2020-2021学年山西晋中高三上数学月考试卷
2020-2021学年山西晋中高三上数学月考试卷
一、选择题
1. 已知集合A={x|0
0，则¬p是( )
A.∀x∈R，3x2+2≤0 B.∃x∈R，3x2+2>0
C.∃x∈R，3x2+2≤0 D.∃x∈R，3x2+2<0
3. 已知x=1.20.2，y=0.91.2 ，z=log2532，则( )
A.y>z>x B.y>x>z C.x>y>z D.x>z>y
4. 狄利克雷（Dirichlet）函数是数学中一个非常典型的函数，它是这样定义的：Dx=1,x是有理数，0,x是无理数，下列关于函数Dx，说法正确的是( )
A.Dx的值域是0,1
B.Dx是非奇非偶函数
C.Dx是周期函数，最小正周期是1
D.Dx是周期函数，但不存在最小正周期
5. 已知向量a→=3,x，b→=2,−4，c→=1,1，若a→+b→//c→，则x=( )
A.8 B.9 C.10 D.11
6. 函数fx=ln|x|ex−e−x的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
7. 已知m>0，则“m=4”是“椭圆x2m2+y27=1的焦距为6"的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中B=2π3，a=3，b=c+2，则sinB+C=( )
A.3314 B.337 C.314 D.37
9. 已知函数fx=2x3−ax2−ax的一个极值点为1，则fx在−2,2上的最小值为( )
A.−2 B.−28 C.−20 D.−18
10. 在平面四边形ABCD中，AB=32，AD=210，CD=5，AC=35，且∠BCD=90∘，则B=( )
A.π4 B.π3 C.π3或2π3 D.π4或3π4
11. 已知函数fx=asinx+3cosx图象的一条对称轴为直线x=7π6，若函数Fx=fx−75在−π2,7π2上的所有零点依次记为x1,x2,x3，…，xn，则x1+x2+⋯+xn=( )
A.23π6 B.14π3 C.15π4 D.23π4
12. 在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB为锐角，点M为线段AC上的一动点，点N满足DN→=3NC→，若∀λ∈R，|AB→−λAD→|的最小值为3，则BM→⋅ MN→的最大值为( )
A.4364 B.−78 C.2356 D.516
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二、填空题
已知向量a→=3m−2,3，b→=3,−m，若a→⊥b→，则|a→+b→|=________.
已知函数fx=x2−x, x>0，2x−1, x≤0， 若fa=a，则a=________.
cos8π7⋅cos16π7⋅cos32π7=________.
函数fx=sinωx+φω>0,0<φ<π的部分图象如图所示，BC//x轴，若∀x1∈[0,7π12]，∃x2∈[−π8,5π12]，fx1−m≤sin2x1+cos2x2，则实数m的取值范围是________.
三、解答题
已知二次函数fx满足fx+1−fx=2x+3，且fx的图象经过点A1,−9.
(1)求fx的解析式；
(2)若x∈−2,3，不等式fx≤mx恒成立，求实数m的取值范围．
设函数fx=sin2x−π3+2sinxcosx+1.
(1)求函数fx在−π,0上的单调递增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=7，b=2，且fA=3+1，求△ABC的周长．
已知向量a→=sinπx3,cosπx3，向量b→=3,1，函数fx=a→⋅b→+22.
(1)求fx图象的对称中心；
(2)令函数gx=f2x+f2x+32,x∈0,14，求gx的最大值．
锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b=2c ，a=6+2，△ABC的外接圆半径为2.
(1)求C；
(2)求△ABC的面积．
如图，在△ABD中，AB=3，AD=4，cos∠DAB=14，DM→=2MB→.
(1)求|AM→|．
(2)若存在点C，使AM→与CD→共线，且AC→⋅BC→=1129 ，求|CD→||AM→|的值．
已知函数fx=ex−1−xx>0，gx=lnx−x+1.
(1)若曲线y=x2+2xfx+x的一条切线l与x+y=0垂直，求该切线l的方程；
(2)若2fx+agx≥0对任意的x∈[1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．
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参考答案与试题解析
2020-2021学年山西晋中高三上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
并集及其运算
【解析】
【解答】
解：因为B={x|x2+3x−4<0}=(−4,1)，
所以A∪B=−4,2．
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
全称命题的否定是特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定.
【解答】
解：根据全称命题的否定是特称命题可得，“∀x∈R，3x2+2>0”的否定为“∃x∈R，3x2+2≤0”.
