【数学】2020届江苏一轮复习通用版15-2双曲线作业
15.2 双曲线
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
双曲线的定义及标准方程
求双曲线的标准方程
★☆☆
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质及简单运用
2015江苏,12
双曲线的几何性质
两直线的距离公式
★★★
2016江苏,3
双曲线的几何性质
2017江苏,8
双曲线的几何性质
两直线的交点
2018江苏,8
双曲线的几何性质
点到直线的距离公式
分析解读 双曲线几乎是江苏高考的必考内容之一,考查的频率比较高,主要是考查双曲线的几何性质,题型以填空题为主,难度不大,主要是基础题.
破考点
【考点集训】
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.已知方程x22+λ-y21+λ=1表示双曲线,则λ的取值范围是 .
答案 (-∞,-2)∪(-1,+∞)
2.已知双曲线C的渐近线方程为y=±2x,且经过点(2,2),则C的方程为 .
答案 x23-y212=1
考点二 双曲线的几何性质
1.(2018江苏启东期中)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为 .
答案 2
2.(2018江苏连云港模拟)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
答案 2
炼技法
【方法集训】
方法一 求双曲线方程的方法
分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)虚轴长为12,离心率为54;
(2)焦距为26,且经过点M(0,12);
(3)渐近线方程为y=±12x,且经过点(4,3).
解析 (1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1或y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).由题意知,2b=12,e=ca=54,
所以b=6,c=10,a=8.
所以双曲线的标准方程为x264-y236=1或y264-x236=1.
(2)因为双曲线经过点M(0,12),
所以M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12.
因为2c=26,所以c=13.所以b2=c2-a2=25.
所以双曲线的标准方程为y2144-x225=1.
(3)解法一:因为双曲线的渐近线方程为y=±12x,
所以可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).
因为双曲线过点(4,3),所以λ=16-4×(3)2=4,所以双曲线的标准方程为x24-y2=1.
解法二:因为渐近线y=12x过点(4,2),而3<2,
所以点(4,3)在渐近线y=12x的下方(如图).
所以双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).
由已知条件可得ba=12,16a2-3b2=1,解得a2=4,b2=1,所以双曲线的标准方程为x24-y2=1.
方法二 求双曲线离心率(范围)的方法
1.(2019届江苏前黄高级中学期中)已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=13,则E的离心率为 .
答案 2
2.(2018江苏海门四校联考)设双曲线x2a2-y2b2=1(0
1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是 .
答案 (1,2)
过专题
【五年高考】
A组 自主命题·江苏卷题组
1.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c,则其离心率的值是 .
答案 2
2.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x27-y23=1的焦距是 .
答案 210
3.(2017江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x23-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是 .
答案 23
4.(2015江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为 .
答案 22
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.(2018天津文改编,7,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为 .
答案 x23-y29=1
2.(2018浙江改编,2,4分)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是 .
答案 (-2,0),(2,0)
3.(2017课标全国Ⅱ理改编,9,5分)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为 .
答案 2
4.(2017课标全国Ⅲ理改编,5,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为 .
答案 x24-y25=1
5.(2017天津理改编,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 .
答案 x28-y28=1
6.(2015北京,10,5分)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的一条渐近线为3x+y=0,则a= .
答案 33
7.(2015天津改编,6,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为 .
答案 x24-y23=1
8.(2014天津改编,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为 .
答案 x25-y220=1
9.(2014福建,19,13分)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.
(1)求双曲线E的离心率;
(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.
解析 (1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以ba=2,所以c2-a2a=2,故c=5a,
从而双曲线E的离心率e=ca=5.
(2)解法一:由(1)知,双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,
则|OC|=a,|AB|=4a,
又因为△OAB的面积为8,
所以12|OC|·|AB|=8,
因此12a·4a=8,解得a=2,
此时双曲线E的方程为x24-y216=1.
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为x24-y216=1.
以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:x24-y216=1也满足条件.
设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,
则C-mk,0.记A(x1,y1),B(x2,y2).
由y=kx+m,y=2x得y1=2m2-k,同理得y2=2m2+k.
由S△OAB=12|OC|·|y1-y2|得,
12-mk·2m2-k-2m2+k=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).
由y=kx+m,x24-y216=1得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.
因为4-k2<0,
所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),
又因为m2=4(k2-4),
所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.
因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为x24-y216=1.
解法二:
由(1)知,双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1.
