝ 1 2 时，这种变 换 满 足 上 述两个要求； （2）若按关系式 y=a(x－h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求 对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程） 【解】（1）当 P= 1 2 时，y=x＋  1 1002 x ,即 y= 1 502 x  。 ∴y 随着 x 的增大而增大，即 P= 1 2 时，满足条件（Ⅱ）……3 分 又当 x=20 时，y= 1 100 502   =100。而原数据都在 20～100 之间，所以新数据都在 60～100 之间，即满足 条件（Ⅰ），综上可知，当 P= 1 2 时，这种变换满足要求；……6 分 （2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若 x=20,100 时，y 的对 应值 m，n 能落在 60～100 之间，则这样的关系式都符合要求。 如取 h=20,y=  220a x k  ,……8 分 ∵a＞0，∴当 20≤x≤100 时，y 随着 x 的增大…10 分 令 x=20,y=60，得 k=60 ① 令 x=100,y=100，得 a×802＋k=100 ② 开始 y 与 x 的关系式 结束 输入 x 输出 y 由①②解得 1 160 60 a k     ， ∴  21 20 60160y x   。………14 分 2、（常州）已知 ( 1 )A m ， 与 (2 3 3)B m ， 是反比例函数 ky x  图象上的两个点． （1）求 k 的值； （2）若点 ( 1 0)C  ， ，则在反比例函数 ky x  图象上是否存在点 D ，使得以 A B C D， ， ， 四点为顶点的四边形为梯形？若存在， 求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由 ( 1) 2 ( 3 3)m m    ，得 2 3m   ，因此 2 3k  ．·················· 2 分 （2）如图 1，作 BE x 轴， E 为垂足，则 3CE  ， 3BE  ， 2 3BC  ，因此 30BCE  ∠ ． 由于点C 与点 A 的横坐标相同，因此CA x 轴，从而 120ACB  ∠ ． 当 AC 为底时，由于过点 B 且平行于 AC 的直线与双曲线只有一个公共点 B ， 故不符题意．····························································································3 分 当 BC 为底时，过点 A 作 BC 的平行线，交双曲线于点 D ， 过点 A D， 分别作 x 轴， y 轴的平行线，交于点 F ． 由于 30DAF  ∠ ，设 1 1( 0)DF m m  ，则 13AF m ， 12AD m ， 由点 ( 1 2 3)A  ， ，得点 1 1( 1 3 2 3 )D m m   ， ． 因此 1 1( 1 3 ) ( 2 3 ) 2 3m m     ， B C x y 1 1 1 1 O 解之得 1 7 33m  （ 1 0m  舍去），因此点 36 3D       ， ． 此时 14 33AD  ，与 BC 的长度不等，故四边形 ADBC 是梯形．·····················5 分 如图 2，当 AB 为底时，过点C 作 AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为 D ． 由于 AC BC ，因此 30CAB  ∠ ，从而 150ACD  ∠ ．作 DH x 轴， H 为垂足， 则 60DCH  ∠ ，设 2 2( 0)CH m m  ，则 23DH m ， 22CD m 由点 ( 1 0)C  ， ，得点 2 2( 1 3 )D m m  ， ， 因此 2 2( 1 ) 3 2 3m m   ． 解之得 2 2m  （ 2 1m   舍去），因此点 (1 2 3)D ， ． 此时 4CD  ，与 AB 的长度不相等，故四边形 ABDC 是梯形．····························7 分 如图 3，当过点 C 作 AB 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为 D 时， 同理可得，点 ( 2 3)D  ， ，四边形 ABCD 是梯形．·············································9 分 综上所述，函数 2 3y x  图象上存在点 D ，使得以 A B C D， ， ， 四点为顶点的四边形为梯形，点 D 的坐 图 1 A B C x y O F D E 图 2 A B C x y O D H B y 标为： 36 3D       ， 或 (1 2 3)D ， 或 ( 2 3)D  ， ．·················································10 分 3、（福建龙岩）如图，抛物线 2 5 4y ax ax   经过 ABC△ 的三个顶点，已知 BC x∥ 轴，点 A 在 x 轴上， 点C 在 y 轴上，且 AC BC ． （1）求抛物线的对称轴； （2）写出 A B C， ， 三点的坐标并求抛物线的解析式； （3）探究：若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，是否存在 PAB△ 是等腰三角形．若存在，求 出所有符合条件的点 P 坐标；不存在，请说明理由． 解：（1）抛物线的对称轴 5 5 2 2 ax a    ………2 分 （2） ( 3 0)A  ， (5 4)B ， (0 4)C ， …………5 分 把点 A 坐标代入 2 5 4y ax ax   中，解得 1 6a   ………6 分 21 5 46 6y x x     …………………………………………7 分 A C B y x0 1 1 （3）存在符合条件的点 P 共有 3 个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与 x 轴交于 N ，与CB 交于 M ． 过点 B 作 BQ x 轴于 Q ，易 得 4BQ  ， 8AQ  ， 5.5AN  ， 5 2BM  1 ·········································································································· 以 AB 为腰且顶角为角 A 的 PAB△ 有 1 个： 1P AB△ ． 2 2 2 2 28 4 80AB AQ BQ      ·······················································8 分 在 1Rt ANP△ 中， 2 2 2 2 2 1 1 19980 (5.5) 2PN AP AN AB AN       1 5 199 2 2P       ， ···············································································9 分 ②以 AB 为腰且顶角为角 B 的 PAB△ 有 1 个： 2P AB△ ． 在 2Rt BMP△ 中， 2 2 2 2 2 2 25 29580 4 2MP BP BM AB BM       10 分 2 5 8 295 2 2P       ， ···········································································11 分 ③以 AB 为底，顶角为角 P 的 PAB△ 有 1 个，即 3P AB△ ． 画 AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于 3P ，此时平分线必过等腰 ABC△ 的顶点C ． 过点 3P 作 3P K 垂直 y 轴，垂足为 K ，显然 3Rt RtPCK BAQ△ ∽ △ ． 3 1 2 P K BQ CK AQ    ． A x0 1 1 Ｑ 2P 1P 3P Ｎ Ｍ Ｋ y 3 2.5P K  5CK  于是 1OK  ················································ 13 分 3 (2.5 1)P ， ····················································································14 分 注：第（3）小题中，只写出点 P 的坐标，无任何说明者不得分． 4、（福州）如图 12，已知直线 1 2y x 与双曲线 ( 0)ky kx   交于 A B， 两点，且点 A 的横坐标为 4 ． （1）求 k 的值； （2）若双曲线 ( 0)ky kx   上一点C 的纵坐标为 8，求 AOC△ 的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线 ( 0)ky kx   于 P Q， 两 点（ P 点在第 一象限），若由点 A B P Q， ， ， 为顶点组成的四边形面积为 24 ，求点 P 的坐标． 解：(1)∵点 A 横坐标为 4 , ∴当 x = 4 时， y = 2 . ∴ 点 A 的坐标为（ 4，2 ）. ∵ 点 A 是直线 与双曲线 （k>0）的交点 , ∴ k = 4 ×2 = 8 . (2) 解法一：如图 12-1， ∵ 点 C 在双曲线 上，当 y = 8 时， x = 1 ∴ 点 C 的坐标为 ( 1, 8 ) . 过点 A、C 分别做 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 M、N，得矩形 DMON . S 矩形 ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM = 4 . S△AOC= S 矩形 ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 . 解法二：如图 12-2， 过点 C、A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E、F， 图 12 O x A y B xy 2 1 xy 8 ∵ 点 C 在双曲线 8y x  上，当 y = 8 时， x = 1 . ∴ 点 C 的坐标为 ( 1, 8 ). ∵ 点 C、A 都在双曲线 8y x  上 , ∴ S△COE = S△AOF = 4 。 ∴ S△COE + S 梯形 CEFA = S△COA + S△AOF . ∴ S△COA = S 梯形 CEFA . ∵ S 梯形 CEFA = 1 2 ×（2+8）×3 = 15 , ∴ S△COA = 15 . （3）∵ 反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形 , ∴ OP=OQ，OA=OB . ∴ 四边形 APBQ 是平行四边形 . ∴ S△POA = S 平行四边形 APBQ = ×24 = 6 . 设点 P 的横坐标为 m （ m > 0 且 4m  ）, 得 P ( m , ) . 过点 P、A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E、F， ∵ 点 P、A 在双曲线上，∴S△POE = S△AOF = 4 . 若 0＜ m ＜4，如图 12-3， ∵ S△POE + S 梯形 PEFA = S△POA + S△AOF, ∴ S 梯形 PEFA = S△POA = 6 . 4 1 4 1 m 8 ∴ 1 8(2 ) (4 ) 62 mm     . 解得 m = 2， m = - 8(舍去) . ∴ P（2，4）. 若 m ＞ 4，如图 12-4， ∵ S△AOF+ S 梯形 AFEP = S△AOP + S△POE, ∴ S 梯形 PEFA = S△POA = 6 . ∴ 1 8(2 ) ( 4) 62 mm     ， 解得 m = 8， m = - 2 (舍去) . ∴ P（8，1）. ∴ 点 P 的坐标是 P（2，4）或 P（8，1）. 5、（甘肃陇南）如图，抛物线 21 2y x mx n   交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，点 P 是它的顶点，点 A 的横坐标是  3，点 B 的横坐标是 1． (1)求 m 、 n 的值； (2）求直线 PC 的解析式； (3）请探究以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线 PC 的位置关系，并说明理由．(参考数： 2 1.41 ， 3 1.73 ， 5 2.24 ) 解： (1)由已知条件可知： 抛物线 21 2y x mx n   经过 A(-3，0)、B(1，0)两点． ∴ 90 3 ,2 10 .2 m n m n         ……………………………………2 分 解得 31, 2m n   ． ………………………3 分 (2) ∵ 21 3 2 2y x x   ， ∴ P(-1，-2)，C 3(0, )2  ． …………………4 分 设直线 PC 的解析式是 y kx b  ，则 2 , 3.2 k b b       解得 1 3,2 2k b   ． ∴ 直线 PC 的解析式是 1 3 2 2y x  ． …………………………6 分 说明：只要求对 1 3 2 2k b  ， ，不写最后一步，不扣分． (3) 如图，过点 A 作 AE⊥PC，垂足为 E． 设直线 PC 与 x 轴交于点 D，则点 D 的坐标为(3，0)． ………………………7 分 在 Rt△OCD 中，∵ OC= 3 2 ， 3OD  ， ∴ 2 23 3( ) 3 52 2CD    ． …………8 分 ∵ OA=3， 3OD  ，∴AD=6． …………9 分 ∵ ∠COD=∠AED=90o，∠CDO 公用， ∴ △COD∽△AED． ……………10 分 ∴ OC CD AE AD  ， 即 3 3 52 2 6AE  ． ∴ 6 55AE  ． …………………11 分 ∵ 6 5 2.688 2.55  ， ∴ 以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线 PC 相离． …………12 分 6、（贵阳）如图 14，从一个直径是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90 的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留  ）．