江苏省南京市2020届高三上学期期初联考数学试题

江苏省南京市2020届高三上学期期初联考数学试题

江苏省南京市2020届高三年级第一学期期初联考考试 数学试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1.已知集合A＝，B＝，则AB＝_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集定义直接求得结果.‎ ‎【详解】由交集定义可得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知复数z（i是虚数单位），则z的虚部是　 .‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z的虚部可求．‎ ‎【详解】∵z，‎ ‎∴z的虚部是﹣2．‎ 故答案为﹣2．‎ ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．‎ ‎【答案】200.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果.‎ ‎【详解】由题意可知，单间产品质量在和的为三等品 三等品对应的频率为：‎ 三等品件数为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题.‎ ‎4.现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果.‎ ‎【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：个，其中偶数有：个 该三位数是偶数的概率：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.‎ ‎5.函数的定义域为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案.‎ ‎【详解】由，得，‎ 函数的定义域为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题.‎ ‎6.运行如图所示的伪代码，其结果为 ．‎ ‎【答案】17‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17‎ 考点：循环结构流程图 ‎7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：(a＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线C的方程为_______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得，从而得到所求方程.‎ ‎【详解】由双曲线方程知，右顶点为，渐近线方程为：，即 右顶点到双曲线渐近线距离，解得：‎ 双曲线的方程为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量.‎ ‎8.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 设球的半径为，可知圆柱高为；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果.‎ ‎【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为 圆柱的表面积；球的表面积 圆柱的表面积与球的表面积之比为 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.‎ ‎9.函数(A＞0，＞0)部分图象如图所示．若函数在区间[m，n]上的值域为[，2]，则n﹣m的最小值是_______．‎ ‎【答案】3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数图象求得函数解析式；利用和求得的取值，可知当时取最小值，从而得到结果.‎ ‎【详解】由图象知： ，又 ‎ ‎ ，‎ 当时，或，‎ 或， ‎ 当时，， ‎ 若最小，则 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.‎ ‎10.在公比为q且各项均为正数的等比数列中，为的前n项和．若，且，则首项的值为_______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先验证时，不符合题意，可知；利用和可构造方程求得，代入求得结果 ‎【详解】当时，由得：，解得：‎ 与矛盾，可知 ‎，‎ ‎，又，解得： ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方程.‎ ‎11.已知是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x＜0时，．已知m满足不等式，则实数m的取值范围为_______．‎ ‎【答案】(0，1).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数性质和奇偶性可知在上单调递减；将不等式变为 ‎，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】为定义在上的奇函数 ‎ 时， 在上单调递减 为奇函数 在上单调递减 在上单调递减 由得：‎ ‎，解得：，即的取值范围为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要求，造成求解错误.‎ ‎12.已知圆O：x2＋y2＝4和圆O外一点P(，)，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且∠AOB＝120°．若点C(8，0)和点P满足PO＝PC，则的范围是_______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可知，利用构造方程可求得；根据且可解不等式求得结果.‎ ‎【详解】， ，即 又且 且 解得：‎ ‎ ，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式.‎ ‎13.如图，已知梯形，，，取中点，连接并延长交于，若，则_______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作，根据三角形相似得到比例关系证得；利用平面向量线性运算可用，表示出，，根据数量积的运算律可整理得到，从而得到结果.‎ ‎【详解】作，交于点 ‎ ，又 又，可得： ‎ 又 ，即 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较难题.‎ ‎14.已知函数,若，且，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先可根据题意得出不可能同时大于，然后令，根据即可得出，最后通过构造函数以及对函数的性质进行分析即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 根据题意以及函数图像可知，不可能同时大于，‎ 因为，所以可以令，即，‎ 因为，所以，，，‎ 构造函数，则，‎ 令，则，即；‎ 令，则，即；‎ 令，则，即；‎ 所以在上单调递减，在处取得极小值，在上单调递增，‎ 所以，，，‎ 故答案为。‎ ‎【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查分段函数的相关性质、函数值与自变量之间的联系以及导数的相关性质，能否通过题意构造出函数是解决本题的关键，考查推理能力，考查函数方程思想，是难题。‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．‎ ‎（1）证明：EF∥平面PAC；‎ ‎（2）证明：AF⊥PC．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角形中位线可证得，由线面平行判定定理可证得结论；（2）利用线面垂直性质可证得，又，可证得线面垂直，进而得到；利用等腰三角形三线合一证得，得到平面；通过线面垂直的性质可证得结论.‎ ‎【详解】（1）分别为中点 ‎ 平面，平面 平面 ‎（2）平面，平面 ‎ 又四边形为正方形 ‎ ‎，平面 平面 平面 ‎ ‎，为中点 ‎ 又，平面 平面 平面 ‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系、线线垂直关系的证明；证明线线垂直的常用方法是利用线面垂直的性质，通过证明线面垂直得到结论.‎ ‎16.在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）若点D在BC边上，AD＝BD，求△ABD的面积．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理可求得，再根据正弦定理求得；（2）根据同角三角函数关系求得，利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式求得结果.‎ ‎【详解】（1）由余弦定理可得：‎ 由正弦定理可得：‎ ‎（2）为锐角 ‎ 由余弦定理得：‎ 又 ‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正余弦定理的应用、三角形面积公式的应用，属于常考题型.‎ ‎17.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形的宽和长都分别为x，y（单位：dm）且x＜y，若剪去的正十字形部分面积为4dm2．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式，并求其定义域；‎ ‎（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当x取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值．‎ ‎【答案】（1）y关于x的函数解析式，定义域为(0，2)；‎ ‎（2）当x取，所用到的圆形纸片面积最小，最小值为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正十字形面积可构造关于的等式，整理可得函数关系式；利用且可解不等式求得定义域；（2）利用外接圆直径可得，利用基本不等式可求得的最小值及取得最小值时的取值，代入圆的面积公式即可求得面积的最小值.‎ ‎【详解】（1）由题意可得：，则：‎ 且，即 ‎ 关于的解析式为，定义域为 ‎（2）设正十字形的外接圆的直径为 当且仅当，即时取等号 即时，‎ 正十字形外接圆面积：‎ 即正十字形外接圆面积的最小值为：，此时 ‎【点睛】本题考查构造合适的函数模型解决实际问题，涉及到与实际相结合的函数的定义域的求解、基本不等式求解函数的最值；关键是能够构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式的取等条件确定最值点.‎ ‎18.已知椭圆C：(a＞b＞0)，左、右焦点分别为F1(﹣1，0)，F2(1，0)，椭圆离心率为，过点P(4，0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A在B的左侧）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若B是AP的中点，求直线l的方程；‎ ‎（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）或；‎ ‎（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据交点坐标和离心率可求得，根据可求得椭圆方程；（2）设，根据中点坐标公式可得；代入椭圆方程求得点坐标，进而得到直线斜率，利用点斜式方程可求得结果；（3）设，，则，设所求定点，根据三点共线斜率相等可构造等式求得，利用韦达定理表示出后可整理化简得到，从而证得结论.‎ ‎【详解】（1）由焦点坐标可知：‎ 又椭圆离心率 ‎ 椭圆方程为：‎ ‎（2）设 中点， ‎ 都在椭圆上 ，解得：或 或 或 直线方程为：‎ 即：或 ‎（3）设，，则 设为直线与轴的交点，且 三点共线 ，解得：‎ 设直线方程为：，‎ 则， ‎ 联立，化简得：‎ ‎，‎ 则 直线与轴相交于定点 ‎【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、根据直线与椭圆的位置关系求解直线方程、定点类问题的求解；解决定点类问题的关键是能够将变量表示成能够应用韦达定理的形式，通过整理化简得到定值，从而得到定点坐标.‎ ‎19.在数列中，已知，．‎ ‎（1）若（k为常数），，求k；‎ ‎（2）若．①求证：数列为等比数列；②记，且数列的前n项和为，若为数列中的最小项，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用递推关系式可根据得到关于的方程，解方程求得结果；（2）①将递推关系式整理为，可证得结论；②求得后，采用分组求和法求得，根据最小项为，可将问题转化为恒成立；分别在时求得范围，当时，将问题转化为，令且，可验证出，得到；综合上述情况可得结果.‎ ‎【详解】（1）当时， ‎ 则，解得：‎ ‎（2）①若，则 ‎ 又 数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎②由①知： ‎ ‎ 恒成立 即：对恒成立 当时，，解得：‎ 当时，，解得：‎ 当且时， ‎ 令且 ‎ ‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用递推公式证明等比数列、求解数列通项、分组求和法求解数列的前项和、根据数列的单调性求解参数范围等知识；本题中参数范围求解的关键是能够通过分组求和法求得数列前项和，进而将问题转化为恒成立问题，通过对不同取值的讨论最终得到结果，属于较难题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）函数在区间上有零点，求的值；‎ ‎（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数几何意义求出切线斜率，由解析式求得切点坐标，从而得到切线方程；（2）由导数可得函数单调性，利用零点存在性定理可判断出在上有零点，从而得到结果；（3）整理出，可知为的两根，从而得到，；根据的范围可确定的范围后，将两式代入进行整理；构造函数，，利用导数可求得函数的最小值，该最小值即为的最大值.‎ ‎【详解】（1）由题意得：‎ ‎，‎ 曲线在处切线为：，即 ‎（2）由（1）知：‎ 当时，；当时，‎ 在上单调递减，在上单调递增 ‎ 又，，‎ 由零点存在定理知：在上有一个零点 在上单调递增 该零点为上的唯一零点 ‎ ‎（3）由题意得：‎ 为的两个极值点，即为方程的两根 ‎， ‎ ‎ ，又，解得：‎ 令，‎ 则 在上单调递减 ‎ 即 ‎ 即实数的最大值为：‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到求解曲线在某一点处的切线方程、结合零点存在性定理讨论零点所在区间、极值点与导数之间的关系、恒成立问题的求解等；本题解题的关键是能够通过极值点与导数的关系，将不等式转化为参数与某一函数最值之间的比较问题，通过构造函数的方式来使问题得以解决，属于难题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