浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期第一次月考数学试题

浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期第一次月考数学试题

杭州二中高三第一学期第一次月考数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵集合 ‎∴集合或 ‎∵集合 ‎∴集合 ‎∴‎ 故选B.‎ ‎2.若，则的大小关系是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用对数函数和指数函数的单调性求解．‎ ‎【详解】∵0＜a＝，b＝log0.51.2＜log0.51＝0，c＝1.20.5＞1.20＝1，‎ ‎∴b＜a＜c．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查对数值大小的比较，考查了对数函数和指数函数的单调性，是基础题．‎ ‎3.已知复数对应复平面上的点，复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用复数代数形式的乘除运算化简求得z2，再求模长即可．‎ ‎【详解】由已知可得z1＝﹣1+i，‎ ‎∴，‎ ‎∴|z2|．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．‎ ‎4.函数，的值域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角的余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求解函数的值域．‎ ‎【详解】因为函数y＝cos2x+sin2x＝cos2xcos2xcos2x．因为x∈R，所以cos2x∈[﹣1，1]，‎ 所以cos2x∈[0，1]．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，二倍角的余弦函数的应用，求三角函数的值域是解题的关键，考查计算能力．‎ ‎5.函数的大致图象为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， ‎ ‎ 又，所以函数的图象应对应选项B，故选B．‎ ‎6.下列命题中正确的是（ ）‎ A. 函数的图象恒过定点 B. “，”是“”的充分必要条件 C. 命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”‎ D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数过定点判断A;利用基本不等式判断B,利用逆否命题判断C,构造函数判断D ‎【详解】对A,因为恒过（0,1），故函数的图象恒过定点 ‎，故A错误；‎ 对B, 的充分必要条件是，故B错误；‎ 对C, 命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，故C错误；‎ 对D,令，则，易得函数为单调递减函数，故，则D正确 故选：D ‎【点睛】本题考查命题真假，熟练掌握函数单调性，基本不等式，逆否命题等知识是关键，是中档题 ‎7.已知内角的对边分别为，若，，则的形状是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理将化边代入，结合求解即可 ‎【详解】由题 当，三角形直角三角形 当，则，又，则三角形为等腰三角形 故选：D ‎【点睛】本题考查余弦定理，注意角化边的应用，是基础题，注意等式两边不能随便约分，是易错题 ‎8.函数()，满足，且对任意，都有，则以下结论正确的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】解：函数f（x）满足，‎ ‎∴f（x）关于点（，0）对称，‎ 且对任意x∈R，都有，‎ ‎∴x是f（x）的对称轴，‎ 令x＝0，得﹣f（0）＝asin0+bcos0＝b＝f（）＝0，‎ ‎∴b＝0，f（x）＝asinωx，A正确；‎ ‎∴f（x）是定义域R上的奇函数，B错误；‎ 可得a≠0，b＝0，ab，C错误；‎ 由题意，ω＝6k+3，k∈Z，∴D错误；‎ 综上，正确的结论是A．‎ 故选：A．‎ ‎9.若不等式组(为常数)，表示的平面区域的面积8，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出满足条件的（a为常数）表示的平面区域，根据目标函数z＝x2+y的几何意义是曲线y＝﹣x2+z与y轴交点的纵坐标，利用数形结合可以得到答案．‎ ‎【详解】满足约束条件的可行域如下图所示，‎ 若可行域的面积为8，则a＝2‎ 设z＝x2+y 由图可得当z＝x2+y与直线相切时z最小，联立两曲线得x2-x-z=0,,得 ,此时x，y，故x2+y取最小值，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出约束条件对应的可行域是解答本题的关键．‎ ‎10.已知函数在区间上满足，且.设，，则当时，下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导数，利用f（x）+f′（x）＜0，可得F（x）＝exf（x）的单调性，根据0＜x＜1，x，由已知F（x）＞F（），即可得出结论．‎ ‎【详解】令F（x）＝exf（x），∴F′（x）＝ex[f（x）+f′（x）]；‎ 又∵f（x）+f′（x）＜0，∴F′（x）＜0，‎ ‎∴F（x）是（0，+∞）上的减函数；‎ 令0＜x＜1，则x，由已知F（x）＞F（），可得f（x）f（），‎ 下面证明：，即证明x+2lnx＞0，‎ 令g（x）x+2lnx，则：‎ g′（x）0，g（x）在（0，1）↓，g（x）＞g（1），‎ 即，‎ ‎∴xf（x）f（），即 故选：A ‎【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查大小比较，正确构造函数求导是关键．‎ 二、填空题。‎ ‎11.在中，，，，，则的最小值为______ ， 又若，则________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量数量积的运算律和定义计算，将其转化为有关于的二次函数的最小值，可得出的最小值，由，得出，利用平面向量数量积的运算律和定义可求出实数的值.‎ ‎【详解】 ，‎ 所以当时， 取最小值；‎ 因为，所以，解得，故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量模的最值的计算以及垂直向量数量积的转化，解题时应充分转化为平面向量数量积，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎12.已知函数，则函数的增区间是____，最小值是_____‎ ‎【答案】 (1). (2). 