至山东辽宁江苏宁夏高考数学理科试卷及答案

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至山东辽宁江苏宁夏高考数学理科试卷及答案

绝密★启用前 ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)‎ 数 学 参考公式:‎ 一组数据的方差 其中为这组数据的平均数 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)已知,函数为奇函数,则a=‎ ‎ (A)0 (B)1 (C)-1 (D)±1‎ ‎(2)圆的切线方程中有一个是 ‎(A)x-y=0 (B)x+y=0 (C)x=0 (D)y=0‎ ‎(3)某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为 ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎(4)为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点 ‎ (A)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)‎ ‎ (B)向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)‎ ‎ (C)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)‎ ‎ (D)向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)‎ ‎(5)的展开式中含x的正整数指数幂的项数是 ‎(A)0 (B)2 (C)4 (D)6‎ ‎(6)已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足 =0,则动点P(x,y)的轨迹方程为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(7)若A、B、C为三个集合,,则一定有 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)设a、b、c是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是 ‎ (A) (B)‎ ‎ (C) (D)‎ A D C B ‎(9)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可放棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有 ‎(A)1个    (B)2个 ‎(C)3个    (D)无穷多个 ‎(10)右图中有一个信号源和五个接收器。‎ 信号源 图1‎ 接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 ‎ (A)    (B)‎ ‎ (C)   (D)‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题卡相应位置上。‎ ‎(11)在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC= ‎ ‎(12)设变量x、y满足约束条件,则的最大值为 ‎ ‎(13)今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有 ‎ ‎ 种不同的方法(用数字作答)。‎ ‎(14)= ‎ ‎(15)对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则数列的前n项和的公式是 ‎ ‎(16)不等式的解集为 ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共70分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎(17)(本小题满分12分,第一小问满分5分,第二小问满分7分)‎ ‎   已知三点P(5,2)、(-6,0)、(6,0).‎ ‎ (Ⅰ)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程;‎ O ‎(Ⅱ)设点P、、关于直线y=x的对称点分别为、、,求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。‎ ‎(18)(本小题满分14分)‎ 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大?‎ O1‎ ‎(19)(本小题满分14分,第一小问满分4分,第二小问满分5分,第三小问满分5分)‎ 在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1)。将△AEF沿EF折起到的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结A1B、A1P(如图2)‎ ‎(Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP;‎ ‎(Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小;‎ ‎(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函数表示)‎ 图1‎ 图2‎ ‎(20)(本小题满分16分,第一小问4分,第二小问满分6分,第三小问满分6分)‎ 设a为实数,设函数的最大值为g(a)。‎ ‎(Ⅰ)设t=,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t)‎ ‎(Ⅱ)求g(a)‎ ‎(Ⅲ)试求满足的所有实数a ‎(21)(本小题满分14分)‎ 设数列、、满足:,(n=1,2,3,…),‎ 证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且(n=1,2,3,…)‎ 数学试题参考答案 ‎(1)A (2)C (3)D (4)C (5)B (6)B (7)A (8)C (9)D(10)D ‎(11) (12)18 (13)1 260 (14)2 (15)2n+1 (16)‎ ‎(17) 解:(Ⅰ) 所以所求椭圆的标准方程为 ‎ (Ⅱ) 所以所求双曲线的标准方程为 ‎(18) 解:设OO1为x m,则 ‎ 设题设可得正六棱锥底面边长为(单位:m)‎ ‎ ‎ ‎ 求导数,得 令,解得(不合题意,舍去),x=2‎ ‎ 当为增函数; 当为减函数。‎ ‎ 所以当x=2时,最大。‎ ‎ (19)(Ⅱ)在图2中,∵A1E不垂直于A1B,∴A1E是平面A1BP的斜线。‎ 又A1E⊥平面BEP, ∴A1E⊥BP,‎ 从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理)。‎ 设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则 ‎∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角,‎ 且BP⊥A1Q。‎ 在△EBP中, ∵BE=BP=2,∠EBP=60°,‎ ‎∴△EBP是等边三角形, ∴BE=EP 又A1E⊥平面BEP, ∴A1B=A1P, ∴Q为BP的中点,且。‎ 又A1E=1,在Rt△A1EQ中, ∴∠EA1Q=60°‎ ‎(Ⅲ)在图3中,过F作FM⊥A1P于M,连结QM,QF。‎ ‎∵CF=CP=1, ∠C=60°,‎ ‎∴△FCP是正三角形, ∴PF=1。‎ 又, ∴PF=PQ。 ①‎ ‎∵A1E⊥平面BEP, ‎ ‎∴A1F=A1Q; ∴△A1FP≌△A1QP 从而∠A1PF=∠A1PQ ②‎ 由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,‎ ‎∴∠QMP=∠FMP=90°,且MF=MQ,‎ 从而∠FMQ为二面角B—A1P—F的平面角。‎ 在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1, ∴。‎ ‎∵MQ⊥A1P, ∴‎ 在△FCQ中,FC=1,QC=2,∠C=60°,由余弦定理得QF=。‎ 在△FMQ中,‎ ‎(20) 解:(Ⅰ)∵∴要使t有意义,必须 ‎∵ ① ∴t的取值范围是 由①得 ∴‎ ‎(Ⅱ)由题意知即为函数的最大值 注意到直线是抛物线的对称轴,分以下几种情况讨论。‎ ‎(1)当a>0,函数的图像是开口向上的抛物线的一段,由 上单调递增。∴‎ ‎(2)当a=0时,m(t)=t,, ∴‎ ‎(3)当a<0时,函数y=m(t),的图像是开口向下的抛物线的一段。‎ 若 若 若 综上有 ‎ ‎(Ⅲ)解法一:情形1:当 由解得矛盾。‎ 情形2:当,此时,‎ 矛盾。‎ 情形3:当,此时 所以。‎ 情形4:当,此时 矛盾。‎ 情形5:当,此时 由矛盾。‎ 情形6:当a>0时,,此时 由 综上知,满足的所有实数a为:‎ 解法二:当 ‎ 当,所以 ‎。因此,当 当,由 当 要使,必须有 此时。综上知,满足的所有实数a为: ‎ ‎(21)证明:必要性. 设是公差为d1的等差数列,则 所以)成立.‎ 又 ‎ (常数)(n=1,2,3,…),所以数列为等差数列.‎ 充分性,设数列是公差d2的等差数列,且(n=1,2,3,…).‎ 证法一:‎ ‎①-②得 ‎ ,‎ ‎, ③‎ 从而有 ④‎ ‎④-③得 ⑤‎ ‎,‎ ‎∴由⑤得 由此 不妨设(常数).‎ 由此,‎ 从而,‎ 两式相减得,‎ 因此,‎ 所以数列是等差数列.‎ 证法二:令 ‎ 从而 由 得,即 ‎. ⑥‎ 由此得. ⑦‎ ‎⑥-⑦得. ⑧‎ 因为,‎ 所以由⑧得 于是由⑥得, ⑨‎ 从而 ⑩‎ 由⑨和⑩得即 所以数列是等差数列.‎
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