北师大版九年级数学下册期中测试题及答案

北师大版九年级数学下册期中测试题及答案

北师大版九年级数学下册期中测试题及答案 ‎(考试时间：120分钟　满分：120分)‎ 分数：___________‎ 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分 ，共18分，每小题只有一个正确选项)‎ ‎1．对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法中不正确的是(　D　)‎ A．开口向下 B．对称轴是直线x＝m C．最大值为0 D．与y轴不相交 ‎2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，sin B＝，则Rt△ABC的面积为 (　B　)‎ A．9 B． C．9 D．18‎ ‎3．一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(m)与时间t(s)之间的关系式为s＝10t＋t2，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为 (　D　)‎ A．24 m B．6 m C．12 m D．12 m 第3题图 ‎4．如图，钓鱼竿AC长6米，露出水面的渔线BC长3米，‎ 某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露出水面的渔线B′C′长3米，则鱼竿转过的角度是 (　C　)‎ A．60° B．45° C．15° D．90°‎ ‎ 第4题图 ‎5．当a≠0时，函数y＝与y＝－ax2＋a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 (　D　)‎ ‎6．如图，在平面直角坐标系中，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝(x＋1)2于点B，C，线段BC的长度为6，抛物线y＝－2x2＋b与y轴交于点A，则b＝ (　C　)‎ A．1 B．4.5 C．3 D．6‎ 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎7．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan A－|＋(2sin B－)2＝0.则∠C＝__60°__．‎ ‎8．二次函数y＝x2＋6x＋m的图象与x轴一个交点坐标为(3，0)，则一元二次方程x2＋6x＋m＝0的两根是__x1＝3，x2＝－9__．‎ ‎9．已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，BC，则tan ∠CAB的值为__2__．‎ ‎10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则cos A的值为____．‎ 第10题图 ‎11．★如图，抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D，E，F分别是BC，BP，PC的中点，连接DE，DF，则DE＋DF的最小值为____.‎ ‎ 第11题图 ‎12．已知抛物线y＝x2＋2x－3交于A，B两点(点A在点B的左侧)，将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点，(点C在点D的左侧)，若B，C 是线段AD的三等分点，则m的值为__2或8__．‎ 选择、填空题答题卡 一、选择题(每小题3分，共18分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 得分 答案 D B D C D C 二、填空题(每小题3分，共18分)得分：________‎ ‎7．__60°__　 8.__x1＝3，x2＝－9__　9.__2__‎ ‎10．____ 11.____　 12.__2或8__‎ 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)‎ ‎13．计算：‎ cos 60°－sin 45°＋tan230°＋cos 30°－sin 30°.‎ 解：原式＝－＋×＋－ ‎＝－＋.‎ ‎14．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－3，0)和B(0，3)两点．‎ ‎(1)求抛物线的表达式；‎ ‎(2)求顶点的坐标．‎ 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－3，0)和B(0，3)两点，‎ ‎∴解得 ‎∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3.‎ ‎(2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，‎ ‎∴顶点的坐标为(－1，4).‎ ‎15．由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝，AC＝4，求AB的长”．这时小明去翻看了标准答案，显示AB＝10.请帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么？‎ 解：过点C作CH⊥AB于点H，‎ 在Rt△ACH中，CH＝AC·sin A＝4×sin 30°＝2，‎ AH＝AC·cos A＝4×cos 30°＝6，‎ ‎∴BH＝AB－AH＝4，‎ ‎∴tan B＝＝，‎ ‎∴污渍部分的内容是.‎ ‎16．如图，斜坡AC的坡度(坡比)为1∶，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．‎ 解：延长BC交AD于点E，则CE⊥AD.‎ 在Rt△AEC中，AC＝10，‎ 由坡比为1︰可知，‎ ‎∠CAE＝30°，‎ ‎∴CE＝AC·sin 30°＝10×＝5，‎ AE＝AC·cos 30°＝10×＝5.‎ Rt△ABE中，BE＝ ‎＝ ‎＝11.‎ ‎∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11－5＝6.‎ 答：旗杆BC的高度为6米．‎ ‎17．利用无刻度的直尺画图：在下面的三个图中，以OA为边，在正方形网格内作∠AOB＝α，B点为格点(每个小正方形的顶点)使sin α的值分别为：，和.‎ 解：如图∠AOB为所求．‎ 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)‎ ‎18．