（3 分） （2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理 由．（4 分） （3）当 O 的半径 ( 0)R R  为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5 分） 解：（1）连接 BC ，由勾股定理求得： 2AB AC  ··················································· 1 分 2 1 360 2 n RS    ···················································2 分 （2）连接 AO 并延长，与弧 BC 和 O 交于 E F， ， 2 2EF AF AE    ··········································································· 1 分 弧 BC 的长： 2 180 2 n Rl    ····································································· 2 分 22 2r   圆锥的底面直径为： 22 2r  ···································································3 分 22 2 2   ，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．······ 4 分 （3）由勾股定理求得： 2AB AC R  弧 BC 的长： 2 180 2 n Rl R   ··································································· 1 分 22 2r R   圆锥的底面直径为： 22 2r R ································································2 分 2 2 (2 2)EF AF AE R R R      22 2 2   且 0R  A B CO ① ② ③ E F 2(2 2) 2R R   ·················································································3 分 即无论半径 R 为何值， 2EF r ···································································4 分 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． 7、（河南）如图，对称轴为直线 x＝ 2 7 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形， 求四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）①当四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断 OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点 E，使四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 8、（湖北黄岗）已知：如图，在平面直角坐标系中， 四 边 形 ABCO 是菱形，且∠AOC=60°，点 B 的坐标是 (0,8 3) ， 点 P 从点 C 开始以每秒 1 个单位长度的速度在线段 CB 上向点 B 移 动 ， 设 (0 8)t t  秒后，直线 PQ 交 OB 于点 D. （1）求∠AOB 的度数及线段 OA 的长； B AC D P O Q x y （2）求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式； （3）当 43, 33a OD  时，求 t 的值及此时直线 PQ 的解析式； （4）当 a 为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与 OAB 相似？当 a 为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点 的三角形与 OAB 不相似？请给出你的结论，并加以证明. 9、（湖北荆门）如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)， 点 P 是 OA 边上的动点(与点 O、A 不重合)．现将△PAB 沿 PB 翻折，得到△PDB；再在 OC 边上选取适当的点 E， 将△POE 沿 PE 翻折，得到△PFE，并使直线 PD、PF 重合． (1)设 P(x，0)，E(0，y)，求 y 关于 x 的函数关系式，并求 y 的最大值； (2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、B、E 的抛物线的函数关系式； (3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使△PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说 明理由；若存在，求出点 Q 的坐标． 解：(1)由已知 PB 平分∠APD，PE 平分∠OPF， 且 PD、PF 重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又 ∠APB ＋ ∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA． ∴Rt△POE∽Rt△BPA．…………………………………………………………2 分 ∴ PO BA OE AP  ．即 3 4 x y x   ．∴y= 21 1 4(4 )3 3 3x x x x    (0＜x＜4)． 图 1 图 2 且当 x=2 时，y 有最大值 1 3 ．…………………………………………………4 分 (2)由已知，△PAB、△POE 均为等腰三角形，可得 P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6 分 设过此三点的抛物线为 y=ax2＋bx＋c，则 1, 0, 16 4 3. c a b c a b c          ∴ 1 ,2 3 ,2 1. a b c         y= 21 3 12 2x x  ．…………………………………………………………8 分 (3)由(2)知∠EPB=90°，即点 Q 与点 B 重合时满足条件．……………………9 分 直线 PB 为 y=x－1，与 y 轴交于点(0，－1)． 将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E(0，1)， ∴该直线为 y=x＋1．……………………………………………………………10 分 由 2 1, 1 3 1,2 2 y x y x x      得 5, 6. x y    ∴Q(5，6)． 故该抛物线上存在两点 Q(4，3)、(5，6)满足条件．……………………………12 分 y x NH D PQ E M C B AO （2009 年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DE⊥DC，交 OA 于点 E． （1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式； （2）将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点 G．如 果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 6 5 ，那么 EF=2GO 是否成立？若成立，请给予证明； 若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、 G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 26．解：（1）由已知，得 (3 0)C ， ， (2 2)D ， ， 90ADE CDB BCD      ° ， 1tan 2 tan 2 12AE AD ADE BCD         ．  (01)E ， ．······························································································ （1 分） 设过点 E D C、 、 的抛物线的解析式为 2 ( 0)y ax bx c a    ． 将点 E 的坐标代入，得 1c  ． 将 1c  和点 D C、 的坐标分别代入，得 4 2 1 2 9 3 1 0. a b a b        ， ·······················································································（2 分） 解这个方程组，得 5 6 13 6 a b      故抛物线的解析式为 25 13 16 6y x x    ．····················································（3 分） （2） 2EF GO 成立．············································································· （4 分） 点 M 在该抛物线上，且它的横坐标为 6 5 ， 点 M 的纵坐标为12 5 ．············································································ （5 分） 设 DM 的解析式为 1( 0)y kx b k   ， 26 题图 y x D B C A EE O y x D B C A EE O ＭF KGG 将点 D M、 的坐标分别代入，得 1 1 2 2 6 12 .5 5 k b k b     ， 解得 1 1 2 3 k b      ， ．  DM 的解析式为 1 32y x   ．······························································· （6 分）  (0 3)F ， ， 2EF  ．··············································································· （7 分） 过点 D 作 DK OC⊥ 于点 K ， 则 DA DK ． 90ADK FDG    °， FDA GDK   ． 又 90FAD GKD    °， DAF DKG△ ≌△ ． 1KG AF   ． 1GO  ．····························································································· （8 分） 2EF GO  ． （3）点 P 在 AB 上， (1 0)G ， ， (3 0)C ， ，则设 (1 2)P ， ．  2 2 2( 1) 2PG t   ， 2 2 2(3 ) 2PC t   ， 2GC  ． ①若 PG PC ，则 2 2 2 2( 1) 2 (3 ) 2t t     ， 解得 2t  ． (2 2)P ， ，此时点Q 与点 P 重合．  (2 2)Q ， ．····························································································· （9 分） ②若 PG GC ，则 2 2( 1) 2 2t    ， 解得 1t  ， (1 2)P ， ，此时GP x⊥ 轴． GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为 1， 点Q 的纵坐标为 7 3 ．  71 3Q     ， ．··························································································（10 分） ③若 PC GC ，则 2 2 2(3 ) 2 2t   ， 解得 3t  ， (3 2)P ， ，此时 2PC GC  ， PCG△ 是等腰直角三角形． 过点Q 作QH x⊥ 轴于点 H ， y D BA EE Q P (P) (Q) Q (P) 则QH GH ，设QH h ， ( 1 )Q h h  ， ． 25 13( 1) ( 1) 16 6h h h      ． 解得 1 2 7 25h h  ， （舍去）． 12 7 5 5Q     ， ．······································（12 分） 综上所述，存在三个满足条件的点Q ， 即 (2 2)Q ， 或 71 3Q     ， 或 12 7 5 5Q     ， ． （2009 年重庆綦江县）26．（11 分）如图，已知抛物线 ( 1)2 3 3( 0)y a x a    经过点 ( 2 )A  ，0 ，抛物线的 顶点为 D ，过 O 作射线OM AD∥ ．过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线OM 于点C ， B 在 x 轴正半轴上，连 结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点 P 从点O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点 P 运动的时间为 ( )t s ．问当t 为 何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB ，动点 P 和动点Q 分别从点O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的 速度沿OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ( )s ，连 接 PQ ，当t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时 PQ 的长． *26．