高中数学 必修4平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念

高中数学 必修4平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念

1 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2. 会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3. 理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中 这些相关的概念． 知识点一 向量的概念 思考 1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 答案 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向． 思考 2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 答案 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 梳理 向量与数量 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量． 知识点二 向量的表示方法 思考 1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 答案 可以用一条有向线段表示． 思考 2 0 的模是多少？0 有方向吗？ 答案 0 的模为 0，方向任意． 思考 3 单位向量的模是多少？ 答案 单位向量的模为 1 个单位． 梳理 (1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段， 它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示． 以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB→. (2)向量的字母表示：向量可以用字母 a, b, c，…表示(印刷用黑体 a，b，c，书写时用 a→， b→， c→)． 2 (3)向量AB→的大小，也就是向量AB→的长度(或称模)，即有向线段AB→的长度，记作|AB→|.长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0；长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量． 知识点三 相等向量与共线向量 思考 1 已知 A，B 为平面上不同两点，那么向量AB→和向量BA→相等吗？它们共线吗？ 答案 因为向量AB→和向量BA→方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线 上，所以两向量共线． 思考 2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？ 答案 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移 动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可 以重合． 思考 3 若 a∥b，b∥c，那么一定有 a∥c 吗？ 答案 不一定．因为当 b＝0 时，a，c 可以是任意向量． 梳理 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量． ①记法：向量 a 平行于 b，记作 a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行． (3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向 量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何 中的直线、线段的平行和共线相混淆． 1．向量就是有向线段．( × ) 提示 向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段． 2．如果|AB→|＞|CD→|，那么AB→＞CD→.( × ) 提示 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小． 3 3．若 a，b 都是单位向量，则 a＝b.( × ) 提示 a 与 b 都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但 a 与 b 方向可能不同． 4．若 a＝b，且 a 与 b 的起点相同，则终点也相同．( √ ) 提示 若 a＝b，则 a 与 b 的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同． 5．零向量的大小为 0，没有方向．( × ) 提示 任何向量都有方向，零向量的方向是任意的． 类型一 向量的概念 例 1 下列说法正确的是( ) A．向量AB→与向量BA→的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量都是相等的 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 考点 向量的概念 题点 向量的性质 答案 A 解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同； 零向量的模都是 0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故 B，C，D 都错 误，A 正确．故选 A. 反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 跟踪训练 1 下列说法中正确的是( ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 考点 向量的概念 题点 向量的性质 答案 D 解析 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故 A，B 不正确；向量的大小即为向量的 模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故 C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大 小，故 D 正确． 4 类型二 相等向量与共线向量 例 2 (1)下列说法正确的是________．(填序号) ①若 a≠b，则 a 一定不与 b 共线； ②若AB→＝DC→，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个顶点； ③在平行四边形 ABCD 中，一定有AB→＝DC→； ④若向量 a 与任一向量 b 平行，则 a＝0； ⑤若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ⑥若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 考点 相等向量与共线向量 题点 相等向量与共线向量的性质与判定 答案 ③④⑤ 解析 ①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以 a 与 b 有共线的可 能，故①不正确；②AB→＝DC→，A，B，C，D 四点可能在同一条直线上，故②不正确；③在平行 四边形 ABCD 中，|AB→|＝|DC→|，AB→与DC→平行且方向相同，故AB→＝DC→，③正确；④零向量的方向 是任意的，与任一向量平行，④正确；⑤a＝b，则|a|＝|b|且 a 与 b 方向相同；b＝c，则|b| ＝|c|且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 方向相同且模相等，故 a＝c，⑤正确；若 b＝0，由于 a 的方向与 c 的方向都是任意的，a∥c 可能不成立，故⑥不正确． (2)如图所示，△ABC 的三边均不相等，E，F，D 分别是 AC，AB，BC 的中点． ①写出与EF→共线的向量； ②写出与EF→的模相等的向量； ③写出与EF→相等的向量． 