2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期期中考试数学试题

2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期期中考试数学试题

‎ ‎ ‎2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期期中考试数学试题 ‎ 一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1.命题“存在R，0”的否定是. ‎ A.不存在R,>0 B.存在R,0 ‎ C.对任意的,0 D.对任意的,>0‎ ‎2.已知全集为，集合，，则集合（ ）‎ ‎ ‎ ‎3．如果，那么下列各式一定成立的是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 已知函数，则=（  ）‎ ‎ A. B． C． D．‎ ‎5.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A﹣BCD的体积的最大值为（　　）‎ A. B． C． D． ‎ ‎6.的一个充分但不必要的条件是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题，正确命题的个数是 ‎①若，，，则 ‎ ‎②若，，则 ‎③若，，，则 ‎ ‎④若，，则//‎ A．1 　B． 2　 　 C． 3　 　D． 4‎ ‎8. 已知，则的 (　　)‎ A． 最大值为 B．最小值为 ‎ C． 最大值为 D．最小值为 ‎9．已知直线m、n及平面，其中m∥n，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。其中正确的是（ ）‎ ‎ A．（1）（2）（3） B．（1）（4） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）‎ ‎10．函数，若，，，则有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.设函数，，若，使得和同时成立，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12．将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=120°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为( )‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.已知圆锥的母线长为4cm，圆锥的底面半径为1cm，一只蚂蚁从圆锥的底面A点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程长为　 cm ‎14. 已知，则的最小值是　 ‎ ‎15.若函数在区间上为单调递减函数，则实数的取值范围为___________‎ ‎16．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是　 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17. (本题满分10分)‎ 已知幂函数在上单调递增，函数.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，记，的值域分别为集合，设命题,命题，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎18. (本题满分12分)‎ 解关于的不等式 ‎19．(本题满分12分)‎ 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，A1D⊥平面ABC，AB=BC，平面BB1D与棱A1C1交于点E．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥A1B；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面BB1D⊥平面AA1C1C；‎ ‎20. (本题满分12分)‎ 某厂家拟在2019年举行促销活动，经过调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）‎ ‎（单位：万件）与年促销费用（）（单位：万元）满足（为常数）. 如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件. 已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.‎ ‎（Ⅰ）将该厂家2019年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；‎ ‎（Ⅱ）该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？‎ ‎21. (本题满分12分)‎ 如图C,D是以AB为直径的圆上的两点，,F是AB上的一点，且,将圆沿AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知 ‎(1)求证：AD平面BCE ‎ ‎（2）求证AD//平面CEF；‎ ‎（3）求三棱锥A-CFD的体积 ‎22．(本题满分12分)‎ 已知函数，若同时满足以下条件：‎ ‎①在D上单调递减或单调递增；‎ ‎②存在区间，使在 上的值域是，那么称为闭函数．‎ ‎（1）求闭函数符合条件②的区间 ；‎ ‎（2）判断函数是不是闭函数？若是请找出区间；若不是请说明理由；‎ ‎（3）若是闭函数，求实数的取值范围．‎ ‎答案和解析 ‎1.D ‎2. 【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：,,选D ‎3.C【分析】根据不等式的性质判断即可．‎ ‎【解答】解：∵a＜b＜0，‎ ‎∴a﹣b＜0，a+b＜0，＞，‎ ‎∴（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2＞0，即a2＞b2，‎ 故C正确，A，D不正确 当c=0时，ac=bc，故B不一定正确，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的性质，掌握基本性质是关键，属于基础题．‎ ‎4.解：由题，选B. ‎ ‎5.【分析】当平面ABC⊥平面ACD时，得到的四面体A﹣BCD的体积取最大值，由此能求出四面体A﹣BCD的体积的最大值．‎ ‎【解答】解：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，‎ 当平面ABC⊥平面ACD时，‎ 得到的四面体A﹣BCD的体积取最大值，‎ 此时点B到平面ACD的距离d===，‎ S△ADC==6，‎ ‎∴四面体A﹣BCD的体积的最大值为： ‎ V===．‎ 故选：C．‎ ‎6.B ‎7. C ‎8.解析：＝＝＝≤. 选 A ‎9.C ‎10.D ‎11.【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：函数的图象恒过定点（1，4），的图象恒过定点（2，0），利用这两个定点，结合图象解决．‎ 由知 ，又存在，使得，‎ 知即或，另中恒过（2，0），‎ 故由函数的图象知：‎ a=0时，恒大于0，显然不成立．‎ 若时，，；‎ 若a<0时，，‎ 此时函数图象的对称，故函数在区间为增函数，‎ 又不成立．故选A.‎ 考点：一元二次不等式的解法 ‎12.【分析】由题意，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=120°，可得三棱锥A﹣BCD，且AD垂直于底面△BCD，求解底面△BCD外接圆，利用球心与圆心垂直构造直角三角形即可求解球O的半径，可得球O的表面积．