解：（1）抛物线 2( 1) 3 3( 0)y a x a    经过点 ( 2 0)A  ， ， 30 9 3 3 3a a      ···············································································1 分 二次函数的解析式为： 23 2 3 8 3 3 3 3y x x    ············································3 分 （2） D 为抛物线的顶点 (13 3)D ， 过 D 作 DN OB 于 N ，则 3 3DN  ， x y M CD P QO A B 2 23 3 (3 3) 6 60AN AD DAO      ， °·············································4 分 OM AD ∥ ① 当 AD OP 时，四边形 DAOP 是平行四边形 6 6(s)OP t    ·········································· 5 分 ② 当 DP OM 时，四边形 DAOP 是直角梯形 过O 作OH AD 于 H ， 2AO  ，则 1AH  （如果没求出 60DAO  °可由 Rt RtOHA DNA△ ∽ △ 求 1AH  ） 5 5(s)OP DH t    ·················································································6 分 ③ 当 PD OA 时，四边形 DAOP 是等腰梯形 2 6 2 4 4(s)OP AD AH t        综上所述：当 6t  、5、4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．· 7 分 （3）由（2）及已知， 60COB OC OB OCB  °， ，△ 是等边三角形 则 6 2 6 2 (0 3)OB OC AD OP t BQ t OQ t t         ， ， ， 过 P 作 PE OQ 于 E ，则 3 2PE t ································································8 分 1 1 36 3 3 (6 2 )2 2 2BCPQS t t        = 23 3 63 32 2 8t     ····················································································· 9 分 当 3 2t  时， BCPQS 的面积最小值为 63 38 ·························································· 10 分 此时 3 3 3 9 3 33 32 4 4 4 4OQ OP OE QE PE      ， = ， 2 2 2 2 3 3 9 3 3 4 4 2PQ PE QE                 ··············································· 11 分 （2009 年河北省）26．（本小题满分 12 分） 如图 16，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀 速运动．伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E．点 P、Q 同时出 发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止．设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t＞0）． x y M C D P QO A BNE H B E （1）当 t = 2 时，AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ； （2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求△APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围） （3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成 为直角梯形？若能，求 t 的值．若不能，请说明理由； （4）当 DE 经过点 C 时，请直接．．写出 t 的值． 26．解：（1）1， 8 5 ； （2）作 QF⊥AC 于点 F，如图 3， AQ = CP= t，∴ 3AP t  ． 由△AQF∽△ABC， 2 25 3 4BC    ， 得 4 5 QF t ．∴ 4 5QF t ． ∴ 1 4(3 )2 5S t t   ， 即 22 6 5 5S t t   ． （3）能． ①当 DE∥QB 时，如图 4． ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形 QBED 是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABC，得 AQ AP AC AB  ， 即 3 3 5 t t ． 解得 9 8t  ． ②如图 5，当 PQ∥BC 时，DE⊥BC，四边形 QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得 AQ AP AB AC  ， 即 3 5 3 t t ． 解得 15 8t  ． （4） 5 2t  或 45 14t  ． 【注：①点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C． 方法一、连接 QC，作 QG⊥BC 于点 G，如图 6． PC t ， 2 2 2QC QG CG  2 23 4[ (5 )] [4 (5 )]5 5t t     ． 由 2 2PC QC ，得 2 2 23 4[ (5 )] [4 (5 )]5 5t t t     ，解得 5 2t  ． 方法二、由 CQ CP AQ  ，得 QAC QCA   ，进而可得 B BCQ   ，得 CQ BQ ，∴ 5 2AQ BQ  ．∴ 5 2t  ． ②点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C，如图 7． A C B P Q E D 图 4 A C ) B P Q D 图 3 E ) F A C B P Q ED 图 5 A C(E) B P Q D 图 6 G A C(E) B P Q D 图 7 G 2 2 23 4(6 ) [ (5 )] [4 (5 )]5 5t t t      ， 45 14t  】 （2009 年河南省）23.（11 分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0）、C（8， 0）、D（8，8）.抛物线 y=ax2+bx 过 A、C 两点. (1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点 P 从点 A 出发．沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向终点 D 运动．速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E ①过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长? ②连接 EQ．在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的 t 值. 解.(1)点 A 的坐标为（4，8） …………………1 分 将 A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得 a=- 1 2 ,b=4 ∴抛物线的解析式为：y=- 1 2 x2+4x …………………3 分 （2）①在 Rt△APE 和 Rt△ABC 中，tan∠PAE= PE AP = BC AB ,即 PE AP = 4 8 ∴PE= 1 2 AP= 1 2 t．PB=8-t． ∴点Ｅ的坐标为（4+ 1 2 t，8-t）. ∴点 G 的纵坐标为：- 1 2 （4+ 1 2 t）2+4(4+ 1 2 t）=- 1 8 t2+8. …………………5 分 ∴EG=- 1 8 t2+8-(8-t) =- 1 8 t2+t. ∵- 1 8 ＜0，∴当 t=4 时，线段 EG 最长为 2. …………………7 分 ②共有三个时刻. …………………8 分 t1=16 3 ， t2= 40 13 ，t3= 8 5 2 5 ． …………………11 分 (2009 年山西省)26．（本题 14 分）如图，已知直线 1 2 8: 3 3l y x  与直线 2 : 2 16l y x   相交于点C l l1 2， 、 分 别交 x 轴于 A B、 两点．矩形 DEFG 的顶点 D E、 分别在直线 1 2l l、 上，顶点 F G、 都在 x 轴上，且点G 与 点 B 重合． （1）求 ABC△ 的面积； （2）求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长； （3）若矩形 DEFG 从原点出发，沿 x 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设 移动时间为 (0 12)t t≤ ≤ 秒，矩形 DEFG 与 ABC△ 重叠部分的面积为 S ，求 S 关 t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． 26．（1）解：由 2 8 03 3x   ，得 4x A  ． 点坐标为 4 0 ， ． 由 2 16 0x   ，得 8x B ． 点坐标为  8 0， ． ∴  8 4 12AB     ．·········································································（2 分） 由 2 8 3 3 2 16 y x y x        ， ． 解得 5 6 x y    ， ．∴C 点的坐标为 5 6， ．································（3 分） ∴ 1 1 12 6 362 2ABC CS AB y    △ · ．··················································· （4 分） （2）解：∵点 D 在 1l 上且 2 88 8 83 3D B Dx x y      ， ． ∴ D 点坐标为 8 8， ．··········································································· （5 分） 又∵点 E 在 2l 上且 8 2 16 8 4E D E Ey y x x      ， ． ． A D B E O C F x y 1l2l （G） （第 26 题） ∴ E 点坐标为 4 8， ．··········································································· （6 分） ∴ 8 4 4 8OE EF   ， ．··································································（7 分） （3）解法一：① 当 0 3t ≤ 时，如图 1，矩形 DEFG 与 ABC△ 重叠部分为五边形CHFGR（ 0t  时， 为四边形CHFG ）．过C 作CM AB 于 M ，则 Rt RtRGB CMB△ ∽ △ ． ∴ BG RG BM CM  ，即 3 6 t RG ，∴ 2RG t ． Rt RtAFH AMC △ ∽ △ ， ∴    1 1 236 2 8 82 2 3ABC BRG AFHS S S S t t t t          △ △ △ ． 即 24 16 44 3 3 3S t t    ．···························································（10 分） （2009 年山西省太原市）29．（本小题满分 12 分） 问题解决 如图（1），将正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在CD 边上一点 E （不与点 C ， D 重合），压平后得到折痕 MN ．当 1 2 CE CD  时，求 AM BN 的值． 类比归纳 在图（1）中，若 1 3 CE CD  ，则 AM BN 的值等于 ；若 1 4 CE CD  ，则 AM BN 的值等于 ；若 1CE CD n  （ n 为整数），则 AM BN 的值等于 ．（用含 n 的式子表示） 联系拓广 如图（2），将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在CD 边上一点 E（不与点C D， 重合），压平后得到折痕 MN， 设  1 11AB CEmBC m CD n   ， ，则 AM BN 的值等于 ．（用含 m n， 的式子表示） A D B E O R F x y 1l2l M （图 3） G C A D B E O C F x y 1l2l G （图 1） R M A D B E O C F x y 1l2l G （图 2） R M 方法指导： 为了求得 AM BN 的值，可先求 BN 、 AM 的长，不妨设： AB 图（1） A B C D E FM N 29．问题解决 解：方法一：如图（1-1），连接 BM EM BE， ， ． 由题设，得四边形 ABNM 和四边形 FENM 关于直线 MN 对称． ∴ MN 垂直平分 BE ．∴ BM EM BN EN ， ．····································· 1 分 ∵四边形 ABCD 是正方形，∴ 90 2A D C AB BC CD DA         °, ． ∵ 1 12 CE CE DECD    ， ．设 BN x ，则 NE x ， 2NC x  ． 在 Rt CNE△ 中， 2 2 2NE CN CE  ． ∴  22 22 1x x   ．解得 5 4x  ，即 5 4BN  ．·········································· 3 分 在 Rt ABM△ 和在 Rt DEM△ 中， 2 2 2AM AB BM  ， 2 2 2DM DE EM  ，  2 2 2 2AM AB DM DE   ．······························································ 5 分 设 AM y ，则 2DM y  ，∴  22 2 22 2 1y y    ． 