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
【解答】
解：因为1.20.2>1，0<0.91.2<1，log25 32<0，
所以x>y>z．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
函数的周期性
函数奇偶性的判断
函数的值域及其求法
【解析】
【解答】
解：A，值域是{0,1}，故A错误；
B，当x为有理数时，−x也为有理数，所以D−x=1，
当x为无理数时，−x也为无理数，所以D−x=0，
故D−x=Dx，该函数为偶函数，故B错误；
C，D，由D(x+1)=0,x+1是无理数，1,x+1是有理数 =D(x)，
可知1是该函数的一个周期，但不是最小正周期，
由D(x+12)=0,x+12是无理数，1,x+12是有理数 =D(x)，
可知该函数没有最小正周期，它的周期是任意非零有理数，故C错误，D正确．
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量的坐标运算
【解析】
无
【解答】
解：因为a→+b→=5,x−4，且a→+b→//c→，
所以5×1−x−4×1=0，解得x=9．
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
根据函数的奇偶性和函数的定义域，运用排除法即可．
【解答】
解：因为f−x=ln|−x|e−x−ex=−fx，所以fx为奇函数，排除BD；
因为当x>1时，fx>0，所以排除C.
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
椭圆的标准方程
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必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：若m=4，则c2=m2−7=0，故c=3，焦距为6．
若焦距2c=6，则焦点在x轴上，由c2=m2−7=0，且m>0，得m=4，
故“m=4”是“椭圆x2m2+y27=1的焦距为6”的充要条件．
故选C．
8.
【答案】
A
【考点】
诱导公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：因为b2=a2+c2−2accosB，B=2π3，a=3，
所以b2=c2+3c+9.
又因为b=c+2，
所以b=7，c=5.
因为sinA=asinBb=3314，
所以sin(B+C)=sinA=3314．
故选A．
9.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的极值
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：因为f′x=6x2−2ax−a，所以f′1=6−3a=0，得a=2，
则f′(x)=6x2−4x−2=2(x−1)(3x+1)，
所以fx在[−2,−13)，(1,2]上单调递增，在[−13,1]上单调递减．
因为f−2=−20，f1=−2，
所以fx在−2,2上的最小值为−20．
故选C．
10.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：在△ACD中，
cos∠ACD=AC2+CD2−AD22AC⋅CD=55．
因为∠BCD为直角，
所以sin∠ACB=55.
在△ABC中，由ACsinB=ABsin∠ACB，
可得sinB=22，
所以B=π4或3π4．
故选D．
11.
【答案】
B
【考点】
三角函数的最值
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
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解：由题意知，函数fx=asinx+3cosx=a2+3sinx+θ（θ为辅助角），
由于fx图象的一条对称轴的方程为x=7π6，
得|a2+32|=a2+3，解得a=1，
所以fx=2sinx+π3．
结合函数f(x)=2sin(x+π3)（−π2≤x≤7π2）与y=75的图象可知，
方程Fx=0有4个根，且x1，x2关于π6对称，x3，x4关于13π6对称，
即x1+x2=π6×2=π3，x3+x4=13π6×2=13π3，
所以x1+x2+x3+x4=14π3．
故选B．
12.
【答案】
A
【考点】
向量模长的计算
二次函数在闭区间上的最值
平面向量数量积的运算
平面向量的正交分解及坐标表示
【解析】
无
【解答】
解：由题意知|AB→−λAD→|2=4λ2−8λcos∠DAB+4的最小值为3，
即4λ2−8λcos∠DAB+1的最小值为0，
所以Δ=64cos2∠DAB−16=0，
即cos2∠DAB=14．
因为∠DAB为锐角，
所以cos∠DAB=12，∠DAB=π3，
以AC与BD的交点为原点，AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则N334,14，B0,−1，
设Mx0,0，x0∈−3,3，
则BM→=x0,1，MN→=334−x0,14，
BM→⋅MN→=−x02+334x0+14=−x0−3382+4364．
当x0=338时，BM→⋅MN→取得最大值4364．
故选A．
二、填空题
【答案】
25
【考点】
向量模长的计算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：因为a→⊥b→，所以a→⋅b→=33m−2+3−m=0，
解得m=1，
所以a→=1,3，b→=3,−1，
a→+b→=(4,2)，
故|a→+b→|=42+22=25．
故答案为：25.