跨江大桥采用了国际上新颖的U型钢构组合拱桥结构，主桥的钢拱在空中划出一道优美的弧线，远远望去像是一弯彩虹横卧于清波之上，大桥的桥拱是抛物线的一部分，位于桥面上方部分的拱高约20米，跨度约120米，如图．‎ ‎(1)请你建立适当的直角坐标系，求出描述主桥上的钢拱形状的抛物线表达式；‎ ‎(2)问距离桥拱与桥面交点20米处的支架长为多少米？‎ 解：(1)如图．抛物线表达式为 y＝－x2＋20.(答案不唯一)‎ ‎(2)当x＝60－20＝40时，y＝ 米，‎ 即此处的支架长为 米．‎ ‎19．某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB的长为3 m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6 m(踏板厚度忽略不计).为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m，成人的“安全高度”为2 m．(参考数据：≈1.41，sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43，计算结果精确到0.1 m)‎ ‎(1)当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h大约为__1.5__m.‎ ‎(2)某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？‎ 解：过点C作CE⊥OB于点E.‎ 在Rt△OEC中，‎ ＝cos 55°，‎ ‎∴OE＝OC·cos 55°，‎ ‎∴ED＝OB－OE＋BD ‎≈3－3×0.57＋0.6‎ ‎≈1.9(m)，‎ ‎∵1.9<2，∴此人安全．‎ ‎20．某“火龙果”经营户有A，B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元．‎ ‎(1)设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元，b元，求a，b的值；‎ ‎(2)B种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按(1)中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B种“火龙果”每天的销售量就减少5件．求销售单价为多少元时，B种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？‎ 解：(1)由题易得a＝35，b＝50.‎ (2) 由题意易得 y＝(x－40)[100－5×(x－50)]＝－5x2＋550x－14 000‎ ‎＝－5(x－55)2＋1 125，‎ ‎∴当x＝55时，y的最大值为1 125，‎ 即销售单价为55元时，B种“火龙果”每天的销售利润最大，‎ 最大利润是1 125元．‎ 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)‎ ‎21．某班数学兴趣小组为了测量建筑物AB的高度，他们选取了地面上一点E，测得DE的长度为8.65米，并以建筑物CD的顶端点C为观测点，测得点A的仰角为45°，点B的俯角为37°，点E的俯角为30°.求建筑物AB的高度．(参考数据：≈1.73，sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈)‎ 解：过点C作CF⊥AB于点F.由题易得CD＝5，‎ 在Rt△CBF中，‎ ‎∵BF＝DC＝5，‎ ‎∠FCB＝37°，‎ ‎∴tan 37°＝≈，即FC≈6.67.‎ 在Rt△AFC中，∵∠ACF＝45°，‎ ‎∴AF＝CF≈6.67.‎ ‎∴AB＝AF＋BF≈11.67，‎ ‎∴建筑物AB的高度约为11.67米．‎ ‎22．已知抛物线y＝x2＋(2m＋1)x＋m2－1.‎ ‎(1)若该抛物线经过点P(1，4)，试求m的值及抛物线的顶点坐标；‎ ‎(2)求抛物线的顶点坐标(用含m的代数式表示)，并证明：不论m为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线l上；‎ ‎(3)直线l被抛物线所截得的线段长AB是否为定值？若是，请求出这个定值：若不是，请说明理由．‎ 解：(1)将x＝1，y＝4代入y＝x2＋(2m＋1)x＋m2－1，‎ 得m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3.‎ 当m＝1时，y＝x2＋3x，其顶点坐标为；‎ 当m＝－3时，y＝x2－5x＋8，其顶点坐标为.‎ ‎(2)设顶点的坐标为(x，y)，‎ 由题易得顶点的坐标为.‎ 证明：∵y－x＝－m－＋m＋＝－，‎ ‎∴不论m为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线l∶y＝x－上．‎ ‎(3)是为定值．将y＝x－代入y＝x2＋(2m＋1)x＋m2－1，得x2＋2mx＋m2－＝0，‎ ‎∴(x＋m)2＝，∴x＝－m±，‎ ‎∴直线l与抛物线的交点坐标分别为 A，B，‎ ‎∴AB＝ ‎＝.‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23．如图①，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A，B两点，其中A(m，0)，B(4，n)，‎ 该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.‎ ‎(1)求m，n的值及该抛物线的表达式；‎ ‎(2)如图②，若P为线段AD上的一动点(不与点A，D重合)，分别以AP，DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标．‎ 解：(1)把A(m，0)，B(4，n)代入y＝x－1，得m＝1，n＝3，‎ ‎∴A点坐标为(1，0)，B点坐标为(4，3)，‎ ‎∵y＝－x2＋bx＋c经过点A与点B，‎ ‎∴解得 ‎∴抛物线的表达式为y＝－x2＋6x－5.‎ ‎(2)∵△APM与△DPN都为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠APM＝∠DPN＝45°，‎ ‎∴∠MPN＝90°，‎ ‎∴△MPN为直角三角形，‎ 令－x2＋6x－5＝0，得到x＝1或x＝5，‎ ‎∴D点坐标为(5，0)，A点坐标为(1，0)，即DA＝5－1＝4，‎ 设AP＝k，则有DP＝4－k，‎ ‎∴PM＝k，PN＝(4－k)，‎ ‎∴S△MPN＝PM·PN＝×k×(4－k)‎ ‎＝－k2＋k＝－(k－2)2＋1，‎ ‎∴当k＝2，即AP＝2时，S△MPN最大，‎ 此时OP＝3，即P点坐标为(3，0).‎