解得 1 4y  ，即 1 4AM  ．······································································ 6 分 ∴ 1 5 AM BN  ．······················································································ 7 分 方法二：同方法一， 5 4BN  ．·································································3 分 如图（1－2），过点 N 做 NG CD∥ ，交 AD 于点G ，连接 BE． 图（2） N A B C D E F M N 图（1-1） A B C D E FM ∵ AD BC∥ ，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴ NG CD BC  ． 同理，四边形 ABNG 也是平行四边形．∴ 5 4AG BN  ． ∵ 90MN BE EBC BNM    ， °． 90NG BC MNG BNM EBC MNG        ， °， ． 在 BCE△ 与 NGM△ 中 90 EBC MNG BC NG C NGM          ， ， °． ∴ BCE NGM EC MG△ ≌△ ， ．··························５分 ∵ 11 4AM AG MG AM   5， = ．4 ······················································6 分 ∴ 1 5 AM BN  ．·····················································································7 分 类比归纳 2 5 （或 4 10 ）； 9 17 ；  2 2 1 1 n n   ································································· 10 分 联系拓广 2 2 2 2 2 1 1 n m n n m    ······················································································· 12 分 评分说明：1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分． 2．如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没有影响，可依据参考 答案及评分说明进行估分． （2009 年安徽省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义． 【解】 金额 w（元） 300 200 N 图（1-2） A B C D E FM G O 6020 4 批发单价（元） 5 批发量（kg） ① ② 第 23 题图（1） O 62 40 日 最高销量（kg） 80 零售价（元） 第 23 题图（2） 4 8 （6，80） （7，40） （2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的 函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果． 【解】 （3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， 使得当日获得的利润最大． 【解】 23．（1）解：图①表示批发量不少于 20kg 且不多于 60kg 的该种水果， 可按 5 元/kg 批发；……3 分 图②表示批发量高于 60kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发． ………………………………………………………………3 分 （2）解：由题意得： 20 60 60 5 4 m m w m m    ≤ ≤（ ） ）＞（ ，函数图象如图所示． 金额 w（元） O 批发量 m（kg） 300 200 100 20 40 60 240 ………………………………………………………………7 分 由图可知资金金额满足 240＜w≤300 时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．……………………………8 分 （3）解法一： 设当日零售价为 x 元，由图可得日最高销量 320 40w m  当 m＞60 时，x＜6.5 由题意，销售利润为 2( 4)(320 40 ) 40[ ( 6) 4]y x m x       ………………………………12 分 当 x＝6 时， 160y 最大值 ，此时 m＝80 即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg， 当日可获得最大利润 160 元．……………………………………………14 分 解法二： 设日最高销售量为 xkg（x＞60） 则由图②日零售价 p 满足： 320 40x p  ，于是 320 40 xp  销售利润 2320 1( 4) ( 80) 16040 40 xy x x      ………………………12 分 当 x＝80 时， 160y 最大值 ，此时 p＝6 即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg， 当日可获得最大利润 160 元．……………………………………………14 分 （2009 年江西省）25．如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD BC∥ ，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF BC∥ 交CD 于点 F ． 4 6AB BC ， ， 60B  ∠ . （1）求点 E 到 BC 的距离； （2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM EF 交 BC 于点 M ，过 M 作 MN AB∥ 交折线 ADC 于点 N ，连结 PN ，设 EP x . ①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2）， PMN△ 的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN△ 的周长；若改变， 请说明理由； ②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P ，使 PMN△ 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求 的 x 的值；若不存在，请说明理由. A D E B F C 图 4（备用） A D E B F C 图 5（备用） A D E B F C 图 1 图 2 A D E B F C P N M 图 3 A D E B F C P N M （第 25 题） 25．（1）如图 1，过点 E 作 EG BC 于点G．···················· 1 分 ∵ E 为 AB 的中点， ∴ 1 22BE AB  ． 在 Rt EBG△ 中， 60B  ∠ ，∴ 30BEG  ∠ ．············2 分 ∴ 2 21 1 2 1 32BG BE EG    ， ． 即点 E 到 BC 的距离为 3．······································3 分 （2）①当点 N 在线段 AD 上运动时， PMN△ 的形状不发生改变． ∵ PM EF EG EF ， ，∴ PM EG∥ ． ∵ EF BC∥ ，∴ EP GM ， 3PM EG  ． 同理 4MN AB  ．···················································································4 分 如图 2，过点 P 作 PH MN 于 H ，∵ MN AB∥ ， ∴ 60 30NMC B PMH    ∠ ∠ ，∠ ． ∴ 1 3 2 2PH PM  ． ∴ 3cos30 2MH PM   ． 则 3 54 2 2NH MN MH     ． 在 Rt PNH△ 中， 22 2 2 5 3 72 2PN NH PH               ． ∴ PMN△ 的周长= 3 7 4PM PN MN     ．······································· 6 分 ②当点 N 在线段 DC 上运动时， PMN△ 的形状发生改变，但 MNC△ 恒为等边三角形． 当 PM PN 时，如图 3，作 PR MN 于 R ，则 MR NR ． 类似①， 3 2MR  ． ∴ 2 3MN MR  ．···················································································· 7 分 ∵ MNC△ 是等边三角形，∴ 3MC MN  ． 此时， 6 1 3 2x EP GM BC BG MC         ．···································· 8 分 图 1 A D E B F CG 图 2 A D E B F C P N MG H 图 3 A D E B F C P N M 图 4 A D E B F C P M N 图 5 A D E B F（P） C M N GG R G 当 MP MN 时，如图 4，这时 3MC MN MP   ． 此时， 6 1 3 5 3x EP GM       ． 当 NP NM 时，如图 5， 30NPM PMN  ∠ ∠ ． 则 120PMN  ∠ ，又 60MNC  ∠ ， ∴ 180PNM MNC  ∠ ∠ ． 因此点 P 与 F 重合， PMC△ 为直角三角形． ∴ tan30 1MC PM   ． 此时， 6 1 1 4x EP GM      ． 综上所述，当 2x  或 4 或 5 3 时， PMN△ 为等腰三角形．·····················10 分 （2009 年广东广州）25.（本小题满分 14 分） 如图 13，二次函数 )0(2  pqpxxy 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，-1），ΔABC 的面积为 4 5 。 （1）求该二次函数的关系式； （2）过 y 轴上的一点 M（0，m）作 y 轴的垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆 有公共点，求 m 的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使四边形 ABCD 为直角梯形？若存 在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。 25.（本小题满分 14 分） 解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知 0.5OC×AB= 4 5 ,得 AB= 5 2 ， 设 A（a,0）,B(b,0)AB=b a= 2( ) 4a b ab  = 5 2 ，解得 p= 3 2  ,但 p<0,所以 p= 3 2  。 所以解析式为： 2 3 12y x x   （2）令 y=0，解方程得 2 3 1 02x x   ，得 1 2 1 , 22x x   ,所以 A( 1 2  ,0),B(2,0),在直角三角形 AOC 中可求得 AC= 5 2 ,同样可求得 BC= 5 ,，显然 AC2+BC2=AB2,得三角形 ABC 是直角三角形。AB 为斜边，所以外接圆的直径为 AB= 5 2 ,所以 5 5 4 4m   . （3）存在，AC⊥BC,①若以 AC 为底边，则 BD//AC,易求 AC 的解析式为 y=-2x-1,可设 BD 的解析式 为 y=-2x+b，把 B(2,0)代入得 BD 解析式为 y=-2x+4，解方程组 2 3 12 2 4 y x x y x         得 D（ 5 2  ,9） ②若以 BC 为底边，则 BC//AD,易求 BC 的解析式为 y=0.5x-1,可设 AD 的解析式为 y=0.5x+b，把 A( 1 2  ,0)代入得 AD 解析式为 y=0.5x+0.25，解方程组 2 3 12 0.5 0.25 y x x y x        得 D( 5 3,2 2 ) 综上，所以存在两点：（ 5 2  ,9）或( 5 3,2 2 )。 （2009 年广东省中山市）22. （本题满分 9 分）正方形 ABCD 边长为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点， 当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直. （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN； （2）设 BM=x，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积； （3）当 M 点运动到什么位置时 Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时 x 的值. D B A M C N （2009 年哈尔滨市）28．(本题 10 分） 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（－3，4）， 点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H． （1）求直线 AC 的解析式； （2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位／秒的速度向终点 C 匀速运动， 设△PMB 的面积为 S（S≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范 围）； （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角 的正切值． (2009 山东省泰安市)26（本小题满分 10 分） 如 图 所 示 ， 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ， ∠ ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E 是 AB 的中点，CE⊥BD。 （1） 求证：BE=AD； （2） 求证：AC 是线段 ED 的垂直平分线； （3） △DBC 是等腰三角形吗？并说明理由。 26、（本小题满分 10 分） 证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC， ∴∠1 与∠3 互余，∠2 与∠3 互余， ∴∠1=∠2…………………………………………………1 分 ∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC ∴△BAD≌△CBE…………………………………………2 分 ∴AD=BE……………………………………………………3 分 （2）∵E 是 AB 中点， ∴EB=EA 由（1）AD=BE 得：AE=AD……………………………5 分 ∵AD∥BC ∴∠7=∠ACB=45° ∵∠6=45° ∴∠6=∠7 由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。 即，AC 是线段 ED 的垂直平分线。……………………7 分 （3）△DBC 是等腰三角（CD=BD）……………………8 分 理由如下： 由（2）得：CD=CE 由（1）得：CE=BD ∴CD=BD ∴△DBC 是等腰三角形。……………………………10 分 （2009 年威海市）25．（12 分） 一次函数 y ax b  的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 ,M N ，与反比例函数 ky x  的图象相交于点 ,A B ．过 点 A 分别作 AC x 轴， AE y 轴，垂足分别为 ,C E ；过点 B 分别作 BF x 轴， BD y 轴，垂足分别为 F D， ，AC 与 BD 交于点 K ，连接 CD ． （1）若点 A B， 在反比例函数 ky x  的图象的同一分支上，如图 1，试证明： ① AEDK CFBKS S四边形 四边形 ； ② AN BM ． （2）若点 A B， 分别在反比例函数 ky x  的图象的不同分支上，如图 2，则 AN 与 BM 还相等吗？试证明你 的结论． 25．（本小题满分 12 分） 解：（1）① AC x ⊥ 轴， AE y⊥ 轴， 四边形 AEOC 为矩形．  BF x⊥ 轴， BD y⊥ 轴， 四边形 BDOF 为矩形． AC x ⊥ 轴， BD y⊥ 轴， 四边形 AEDK DOCK CFBK， ， 均为矩形．···········1 分  1 1 1 1OC x AC y x y k  ， ， ，  1 1AEOCS OC AC x y k   矩形  2 2 2 2OF x FB y x y k  ， ， ，  2 2BDOFS OF FB x y k   矩形 ．  AEOC BDOFS S矩形 矩形 ．  AEDK AEOC DOCKS S S 矩形 矩形 矩形 ， CFBK BDOF DOCKS S S 矩形 矩形 矩形 ，  AEDK CFBKS S矩形 矩形 ．·················································································· 2 分 O C F M D E N K y x 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， （第 25 题图 1） O C D K F E N y x 1 1( )A x y， 3 3( )B x y， M （第 25 题图 2） O C F M D E N K y x A B 图 1 ②由（1）知 AEDK CFBKS S矩形 矩形 ．  AK DK BK CK  ．  AK BK CK DK  ．······························································································4 分  90AKB CKD    °，  AKB CKD△ ∽△ ．····················································································5 分  CDK ABK   ．  AB CD∥ ．······························································································· 6 分  AC y∥ 轴， 四边形 ACDN 是平行四边形．  AN CD ．······························································································· 7 分 同理 BM CD ． AN BM  ．·······························································································8 分 （2） AN 与 BM 仍然相等．············································································· 9 分  AEDK AEOC ODKCS S S 矩形 矩形 矩形 ， BKCF BDOF ODKCS S S 矩形 矩形 矩形 ， 又 AEOC BDOFS S k 矩形 矩形 ，  AEDK BKCFS S矩形 矩形 ．·····························10 分  AK DK BK CK  ．  CK DK AK BK  ．  K K   ，  CDK ABK△ ∽△ ．  CDK ABK   ．  AB CD∥ ．······························································································11 分  AC y∥ 轴， 四边形 ANDC 是平行四边形．  AN CD ． 同理 BM CD ．  AN BM ．·····························································································12 分 （2009 年烟台市）26．(本题满分 14 分) 如图，抛物线 2 3y ax bx   与 x 轴交于 A B， 两点，与 y 轴交于 C 点，且经过点 (2 3 )a， ，对称轴是直线 1x  ，顶点是 M ． （1） 求抛物线对应的函数表达式； O C D K F E N y x A B M 图 2 （2） 经过C,M 两点作直线与 x 轴交于点 N ，在抛物线上是否存在这样的点 P ，使以点 P A C N， ， ， 为 顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3） 设直线 3y x   与 y 轴的交点是 D ，在线段 BD 上任取一点 E（不与 B D， 重合），经过 A B E， ， 三点的圆交直线 BC 于点 F ，试判断 AEF△ 的形状，并说明理由； （4） 当 E 是直线 3y x   上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）． 26．（本题满分 14 分） 解：（1）根据题意，得 3 4 2 3 1.2 a a b b a      ， ·············· 2 分 解得 1 2. a b     ， 抛物线对应的函数表达式为 2 2 3y x x   ．········ 3 分 （2）存在． 在 2 2 3y x x   中，令 0x  ，得 3y   ． 令 0y  ，得 2 2 3 0x x   ， 1 21 3x x   ， ． ( 1 0)A  ， ， (3 0)B ， ， (0 3)C ， ． 又 2( 1) 4y x   ，顶点 (1 4)M ， ．·······························································5 分 容易求得直线CM 的表达式是 3y x   ． 在 3y x   中，令 0y  ，得 3x   ． ( 3 0)N  ， ， 2AN  ．················································································ 6 分 在 2 2 3y x x   中，令 3y   ，得 1 20 2x x ， ． 2CP AN CP   ， ． O B x y A M C 1 3 （第 26 题图） y x E D N OA C M P N1 F （第 26 题图） AN CP ∥ ，四边形 ANCP 为平行四边形，此时 (2 3)P ， ．····························· 8 分 （3） AEF△ 是等腰直角三角形． 理由：在 3y x   中，令 0x  ，得 3y  ，令 0y  ，得 3x  ． 直线 3y x   与坐标轴的交点是 (0 3)D ， ， (3 0)B ， ． OD OB  ， 45OBD  °．······································································· 9 分 又点 (0 3)C ， ， OB OC  ． 45OBC  °．············································ 10 分 由图知 45AEF ABF    °， 45AFE ABE    °．···································· 11 分 90EAF  °，且 AE AF ． AEF△ 是等腰直角三角形．·····························12 分 （4）当点 E 是直线 3y x   上任意一点时，（3）中的结论成立．························ 14 分 （2009 年山东省日照）24． (本题满分 10 分) 已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG， CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG．问（1）中的结论 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成 立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 24．（本题满分 10 分） 解：（1）证明：在 Rt△FCD 中， ∵G 为 DF 的中点， ∴ CG= FD．………………1 分 同理，在 Rt△DEF 中， EG= FD． ………………2 分 FB A D C E G 第 24 题图① D F B A D C E G 第 24 题图② F B A C E 第 24 题图③ ∴ CG=EG．…………………3 分 （2）（1）中结论仍然成立，即 EG=CG．…………………………4 分 证法一：连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点． 在△DAG 与△DCG 中， ∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴ △DAG≌△DCG． ∴ AG=CG．………………………5 分 在△DMG 与△FNG 中， ∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴ △DMG≌△FNG． ∴ MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN． ……………6 分 在 Rt△AMG 与 Rt△ENG 中， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △AMG≌△ENG． ∴ AG=EG． ∴ EG=CG． ……………………………8 分 证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG， 连接 MF，ME，EC， ……………………4 分 在△DCG 与△FMG 中， ∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG， ∴△DCG ≌△FMG． ∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ∴MF∥CD∥AB．………………………5 分 ∴ ． 在 Rt△MFE 与 Rt△CBE 中， ∵ MF=CB，EF=BE， ∴△MFE ≌△CBE． ∴ ．…………………………………………………6 分 ∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7 分 ∴ △MEC 为直角三角形． ∵ MG = CG， ∴ EG= MC． ∴ ．………………………………8 分 （3）（1）中的结论仍然成立， 即 EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10 分 （2009 年潍坊市）24．（本小题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 1 的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于 A B C D、 、 、 四 点．抛物线 2y ax bx c   与 y 轴交于点 D ，与直线 y x 交于点 M N、 ，且 MA NC、 分别与圆O 相切于点 A 和点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ，连结 DE ，并延长 DE 交圆O 于 F ，求 EF 的长． （3）过点 B 作圆O 的切线交 DC 的延长线于点 P ，判断点 P 是否在抛物线上，说明理由． 24．（本小题满分 12 分） 解：（1）圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为 1， 点 A B C D、 、 、 的坐标分别为 ( 1 0) (0 1) (1 0) (01)A B C D ，、 ， 、 ，、 ， 抛物线与直线 y x 交于点 M N、 ，且 MA NC、 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C ，  ( 1 1) (11)M N ， 、 ， ．