设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
依题意得-122或k<-2.
由y=kx+m,4x2-y2=0得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,
因为4-k2<0,Δ>0,所以x1x2=-m24-k2,
又因为△OAB的面积为8,
所以12|OA|·|OB|·sin∠AOB=8,又易知sin∠AOB=45,
所以25x12+y12·x22+y22=8,化简得x1x2=4.
所以-m24-k2=4,即m2=4(k2-4).
由(1)得双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1,
由y=kx+m,x2a2-y24a2=1得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,
因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,
即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,
所以双曲线E的方程为x24-y216=1.
当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:x24-y216=1有且只有一个公共点.
综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为x24-y216=1.
评析本题主要考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想.
考点二 双曲线的几何性质
1.(2018课标全国Ⅲ文改编,10,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则点(4,0)到C的渐近线的距离为 .
答案 22
2.(2018课标全国Ⅰ理改编,11,5分)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= .
答案 3
3.(2018课标全国Ⅲ理改编,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为 .
答案 3
4.(2017课标全国Ⅰ文改编,5,5分)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为 .
答案 32
5.(2017课标全国Ⅰ理,15,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为 .
答案 233
6.(2017山东理,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .
答案 y=±22x
7.(2015课标Ⅰ改编,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是 .
答案 -33,33
8.(2016天津文改编,4,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为 .
答案 x24-y2=1
9.(2016天津理改编,6,5分)已知双曲线x24-y2b2=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为 .
答案 x24-y212=1
10.(2015重庆改编,10,5分)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+a2+b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 .
答案 (-1,0)∪(0,1)
11.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 .
答案 32
12.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 .
答案 (27,8)
C组 教师专用题组
1.(2013江苏,3,5分)双曲线x216-y29=1的两条渐近线的方程为 .
答案 y=±34x
2.(2017北京文,10,5分)若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m= .
答案 2
3.(2014课标Ⅰ改编,4,5分,0.472)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为 .
答案 3
4.(2013课标全国Ⅰ理改编,4,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,则C的渐近线方程为 .
答案 y=±12x
5.(2016浙江理改编,7,5分)已知椭圆C1:x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2:x2n2-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则e1e2与1的大小关系为 .
答案 e1e2>1
6.(2016北京,12,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(5,0),则a= ;b= .
答案 1;2
【三年模拟】
一、填空题(每小题5分,共40分)
1.(2019届江苏崇川期初)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,则其渐近线方程为 .
答案 y=±2x
2.(2019届江苏金陵中学周考)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为 .
答案 x24-y212=1
3.(2018江苏扬州中学期初)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 .
答案 (-1,3)
4.(2018江苏南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x216-y29=1的焦点到其渐近线的距离为 .
答案 3
5.(2019届江苏盐城中学质检)已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m的值是 .
答案 -14
6.(2019届江苏姜堰中学期中)已知点F是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 .
答案 (1,2)
7.(2018江苏苏北四市期末)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则该双曲线的离心率为 .
答案 52
8.(2019届江苏海门实验学校期初)已知双曲线x2-y23=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则PA1·PF2的最小值为 .
答案 -2
二、解答题(共30分)
9.(2018江苏启东中学月考)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=213,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程;
(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.
解析 (1)由题意知c=13,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线方程为x2m2-y2n2=1(m>0,n>0),
则a-m=4,7·13a=3·13m,解得a=7,m=3.则b=6,n=2.
故椭圆方程为x249+y236=1,双曲线方程为x29-y24=1.
(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,
所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=213,
所以cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2|
=102+42-(213)22×10×4=45.
10.(2019届江苏清江中学质检)已知椭圆C1的方程为x24+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点,O为坐标原点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且OA·OB>2,求k的取值范围.
解析 (1)设双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),
则a2=4-1=3,c2=4,
又a2+b2=c2,所以b2=1,
故双曲线C2的方程为x23-y2=1.
(2)将y=kx+2代入x23-y2=1,得(1-3k2)x2-62kx-9=0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点,
得1-3k2≠0,Δ=(-62k)2+36(1-3k2)>0,
∴k2<1且k2≠13.①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=62k1-3k2,x1x2=-91-3k2.
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(k2+1)x1x2+2k(x1+x2)+2=3k2+73k2-1.
又∵OA·OB>2,即x1x2+y1y2>2,
∴3k2+73k2-1>2,即-3k2+93k2-1>0,解得13
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