2019届二轮复习选择填空题解题策略动直线过定点问题学案（全国通用）

2019届二轮复习选择填空题解题策略动直线过定点问题学案（全国通用）

第一篇 圆锥曲线 专题06 动直线过定点问题 若要证明动直线恒过定点，则应该是所有斜率不确定的直线都过这一点，因此所要证明的过定点的直线的斜率位置必定含有参数，例，我们只需要令含有参数部分的等于零即可消去参数；. ‎ 若动直线的参数位置在截距上，例，则此时动直线并不是以定点为对称点转动，因此无法证明直线过定点；‎ 若动直线的斜率部分和截距部分同时含有参数呢？例，方程可写成，能看出直线过点，因此只要截距位置和斜率位置的参数是齐次的且为同一个参数都可以求出所过的定点；‎ 但是若直线中含有两个参数呢？例无法求出恒过的点，但是若知道和的关系，则两个参数可转化为一个，也可求出动直线恒过的点。‎ 因此在圆锥曲线中证明动直线过定点，则直线方程必定含有一个或两个参数，若含有一个参数，则参数位置肯定不能只在截距上；若含有两个参数，则根据圆锥曲线中给出的条件必定可以求出两个参数之间的等量关系，因此题目的关键即为求出直线方程。‎ 圆锥曲线中证明直线过定点的问题非常有意思，因为题目中都会明确给出一个等量关系，这种关系有可能是一个等式（向量形式），也可能是垂直关系，再或者是给出斜率的加减乘除关系，因此看到并会用这种等量关系是解决定点问题的关键。学 = ‎ 引题：已知椭圆的方程为，过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，‎ 求证：直线恒过定点，并求出定点。 . ‎ ‎【分析】题目中所给的两条互相垂直的直线都过点，故两条直线的斜率有关系，因此我们只需要 设一个斜率即可表示出另外一条直线的斜率，从题意得出两条直线斜率肯定都存在，故不需要讨论斜率是 否存在。‎ 常规思路：若要求恒过的定点，则我们要先求出直线方程，而直线的方程只能通过两点来求出，‎ 故需要分别求出的坐标。‎ 但是我们上面所说的定点问题一般都会给出一个等量关系，在这个题目中很隐晦，但是也出现了，即，因此若不用两点式求出的直线方程而是直接设出直线方程为，则根据垂直等量关系我们应该可以得到一个和的关系，但是这个题目过于特殊直接就能把的值求出来，方法如下:‎ ‎【解析】设的方程为 因为 即代入得 所以直线方程为，故直线恒过定点 学 ‎ 一、解决动直线恒过定点问题的方法 方法一：用一个参数写出直线方程，即可求出定点，需要注意这个参数的范围是否存在。‎ 例1：已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别是 ‎，求证直线恒过定点。‎ ‎【解析】由题知两条直线的斜率均存在，设 设直线的斜率为，则直线的斜率为 则直线的直线方程为 联立 则，同理可得 则直线的斜率 则直线的方程为，化简得 则直线恒过定点 方法二：用两个参数表示出直线方程，从题目条件中求出直线上两个参数的关系或某 个参数的值，即可求出定点。‎ 例2：在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于两点，如果,是坐标原 点，证明直线过定点。‎ 例3：过上一点，作两条射线交抛物线于两点，且，则证明恒过一定 点。‎ ‎【解析】设直线的方程为，设 联立 因为，即 化简得：‎ ‎ 学 ‎ 解得 当时，的方程为，此时恒过点 当时，的方程为，此时恒过点 例4：从O点引出的两条射线交抛物线于两点，且满足，证明恒过一定 点。学 = 学 ‎ 例5：四点中恰有三点在椭圆C上 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线不经过点且与C相交于两点，若直线与直线的斜率的和为-1，证明：过定点。‎ ‎【解析】（1）在椭圆上的点只可能是，所以 代入点得 学 ‎ 所以椭圆方程为：‎ ‎（2）当直线斜率存在时，设直线方程为 因为，‎ 所以………………………………①‎ 联立 所以代入①式得：‎ ‎，故直线方程为，恒过定点 当斜率不存在时，证明过程略，可证也过定点 ‎ ‎