··················································································· 2 分 点 D M N、 、 在抛物线上，将 (01) ( 1 1) (11)D M N ，、 ， 、 ， 的坐标代入 2y ax bx c   ，得： 1 1 1 c a b c a b c          解之，得： 1 1 1 a b c       抛物线的解析式为： 2 1y x x    ．····························································· 4 分 O x y N C D E F BM A （2） 2 2 1 51 2 4y x x x           抛物线的对称轴为 1 2x  ， 1 1 512 4 2OE DE    ， ．··················6 分 连结 90BF BFD ， °， BFD EOD△ ∽△ ， DE OD DB FD   ， 又 5 1 22DE OD DB  ， ， ， 4 5 5FD  ， 4 5 5 3 5 5 2 10EF FD DE      ．···························································· 8 分 （3）点 P 在抛物线上．··················································································· 9 分 设过 D C、 点的直线为： y kx b  ， 将点 (1 0) (01)C D，、 ， 的坐标代入 y kx b  ，得： 1 1k b  ， ， 直线 DC 为： 1y x   ．··········································································· 10 分 过点 B 作圆O 的切线 BP 与 x 轴平行， P 点的纵坐标为 1y   ， 将 1y   代入 1y x   ，得： 2x  ．  P 点的坐标为 (2 1)， ，··············································································· 11 分 当 2x  时， 2 21 2 2 1 1y x x          ， 所以， P 点在抛物线 2 1y x x    上．····························································12 分 说明：解答题各小题中只给出了 1 种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数． （2009 年山东临沂市）26．（本小题满分 13 分） 如图，抛物线经过 (4 0) (1 0) (0 2)A B C ，， ，， ， 三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角 O x y N C D E F BM A P 形与 OAC△ 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得 DCA△ 的面积最大，求出点 D 的坐标． 26．解：（1）该抛物线过点 (0 2)C ， ，可设该抛物线的解析式为 2 2y ax bx   ． 将 (4 0)A ， ， (1 0)B ， 代入， 得 16 4 2 0 2 0 a b a b .        ， 解得 1 2 5 2 a b .      ， 此抛物线的解析式为 21 5 22 2y x x    ．·················································（3 分） （2）存在．····························································································· （4 分） 如图，设 P 点的横坐标为 m ， 则 P 点的纵坐标为 21 5 22 2m m   ， 当1 4m  时， 4AM m  ， 21 5 22 2PM m m    ． 又 90COA PMA    °， ①当 2 1 AM AO PM OC   时， APM ACO△ ∽△ ， 即 21 54 2 22 2m m m        ． 解得 1 22 4m m ， （舍去）， (21)P ， ．·····················································（6 分） ②当 1 2 AM OC PM OA   时， APM CAO△ ∽△ ，即 21 52(4 ) 22 2m m m     ． 解得 1 4m  ， 2 5m  （均不合题意，舍去） 当1 4m  时， (2 1)P ， ．······································································· （7 分） 类似地可求出当 4m  时， (5 2)P ， ．·························································（8 分） O x y AB C 41 2 （第 26 题图） O x y AB C 41 2 （第 26 题图） D P M E 当 1m  时， ( 3 14)P  ， ． 综上所述，符合条件的点 P 为 (2 1)， 或 (5 2)， 或 ( 3 14) ， ．··························（9 分） （3）如图，设 D 点的横坐标为 (0 4)t t  ，则 D 点的纵坐标为 21 5 22 2t t   ． 过 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E ． 由题意可求得直线 AC 的解析式为 1 22y x  ．············································（10 分） E 点的坐标为 1 22t t    ， ． 2 21 5 1 12 2 22 2 2 2DE t t t t t             ．········································· （11 分） 2 2 21 1 2 4 4 ( 2) 42 2DACS t t t t t               △ ． 当 2t  时， DAC△ 面积最大． (2 1)D ， ．····························································································（13 分） (2009 年山东省济宁市)26. （12 分） 在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形OABC 的两顶点 A 、C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点. 现将正方形OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 y x 上时停止旋转，旋转过程中， AB 边 交直线 y x 于点 M ， BC 边交 x 轴于点 N （如图）. （1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数； （3）设 MBN 的周长为 p ，在旋转正方形 OABC 的过程中， p 值是否有变化？请证明你的结论. (第 26 题) O A B C M N y x x y 26.（1）解：∵ A 点第一次落在直线 y x 上时停止旋转， ∴OA 旋转了 045 . ∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为 245 2 360 2    .……………4 分 （2）解：∵ MN ∥ AC ， ∴ 45BMN BAC    , 45BNM BCA     . ∴ BMN BNM   .∴ BM BN . 又∵ BA BC ，∴ AM CN . 又∵OA OC , OAM OCN   ,∴ OAM OCN   . ∴ AOM CON   .∴ 1 (90 452AOM      . ∴旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为 45     .……………………………………………8 分 （3）答： p 值无变化. 证明：延长 BA 交 y 轴于 E 点，则 045AOE AOM    ， 0 0 090 45 45CON AOM AOM        ， ∴ AOE CON   . 又∵OA OC ， 0 0 0180 90 90OAE OCN      . ∴ OAE OCN   . ∴ ,OE ON AE CN  . 又∵ 045MOE MON    ,OM OM , ∴ OME OMN   .∴ MN ME AM AE   . ∴ MN AM CN  ， ∴ 4p MN BN BM AM CN BN BM AB BC          . ∴在旋转正方形OABC 的过程中， p 值无变化. ……………12 分 （2009 年四川遂宁市）25.如图，二次函数的图象经过点 D(0， 39 7 )，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴 上截得的线段 AB 的长为 6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点 Q，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 25.⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k ∵顶点 C 的横坐标为 4，且过点(0， 39 7 ) ∴y=a(x-4)2+k ka 1639 7 ………………① 又∵对称轴为直线 x=4，图象在 x 轴上截得的线段长为 6 ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k ………………② 由①②解得 a= 9 3 ，k= 3－ ∴二次函数的解析式为：y= 9 3 (x-4)2－ 3 ⑵∵点 A、B 关于直线 x=4 对称 （第 26 题） O A B C M N y x x y E ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点 P 在线段 DB 上时 PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点 P 设直线 x=4 与 x 轴交于点 M ∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO ∴ BO BM DO PM  ∴ 3 3 7 339 7   PM ∴点 P 的坐标为(4， 3 3 ) ⑶由⑴知点 C(4， 3 )， 又∵AM=3，∴在 Rt△AMC 中，cot∠ACM= 3 3 ， ∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o ①当点 Q 在 x 轴上方时，过 Q 作 QN⊥x 轴于 N 如果 AB=BQ，由△ABC∽△ABQ 有 BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o ∴QN=3 3 ，BN=3，ON=10， 此时点 Q(10， 33 )， 如果 AB=AQ，由对称性知 Q(-2， 33 ) ②当点 Q 在 x 轴下方时，△QAB 就是△ACB， 此时点 Q 的坐标是(4， 3 )， 经检验，点(10， 33 )与(-2， 33 )都在抛物线上 综上所述，存在这样的点 Q，使△QAB∽△ABC 点 Q 的坐标为(10， 33 )或(-2， 33 )或(4， 3 )． （2009 年四川南充市）21．如图 9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 (3 3)A ， ． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式； （2）把直线 OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点 (6 )B m， ，求 m 的值和这个一次函数的解析式； （3）第（2）问中的一次函数的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 C、D，求过 A、B、D 三点的二次函数的解析式； （4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点 E，使四边形 OECD 的面积 1S 与四边形 OABD 的面积 S 满足： 1 2 3S S ？若存在，求点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由． 21．解：（1）设正比例函数的解析式为 1 1( 0)y k x k  ， 因为 1y k x 的图象过点 (3 3)A ， ，所以 13 3k ，解得 1 1k  ． 这个正比例函数的解析式为 y x ．······························································（1 分） 设反比例函数的解析式为 2 2( 0)ky kx   ． y xO C D B A 3 3 6 因为 2ky x  的图象过点 (3 3)A ， ，所以 23 3 k ，解得 2 9k  ． 这个反比例函数的解析式为 9y x  ．····························································· （2 分） （2）因为点 (6 )B m， 在 9y x  的图象上，所以 9 3 6 2m   ，则点 36 2B     ， ．······································································ （3 分） 设一次函数解析式为 3 3( 0)y k x b k   ． 因为 3y k x b  的图象是由 y x 平移得到的， 所以 3 1k  ，即 y x b  ． 又因为 y x b  的图象过点 36 2B     ， ，所以 3 62 b  ，解得 9 2b   ， 一次函数的解析式为 9 2y x  ．