【答案】
0或2
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
【解答】
解：当a>0时，由fa=a2−a=a，得a=2；
当a≤0时，由fa=2a−1=a，得a=0.
故答案为：0或2.
【答案】
18
【考点】
二倍角的正弦公式
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
【解答】
解：原式=−cosπ7⋅cos2π7⋅cos4π7
=−2sinπ7cosπ7⋅cos2π7⋅cos4π72sinπ7
=2sin2π7⋅2cos2π7⋅2cos4π74sinπ7
=−2sin4π7⋅cos4π78sinπ7=−sin8π78sinπ7
=−sin(π+π7)8sinπ7=18．
故答案为：18.
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【答案】
[3−22,+∞)
【考点】
函数恒成立问题
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：因为BC//x轴，
所以f(x)的图象的一条对称轴方程为x=π2+2π32=7π12．
因为7π12−π3=π4=14×2πω，
所以ω=2，
由2×7π12+φ=3π2+2kπ，k∈Z，且0<φ<π，
得φ=π3，
所以f(x)=sin2x+π3，
f(x1)−m≤sin2x1+cos2x2等价于f(x1)−sin2x1≤m+cos2x2，
令g(x)=sin2x+π3−sin2x，x∈0,7π12，
则g(x)=32cos2x−12sin2x=cos2x+π6，x∈0,7π12，
由x1∈0,7π12，得2x1+π6∈π6,4π3，
所以g(x1)的最大值为32，
因为x2∈−π8,5π12，2x2∈−π4,5π6，
所以cos2x2∈−32,1，
由题意可知32≤m+1，
故m≥3−22.
故答案为：3−22,+∞．
三、解答题
【答案】
解：(1)设fx=ax2+bx+ca≠0，
则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c．
因为fx+1−fx=2x+3，
所以2ax+a+b=2x+3，得a=1，b=2．
因为fx的图象经过点A1,−9，
所以f1=1+2+c=−9，即c=−12．
故fx=x2+2x−12.
(2)设gx=fx−mx=x2+2−mx−12．
因为当x∈−2,3时，不等式fx≤mx恒成立，
所以g−2≤0,g3≤0,
即4−2(2−m)−12≤0,9+3(2−m)−12≤0,
解得1≤m≤6．
故m的取值范围是[1,6]．
【考点】
函数恒成立问题
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设fx=ax2+bx+ca≠0，
则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c．
因为fx+1−fx=2x+3，
所以2ax+a+b=2x+3，得a=1，b=2．
因为fx的图象经过点A1,−9，
所以f1=1+2+c=−9，即c=−12．
故fx=x2+2x−12.
(2)设gx=fx−mx=x2+2−mx−12．
因为当x∈−2,3时，不等式fx≤mx恒成立，
所以g−2≤0,g3≤0,
即4−2(2−m)−12≤0,9+3(2−m)−12≤0,
解得1≤m≤6．
故m的取值范围是[1,6]．
【答案】
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解：(1)fx=sin2x−π3+2sinxcosx+1
=32sin2x−32cos2x+1
=3sin2x−π6+1，
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ,k∈Z，
则−π6+kπ≤x≤π3+kπ,,k∈Z，
当k=−1时，x∈−7π6,−2π3，
当k=0时，x∈−π6,π3，
所以fx在−π,0上的单调递增区间为−π,−2π3∪−π6,0.
(2)因为fA=3sin2A−π6+1=3+1，
所以sin2A−π6=1.
因为02时，令H(x)=G′(x)=ax+2ex−1−(a+2)，
则H′x=−ax2+2ex−1，
因为H′x在[1,+∞)上单调递增，
且H′1=2−a<0，H′a=2ea−1−1>0，
所以H′x在1,a上存在唯一的零点x0．
当x∈[1,x0)时，H′x<0，
即Hx在1,x0上单调递减，此时Hx≤H1=0，
则Gx在1,x0上单调递减，
此时G(x)2时，令H(x)=G′(x)=ax+2ex−1−(a+2)，
则H′x=−ax2+2ex−1，
因为H′x在[1,+∞)上单调递增，
且H′1=2−a<0，H′a=2ea−1−1>0，
所以H′x在1,a上存在唯一的零点x0．
当x∈[1,x0)时，H′x<0，
即Hx在1,x0上单调递减，此时Hx≤H1=0，
则Gx在1,x0上单调递减，
此时G(x)
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