‎ ‎【解答】解：由题意，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=120°，可得三棱锥A﹣BCD，且AD垂直于底面△BCD，‎ 底面△BCD中∠BDC=120°，DC=DB=1，那么BC=，‎ ‎∴底面△BCD外接圆半径：2r=，即r=1．‎ AD垂直于底面△BCD，AD=，‎ ‎∴球心与圆心的距离为，‎ 球心与圆心垂直构造直角三角形，‎ ‎∴球O的半径R2==．‎ 球O的表面积S=4πR2=7π．‎ 故选：B．‎ ‎【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．‎ ‎13.【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，‎ 故底面周长等于2π．‎ 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，‎ 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=，‎ 解得n=90°，‎ 所以展开图中圆心角为90°，‎ 根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：．‎ ‎【点评】本题考查蚂蚁爬行的最短路程长的求法，考查圆锥的展开图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎14.‎ ‎15. 【分析】因为函数f（x）=loga（x2﹣ax+2）为函数y=logax与y=x2﹣ax+2的复合函数，复合函数的单调性是同则增，异则减，讨论a＞1，0＜a＜1，结合二次函数的单调性，同时还要保证真数恒大于零，由二次函数的图象和性质列不等式即可求得a的范围．‎ ‎【解答】解：∵函数在区间（﹣∞，1]上为单调递减函数，‎ ‎∴a＞1时，y=x2﹣ax+2在（﹣∞，1]上为单调递减函数，‎ 且x2﹣ax+2＞0在（﹣∞，1）上恒成立，‎ ‎∴需y=x2﹣ax+2在（﹣∞，1]上的最小值1﹣a+2=3﹣a＞0，‎ 且对称轴x=a≥1，∴2≤a＜3；‎ ‎0＜a＜1时，y=x2﹣ax+2在（﹣∞，1]上为单调递增函数，不成立．‎ 综上可得a的范围是[2，3）．‎ ‎16. ‎ ‎17解：（Ⅰ）依题意得：或 当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去 ‎． ……………4分 ‎（Ⅱ）当时，，单调递增，，‎ 由命题是成立的必要条件，得，． ……………10分 ‎18.解：原不等式等价于 ‎(1)当时，解集为 ‎(2)当时，原不等式可化为，‎ 因为，所以解集为 ‎(3)当时，，解集为 ‎(4)当时，原不等式等价于，即，‎ 解集为 ‎(5)当时，，解集为 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；‎ 当时，解集为；当时，解集为 说明：每种情况2分，最后综上2分 ‎19.【分析】（Ⅰ）推导出A1D⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面A1BD，由此能证明AC⊥A1B．‎ ‎（Ⅱ）推导出A1D⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面A1ACC1，由此能证明平面BB1D⊥平面AA1C1C．‎ ‎（Ⅲ）推导出B1B∥A1A，从而B1B∥平面A1ACC1，由此能证明B1B∥DE．‎ ‎【解答】‎ 证明：（Ⅰ）因为 A1D⊥平面ABC，所以 A1D⊥AC． ‎ 因为△ABC中，AB=BC，D是AC的中点，所以 BD⊥AC． ‎ 因为 A1D∩BD=D，…………………（3分）‎ 所以 AC⊥平面A1BD． ‎ 所以 AC⊥A1B． ‎ ‎（Ⅱ） 因为 A1D⊥平面ABC，‎ 因为 BD⊂平面ABC，所以 A1D⊥BD． ‎ 由（Ⅰ）知 BD⊥AC．‎ 因为 AC∩A1D=D，‎ 所以 BD⊥平面A1ACC1． ‎ 因为 BD⊂平面BB1D，‎ 所以 平面BB1D⊥平面AA1C1C． ‎ ‎20.解：（Ⅰ）由题意有，得 ……………………1分 故 ‎∴ ‎ ‎ ……………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：‎ ‎ ‎ 当且仅当即时，有最大值. ………11分 答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大. ………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎（1）证明：依题意： ‎ 平面 ∴ ‎ ‎ ∴平面． ………………4分 ‎（2）证明：中，， ∴ ‎ ‎ 中，， ∴． ‎ ‎ ∴ ． ∴ ‎ 在平面外，在平面内，‎ ‎ ∴平面． ………………8分 ‎（3）解：由（2）知，，且 ‎ ∴到的距离等于到的距离为1． ． ‎ ‎ 平面 ‎ ‎∴． ………………12分 ‎22.【分析】（1）由y=﹣x3在R上单减，可得，可求a，b ‎（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知即，结合对数函数的单调性可判断 ‎（3）易知y=k+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程x=k+至少有两个不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围 另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，可求 ‎（2）取特值说明即可，不是闭函数．‎ ‎（3）由函数f（x）=k+是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，结合函数的 图象可求 ‎【解答】解：（1）∵y=﹣x3在R上单减，所以区间[a，b]满足 解得a=﹣1，b=1‎ ‎（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增 假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则 即 ‎∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个交点 故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数 ‎（3）易知y=k+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组 有解，方程x=k+至少有两个不同的解 即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．‎ ‎∴得，即所求．‎ 另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，解得，‎ ‎（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增 假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则 即 ‎∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，‎ 但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个根，‎ 所以，函数y=2x+lgx是不是闭函 ‎（3）由函数f（x）=k+是闭函数，‎ 易知函数是增函数，‎ 则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，‎ 说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，‎ 令k+‎ 则有k=x﹣=，‎ ‎（令t=），如图 则直线若有两个交点，则有k．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的单调性的综合应用，方程的解与函数的交点的相互转化关系的应用，综合应用了函数的知识及数形结合思想、转化思