·······························································（4 分） （3）因为 9 2y x  的图象交 y 轴于点 D ，所以 D 的坐标为 90 2     ， ． 设二次函数的解析式为 2 ( 0)y ax bx c a    ． 因为 2y ax bx c   的图象过点 (3 3)A ， 、 36 2B     ， 、和 D 90 2     ， ， 所以 9 3 3 336 6 2 9 .2 a b c a b c c              ， ，·················（5 分） 解得 1 2 4 9 .2 a b c           ， ， 这个二次函数的解析式为 21 942 2y x x    ．·············································· （6 分） （4） 9 2y x  交 x 轴于点C ，点C 的坐标是 9 02      ， ， y xO C D B A 3 3 6 E 如图所示， 15 1 1 3 16 6 6 3 3 32 2 2 2 2S            9 945 18 4 2     81 4  ． 假设存在点 0 0( )E x y， ，使 1 2 81 2 27 3 4 3 2S S    ． 四边形CDOE 的顶点 E 只能在 x 轴上方， 0 0y  ， 1 OCD OCES S S  △ △ 0 1 9 9 1 9 2 2 2 2 2 y      0 81 9 8 4 y  ． 0 81 9 27 8 4 2y   ， 0 3 2y  ．···································································（7 分） 0 0( )E x y ， 在二次函数的图象上， 2 0 0 1 9 342 2 2x x    ． 解得 0 2x  或 0 6x  ． 当 0 6x  时，点 36 2E      ， 与点 B 重合，这时CDOE 不是四边形，故 0 6x  舍去， 点 E 的坐标为 32 2      ， ．··········································································· （8 分） （2009 年四川凉山州）26．如图，已知抛物线 2y x bx c   经过 (1 0)A ， ， (0 2)B ， 两点，顶点为 D ． （1）求抛物线的解析式； （2）将 OAB△ 绕点 A 顺时针旋转 90°后，点 B 落到点C 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点C ，求平移后 所得图象的函数关系式； （3）设（2）中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 1B ，顶点为 1D ，若点 N 在平移后的抛物线上，且满足 1NBB△ 的面积是 1NDD△ 面积的 2 倍，求点 N 的坐标． y x B AO D （第 26 题） 26．解：（1）已知抛物线 2y x bx c   经过 (1 0) (0 2)A B，， ， ， 0 1 2 0 0 b c c       解得 3 2 b c     所求抛物线的解析式为 2 3 2y x x   ．·························································· 2 分 （2） (1 0)A ， ， (0 2)B ， ， 1 2OA OB  ， 可得旋转后C 点的坐标为 (31)， ··········································································· 3 分 当 3x  时，由 2 3 2y x x   得 2y  ， 可知抛物线 2 3 2y x x   过点 (3 2)， 将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点C ． 平移后的抛物线解析式为： 2 3 1y x x   ．·····················································5 分 （3）点 N 在 2 3 1y x x   上，可设 N 点坐标为 2 0 0 0( 3 1)x x x ， 将 2 3 1y x x   配方得 23 5 2 4y x      ，其对称轴为 3 2x  ．·························· 6 分 ①当 0 30 2x  时，如图①， 1 1 2NBB NDDS S △ △ 0 0 1 1 31 2 12 2 2x x           0 1x  此时 2 0 03 1 1x x    y x C B A O N D B1 D1 图① N 点的坐标为 (1 1)， ．················································································· 8 分 ②当 0 3 2x  时，如图② 同理可得 0 0 1 1 31 22 2 2x x         0 3x  此时 2 0 03 1 1x x   点 N 的坐标为 (31)， ． 综上，点 N 的坐标为 (1 1)， 或 (31)， ．······························································· 10 分 （2009 年武汉市）25．（本题满分 12 分） 如图，抛物线 2 4y ax bx a   经过 ( 1 0)A  ， 、 (0 4)C ， 两点，与 x 轴交于另一点 B ． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点 ( 1)D m m ， 在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接 BD ，点 P 为抛物线上一点，且 45DBP  °，求点 P 的坐标． 25．解：（1）抛物线 2 4y ax bx a   经过 ( 1 0)A  ， ， (0 4)C ， 两点， y x C B A O D B1 D1 图② N y xO A B C 4 0 4 4. a b a a     ， 解得 1 3. a b     ， 抛物线的解析式为 2 3 4y x x    ． （2）点 ( 1)D m m ， 在抛物线上， 21 3 4m m m      ， 即 2 2 3 0m m   ， 1m   或 3m  ． 点 D 在第一象限，点 D 的坐标为 (3 4)， ． 由（1）知 45OA OB CBA  ， °． 设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E ． (0 4)C ， ， CD AB ∥ ，且 3CD  ， 45ECB DCB    °， E 点在 y 轴上，且 3CE CD  ． 1OE  ， (01)E ， ． 即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为（0，1）． （3）方法一：作 PF AB⊥ 于 F ， DE BC⊥ 于 E ． 由（1）有： 4 45OB OC OBC   ， °， 45DBP CBD PBA     °， ． (0 4) (3 4)C D ，， ， ， CD OB ∥ 且 3CD  ． 45DCE CBO    °， 3 2 2DE CE   ． 4OB OC  ， 4 2BC  ， 5 2 2BE BC CE    ， 3tan tan 5 DEPBF CBD BE       ． 设 3PF t ，则 5BF t ， 5 4OF t   ， ( 5 4 3 )P t t   ， ． P 点在抛物线上，  23 ( 5 4) 3( 5 4) 4t t t        ， y xO A B C D EP F y xO A B C D E 0t  （舍去）或 22 25t  ， 2 66 5 25P     ， ． 方法二：过点 D 作 BD 的垂线交直线 PB 于点Q ，过点 D 作 DH x⊥ 轴于 H ．过Q 点作QG DH⊥ 于G ． 45PBD QD DB    °， ． QDG BDH   90 °， 又 90DQG QDG    °， DQG BDH   ． QDG DBH△ ≌△ ， 4QG DH   ， 1DG BH  ． 由（2）知 (3 4)D ， ， ( 13)Q  ， ． (4 0)B ， ，直线 BP 的解析式为 3 12 5 5y x   ． 解方程组 2 3 4 3 12 5 5 y x x y x         ， ， 得 1 1 4 0 x y    ， ； 2 2 2 5 66 .25 x y      ， 点 P 的坐标为 2 66 5 25     ， ． （2009 年鄂州市）27．如图所示，将矩形 OABC 沿 AE 折叠，使点 O 恰好落在 BC 上 F 处，以 CF 为边作正方形 CFGH，延长 BC 至 M，使 CM＝｜CF—EO｜，再以 CM、CO 为边作矩形 CMNO (1)试比较 EO、EC 的大小，并说明理由 (2)令 ；四边形 四边形 CNMN CFGH S Sm  ，请问 m 是否为定值？若是，请求出 m 的值；若不是，请说明理由 (3)在(2)的条件下，若 CO＝1，CE＝ 3 1 ，Q 为 AE 上一点且 QF＝ 3 2 ，抛物线 y＝mx2+bx+c 经过 C、Q 两点，请求出 此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下，若抛物线 y＝mx2+bx+c 与线段 AB 交于点 P，试问在直线 BC 上是否存在点 K，使得以 P、B、 K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线 KP 与 y 轴的交点 T 的坐标?若不存在，请说明理由。 y xO A B C D P Q G H 27、（1）EO＞EC，理由如下： 由折叠知，EO=EF，在 Rt△EFC 中，EF 为斜边，∴EF＞EC， 故 EO＞EC …2 分 （2）m 为定值 ∵S 四边形 CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC) S 四边形 CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ∴ 1 CMNO CFGH S Sm 四边形 四边形 ……………………………………………………4 分 （3）∵CO=1， 3 2 3 1  QFCE ， ∴EF=EO= QF 3 2 3 11 ∴cos∠FEC= 2 1 ∴∠FEC=60°， ∴  30602 60180 EAOOEAFEA ， ∴△EFQ 为等边三角形， 3 2EQ …………………………………………5 分 作 QI⊥EO 于 I，EI= 3 1 2 1 EQ ，IQ= 3 3 2 3 EQ ∴IO= 3 1 3 1 3 2  ∴Q 点坐标为 )3 1,3 3( ……………………………………6 分 ∵抛物线 y=mx2+bx+c 过点 C(0，1)， Q )3 1,3 3( ，m=1 ∴可求得 3b ，c=1 ∴抛物线解析式为 132  xxy ……………………………………7 分 （4）由（3）， 33 23  EOAO 当 33 2x 时， 3 1133 23)33 2( 2 y ＜AB ∴P 点坐标为 )3 1,3 32( …………………8 分 ∴BP= 3 2 3 11  AO 方法 1：若△PBK 与△AEF 相似，而△AEF≌△AEO，则分情况 如下： ① 3 32 3 2 3 2 BK 时， 9 32BK ∴K 点坐标为 )1,9 34( 或 )1,9 38( ② 3 2 3 2 3 32 BK 时， 3 32BK ∴K 点坐标为 )1,3 34( 或 )1,0( …………10 分 故直线 KP 与 y 轴交点 T 的坐标为 )1,0()3 1,0()3 7,0()3 5,0( 或或或  …………………………………………12 分 方法 2：若△BPK 与△AEF 相似，由（3）得：∠BPK=30°或 60°，过 P 作 PR⊥y 轴于 R，则∠RTP=60°或 30° ①当∠RTP=30°时， 233 32 RT ②当∠RTP=60°时， 3 233 32 RT ∴ )1,0()3 1,0()3 5,0()3 7,0( 4321 TTTT ，，，  ……………………………12 分 （2009 年湖北省黄石市）24、（本题满分 9 分） 如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一动点，连结 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作 正方形 ADEF。 解答下列问题： （1）如果 AB=AC，∠BAC=90°，①当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图乙，线段 CF、BD 之间的 位置关系为 ，数量关系为 。 ②当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果 AB≠AC，∠BAC≠90°点 D 在线段 BC 上运动。 试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF⊥BC（点 C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图 不写作法） （3）若 AC=4 2 ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点 P，求线段 CP 长 的最大值。 24、解：（1）①CF⊥BD，CF=BD ②成立，理由如下： ∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 又 BA=CA AD=AF ∴△BAD≌△CAF ∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45° ∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……（1 分） （2）当∠ACB=45°时可得 CF⊥BC，理由如下： 如图：过点 A 作 AC 的垂线与 CB 所在直线交于 G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45° ∵AG=AC AD=AF ………（1 分） ∴△GAD≌△CAF（SAS） ∴∠ACF=∠AGD=45° ∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………（2 分） （3）如图：作 AQBC 于 Q ∵∠ACB=45° AC=4 2 ∴CQ=AQ=4 ∵∠PCD=∠ADP=90° ∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90° ∴△ADQ∽△DPC …（1 分） ∴ DQ PC = AQ CD 设 CD 为 x（0＜x＜3）则 DQ=CQ－CD=4－x 则 x PC 4 = 4 x …………（1 分） ∴PC= 4 1 (－x2+4x)=－ 4 1 (x－2)2+1≥1 当 x=2 时，PC 最长，此时 PC=1 ………（1 分） （2009 年湖北省孝感市）25．