4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 去绝对值分段，得的解析式，则增区间和最小值可求 ‎【详解】易知，则函数的增区间是，‎ 又，则函数的最小值为4‎ 故答案为 ； 4‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数增减性及最值，是基础题 ‎13.若锐角满足，则______；函数的单调增区间为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意由同角三角函数和二倍角求出φ的值，利用降幂公式化简函数f（x），‎ 再求出它的单调增区间．‎ ‎【详解】锐角φ满足sinφ﹣cosφ，‎ ‎∴1﹣2sinφcosφ，‎ ‎∴sin2φ；‎ 又sinφ，‎ ‎∴2φ，‎ 解得φ；‎ ‎∴函数f（x）＝sin2（x+φ）‎ ‎ ‎ cos（2x），‎ ‎∴2kπ≤2x2kπ+π，k∈Z；‎ 解得kπx≤kπ，k∈Z；‎ ‎∴f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]（k∈Z）．‎ 故答案为 ；‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，准确利用三角变换化简是关键，是中档题．‎ ‎14.已知函数，若，则____；有_________个零点 ‎【答案】 (1). 1或或 (2). 4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分情况讨论正负解方程即可求解，则其乘积可求，利用换元法结合内外层函数求解根的个数即可 ‎【详解】当均大于0，则或或或，此时1或或 当均小于0，不合题意舍去.‎ 又令，则，故 或 解得 ‎ 则与交点个数分别1个，0个，3个，综上有4个零点 故答案为1或或 ； 4‎ ‎【点睛】本题考查分段函数及性质，函数的零点，注意函数复合的应用，是难题 ‎15.已知函数，则不等式的解集是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的奇偶性和单调性，再构造函数解不等式即可 ‎【详解】，故为奇函数，且单调递减，则令，故 为奇函数且单调递减，故 等价于，即 ，即，解得 故答案为 ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，准确判断的奇偶性和单调性，构造新函数是关键，是中档题 ‎16.已知都为正实数，且，则的最小值为______．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将通分整理代入所求式子，配凑基本不等式形式求解即可 ‎【详解】则 且，则=，当且仅当等号成立 故答案为9‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式求最值，将条件灵活变形是关键，是中档题 ‎17.已知是平面上两个定点，平面上的动点满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立坐标系，得点的轨迹方程，分离参量求范围即可求解 ‎【详解】不妨设，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则 ，‎ 设 ‎ 故动点的轨迹为圆，由恒成立，则 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查圆的轨迹方程，平面问题坐标化的思想，是难题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18.已知函数 ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，求函数的值域. ‎ ‎【答案】（1）1；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角公式结合辅助角公式化简解析式，即可求值；（2）由正弦函数的性质求值域即可 详解】（1） ‎ ‎（2）由（1）知，， ‎ 当时 由，得的值域为.‎ ‎【点睛】本题考查三角变换，熟记公式准确化简是关键，是基础题 ‎19.已知两个非零向量，且，‎ ‎（1）求的夹角；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由垂直结合数量积运算得，再利用模长公式结合得，即可求解夹角；（2）利用模长公式计算结合基本不等式求最值即可 ‎【详解】（1）由可得 ‎ ，即 又 则 所以 故 ‎（2）若 则的最小值为，当时，即时，取得最小值。‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积，模长夹角运算，其中模长最值是易错点，是中档题 ‎20.已知锐角中，角的对边分别为，向量,‎ ‎，且． ‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由结合二倍角公式求解即可；（2）利用正弦定理边化角，再利用内角和为，结合三角变换化为的函数求解即可 详解】（1）∵，∴，∴ ，由锐角故 ‎（2）．‎ ‎ 为锐角三角形，则 ‎ ‎∴，所以．‎ 故的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查数量积垂直的坐标运算，三角恒等变换，及正弦定理，准确计算是关键，是中档题 ‎21.已知函数,()‎ ‎（1）当时，若存在实数，当时，恒成立，求实数的最大值。‎ ‎（2）若对任意，总存在唯一，使得成立.求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）4；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）不等式恒成立，转化为（）恒成立，换元转化为二次函数求最值即可求解；（2）对讨论求值域，由的值域为值域的子集，利用集合的包含关系列不等式求解即可 ‎【详解】（1）,∵存在实数，当时，恒成立；‎ 即恒成立.（）恒成立.‎ 设，则 ‎ ‎∴，‎ 即，且 ‎ ‎，∴实数最大值是4。‎ ‎（2），∵∴ ‎ ‎∴函数的值域为 其次，由题意知：，且对任意，总存在唯一，使得．以下分三种情况讨论： ‎ ‎①当时，则，解得； ‎ ‎②当时，则，解得；‎ ‎③当时，则或，解得；‎ 综上：a的取值范围是a≤﹣2或a．‎ ‎【点睛】本题考查二次函数不等式恒成立问题，双变元问题，注意题目的等价转化是关键，是中档题 ‎22.已知函数， ． ‎ ‎（1）若与的图象在公共点处有相同的切线，求切线方程；‎ ‎（2）若为整数，且恒成立，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设公共点为，利用切线斜率相等，及点在两个函数上列方程组求解即可求解切线方程；(2)分离参数，构造函数求最值即可求解 ‎【详解】(1)设公共点为，则有，解得，故切线方程是 ‎(2) ∵恒成立，∴恒成立 恒成立，令，，‎ 令，，单调递增，‎ ‎，所以存在使，‎ 所以在上单调递增，在单调递减，‎ ‎，因为为整数，所以的最小值为2.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数解决不等式恒成立问题，函数最值问题，准确转化是关键，是中档题 ‎ ‎