（本题满分 12 分） 如图，点 P 是双曲线 1 1( 0 0)ky k x x   ， 上一动点，过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，分别交 x 轴、y 轴于 A、 B 两点，交双曲线 y = x k2 （0＜k2＜|k1|）于 E、F 两点． （1）图 1 中，四边形 PEOF 的面积 S1= ▲ (用含 k1、k2 的式子表示)；（3 分） （2）图 2 中，设 P 点坐标为（－4，3）． ①判断 EF 与 AB 的位置关系，并证明你的结论；（4 分） ②记 2 PEF OEFS S S   ，S2 是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5 分） 25．解：（1） 2 1k k ； … ………………………………3 分 （2）①EF∥AB． ……………………………………4 分 证明：如图，由题意可得 A（–4，0），B（0，3）， 2( 4, ) 4 kE   ， 2( ,3) 3 kF ． ∴PA=3，PE= 23 4 k ，PB=4，PF= 24 3 k ． ∴ 2 2 3 12 123 4 PA kPE k    ， 2 2 4 12 124 3 PB kPF k    ∴ PA PB PE PF  ． ………………………… 6 分 又∵∠APB=∠EPF． ∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF． ∴EF∥AB． …………………………… 7 分 ②S2 没有最小值，理由如下： 过 E 作 EM⊥y 轴于点 M，过 F 作 FN⊥x 轴于点 N，两线交于点 Q． 由上知 M（0， 2 4 k ），N（ 2 3 k ，0），Q（ 2 3 k ， 2 4 k ）． ……………… 8 分 而 S△EFQ= S△PEF， ∴S2＝S△PEF－S△OEF＝S△EFQ－S△OEF＝S△EOM＋S△FON＋S 矩形 OMQN ＝ 432 1 2 1 22 22 kkkk  ＝ 2 2 2 1 12k k = 2 2 1 ( 6) 3 12 k   ． ………………………… 10 分 当 2 6k   时，S2 的值随 k2 的增大而增大，而 0＜k2＜12． …………… 11 分 ∴0＜S2＜24，s2 没有最小值． …………………………… 12 分 说明：1．证明 AB∥EF 时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过 A、B 两点和经过 E、F 两点的 直线解析式，利用这两个解析式中 x 的系数相等来证明 AB∥EF；方法二：利用 tan PAB ＝ tan PEF 来证明 AB∥EF；方法三：连接 AF、BE，利用 S△AEF＝S△BFE 得到点 A、点 B 到直线 EF 的距离相等，再 由 A、B 两点在直线 EF 同侧可得到 AB∥EF． 2．求 S2 的值时，还可进行如下变形： S2＝ S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S 四边形 PEOF－S△PEF）＝2 S△PEF－S 四边形 PEOF，再利用第（1）题中的结论． （2009 年湖北省荆门市）25．(本题满分 12 分)一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点， 记抛物线顶点为 C，且 AC⊥BC． (1)若 m 为常数，求抛物线的解析式； (2)若 m 为小于 0 的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ (3)设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点，问是否存在实数 m，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若 不存在，请说明理由． 第 25 题图 25．解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a．…………2 分 ∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB 是等腰直角三角形，又 AB＝4， ∴C(m，－2)代入得 a＝ 1 2 ．∴解析式为：y＝ 1 2 (x－m)2－2．…………………………5 分 (亦可求 C 点，设顶点式) (2)∵m 为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m 个单位，再向上平移 2 个单位，可以使抛物线 y＝ 1 2 (x －m)2－2 顶点在坐标原点．………………………………………7 分 (3)由(1)得 D(0， 1 2 m2－2)，设存在实数 m，使得△BOD 为等腰三角形． ∵△BOD 为直角三角形，∴只能 OD＝OB．……………………………………………9 分 ∴ 1 2 m2－2＝|m＋2|，当 m＋2＞0 时，解得 m＝4 或 m＝－2(舍)． 当 m＋2＜0 时，解得 m＝0(舍)或 m＝－2(舍)； 当 m＋2＝0 时，即 m＝－2 时，B、O、D 三点重合(不合题意，舍) 综上所述：存在实数 m＝4，使得△BOD 为等腰三角形．……………………………12 分 （2009 年襄樊市）26．（本小题满分 13 分） 如图 13，在梯形 ABCD 中， 2 4AD BC AD BC ∥ ， ， ，点 M 是 AD 的中点， MBC△ 是等边三角形． （1）求证：梯形 ABCD 是等腰梯形； （2）动点 P 、Q 分别在线段 BC 和 MC 上运动，且 60MPQ  ∠ 保持不变．设 PC x MQ y ， ，求 y 与 x 的函数关系式； （3）在（2）中：①当动点 P 、Q 运动到何处时，以点 P 、 M 和点 A 、 B 、 C 、 D 中的两个点为顶点的 四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当 y 取最小值时，判断 PQC△ 的形状，并说明理由． 26．（1）证明：∵ MBC△ 是等边三角形 ∴ 60MB MC MBC MCB   ，∠ ∠ ·········1 分 ∵ M 是 AD 中点 ∴ AM MD ∵ AD BC∥ ∴ 60AMB MBC  ∠ ∠ ， 60DMC MCB  ∠ ∠ ∴ AMB DMC△ ≌△ ·······················2 分 ∴ AB DC ∴梯形 ABCD 是等腰梯形．·························································3 分 （2）解：在等边 MBC△ 中， 4MB MC BC   ， 60MBC MCB  ∠ ∠ ， 60MPQ  ∠ ∴ 120BMP BPM BPM QPC    ∠ ∠ ∠ ∠ ∴ BMP QPC∠ ∠ ············································································4 分 ∴ BMP CQP△ ∽△ ∴ PC CQ BM BP  ······················································5 分 ∵ PC x MQ y ， ∴ 4 4BP x QC y   ， ····································· 6 分 ∴ 4 4 4 x y x   ∴ 21 44y x x   ·························································· 7 分 （3）解：①当 1BP  时，则有 BP AM BP MD ∥ ∥， 则四边形 ABPM 和四边形 MBPD 均为平行四边形 ∴ 21 133 3 44 4MQ y      ····················································8 分 当 3BP  时，则有 PC AM PC MD ∥ ∥， A D CB P M Q60° 图 13A D CB P M Q60° 则四边形 MPCD 和四边形 APCM 均为平行四边形 ∴ 1 131 1 44 4MQ y      ······················································9 分 ∴当 131 4BP MQ ， 或 133 4BP MQ ， 时，以 P、M 和 A、B、C、 D 中的两个点为顶点 的四边形是平行四边形． 此时平行四边形有 4 个．····························································10 分 ② PQC△ 为直角三角形···························································· 11 分 ∵  21 2 34y x   ∴当 y 取最小值时， 2x PC  ·················································12 分 ∴ P 是 BC 的中点， MP BC ，而 60MPQ  ∠ ， ∴ 30CPQ  ∠ ，∴ 90PQC  ∠ ···············································13 分 （2009 年湖南省株洲市）23．（本题满分 12 分）如图，已知 ABC 为直角三角形， 90ACB   ，AC BC , 点 A 、C 在 x 轴上，点 B 坐标为（3 ， m ）（ 0m  ），线段 AB 与 y 轴相交于点 D ，以 P （1，0）为顶点的抛 物线过点 B 、 D ． （1）求点 A 的坐标（用 m 表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连结 PQ 并延长交 BC 于点 E ，连结 BQ 并延长交 AC 于 点 F ，试证明： ( )FC AC EC 为定值． 23．（1）由 (3, )B m 可知 3OC  ， BC m ，又△ABC 为等腰直角三角形，∴ AC BC m  ， 3OA m  ， 所以点 A 的坐标是（ 3 ,0m ）. ………………… 3 分 （2）∵ 45ODA OAD     ∴ 3OD OA m   ，则点 D 的坐标是（ 0, 3m  ）. 又抛物线顶点为 (1,0)P ，且过点 B 、 D ，所以可设抛物线的解析式为： 2( 1)y a x  ，得： 2 2 (3 1) (0 1) 3 a m a m       解得 1 4 a m    ∴抛物线的解析式为 2 2 1y x x   ………7 分 （3）过点 Q 作 QM AC 于点 M ，过点 Q 作 QN BC 于点 N ，设点 Q 的坐标是 2( , 2 1)x x x  ，则 2( 1)QM CN x   ， 3MC QN x   . ∵ //QM CE ∴ PQM ∽ PEC ∴ QM PM EC PC  即 2( 1) 1 2 x x EC   ，得 2( 1)EC x  ∵ //QN FC ∴ BQN ∽ BFC ∴ QN BN FC BC  即 23 4 ( 1) 4 x x FC    ，得 4 1FC x   又∵ 4AC  ∴ 4 4 4( ) [4 2( 1)] (2 2) 2( 1) 81 1 1FC AC EC x x xx x x             即 ( )FC AC EC 为定值 8. ……………………12 分 本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分. （2009 年衡阳市）26、（本小题满分 9 分） 如图 12，直线 4 xy 与两坐标轴分别相交于 A、B 点，点 M 是线段 AB 上任意一点（A、B 两点除外）， 过 M 分别作 MC⊥OA 于点 C，MD⊥OB 于 D． （1）当点 M 在 AB 上运动时，你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点 M 运动到什么位置时，四边形 OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？ （3）当四边形 OCMD 为正方形时，将四边形 OCMD 沿着 x 轴的正方向移动，设平移的距离为 )40  aa（ ， 正方形 OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为 S．试求 S 与 a 的函数关系式并画出该函数的图象． B x y M C D O A 图 12（1） B x y O A 图 12（2） B x y O A 图 12（3） 解：（1）设点 M 的横坐标为 x，则点 M 的纵坐标为－x+4（00，－x+4>0）； 则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x； ∴C 四边形 OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8 ∴当点 M 在 AB 上运动时，四边形 OCMD 的周长不发生变化，总是等于 8； （2）根据题意得：S 四边形 OCMD＝MC·MD＝（－x+4）· x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4 ∴四边形 OCMD 的面积是关于点 M 的横坐标 x（0= 750) { docEl.style.fontSize = '100px'; } else { docEl.style.fontSize = 100 * (clientWidth / 750) + 'px'; } }; if (!doc.addEventListener) { return; } win.addEventListener(resizeEvt, 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