考点 相等向量与共线向量 题点 几何图形中的相等向量与共线向量 解 ①因为 E，F 分别是 AC，AB 的中点， 所以 EF∥BC，EF＝1 2 BC. 又因为 D 是 BC 的中点， 5 所以与EF→共线的向量有FE→，BD→，DB→，DC→，CD→，BC→，CB→. ②与EF→模相等的向量有FE→，BD→，DB→，DC→，CD→. ③与EF→相等的向量有DB→与CD→. 反思与感悟 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的 向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 跟踪训练 2 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心． (1)与OA→的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与OA→长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA→共线的向量有哪些？ 考点 相等向量与共线向量 题点 几何图形中的相等向量与共线向量 解 (1)与OA→的模相等的线段是六条边和六条半径(如 OB)，而每一条线段可以有两个向量， 所以这样的向量共有 23 个． (2)存在．由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与OA→的长度相等、方向相反的向量有AO→， OD→，FE→，BC→，共 4 个． (3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段 OD，AD 与 OA 在同一条直线上，所以与OA→共线的向量有BC→，CB→， EF→，FE→，AO→，OD→，DO→，AD→，DA→，共 9 个． 类型三 向量的表示及应用 例 3 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100km 到达 B 点，然后又改变方向，向西偏北 50°的 方向走了 200km 到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了 100km 到达 D 点． (1)作出向量AB→，BC→，CD→； (2)求|AD→|. 考点 向量的表示方法 题点 向量的几何表示 6 解 (1)向量AB→，BC→，CD→如图所示． (2)由题意，可知AB→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线， ∵|AB→|＝|CD→|， ∴在四边形 ABCD 中，AB∥CD 且 AB＝CD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD→＝BC→，∴|AD→|＝|BC→|＝200km. 反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量 的大小确定向量的终点． 跟踪训练 3 在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1. (1)试以 B 为终点画一个向量 b，使 b＝a； (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使|c|＝ 5，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？ 考点 向量的表示方法 题点 向量的几何表示 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量 b 与向量 a 平行，且长度相等(作图略)． (2)由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径为 5的圆(作图 略). 1．在同一平面内，把所有长度为 1 的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹 是( ) A．单位圆 B．一段弧 C．线段 D．直线 7 考点 向量的表示方法 题点 向量的几何表示 答案 A 2．下列结论正确的个数是( ) ①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量； ④若|a|>|b|，则 a>b. A．0B．1C．2D．3 考点 向量的概念 题点 向量的性质 答案 B 解析 ①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为 0，故②错；④向量 不可以比较大小，故④错；③若 a，b 中有一个为零向量，则 a 与 b 必共线，故 a 与 b 不共 线，则应均为非零向量，故③对． 3．设 b 是 a 的相反向量，则下列说法中一定错误的是______(填序号)． ①a∥b；②a 与 b 的长度相等；③a 是 b 的相反向量；④a 与 b 一定相等． 考点 相等向量与共线向量 题点 相等向量与共线向量的性质与判定 答案 ④ 4．如图所示，设 O 是正方形 ABCD 的中心，则下列结论正确的有________．(填序号) ①AO→＝OC→； ②AO→∥AC→； ③AB→与CD→共线； ④AO→＝BO→. 考点 相等向量与共线向量 题点 几何图形中的相等向量与共线向量 答案 ①②③ 解析 AO→与OC→方向相同，长度相等，∴①正确； ∵A，O，C 三点在一条直线上，∴AO→∥AC→，②正确； 8 ∵AB∥DC，∴AB→与CD→共线，③正确； AO→与BO→方向不同，∴二者不相等，④错误． 1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此 借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故 向量能起到数形结合的桥梁作用． 2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同 一直线上的向量也是平行向量． 3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多 个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆. 一、选择题 1．(2017·北师大附中一模)给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥ 功；⑦加速度．其中是向量的有( ) A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个 考点 向量的概念 题点 向量的判定 答案 A 解析 速度、位移、力、加速度，这 4 个物理量是向量，它们都有大小和方向． 2．下列说法正确的是( ) A．向量AB→与BA→是相等向量 B．共线的单位向量是相等向量 C．零向量与任一向量共线 D．两平行向量所在直线平行 考点 相等向量与共线向量 题点 相等向量与共线向量的性质与判定 答案 C 解析 向量AB→与BA→是相反向量，不是相等向量，故 A 错；共线的单位向量可能是相等向量， 也可能是相反向量，故 B 错；零向量与任一向量共线，故 C 正确；两平行向量所在直线可能 平行，也可能重合，故 D 错． 9 3．设 O 是△ABC 的外心，则AO→，BO→，CO→是( ) A．相等向量 B．模相等的向量 C．平行向量 D．起点相同的向量 考点 向量的表示方法 题点 向量的模 答案 B 解析 因为 O 是△ABC 的外心，所以|AO→|＝|BO→|＝|CO→|，故选 B. 4．在△ABC 中，AB＝AC，D，E 分别是 AB，AC 的中点，则( ) A.AB→与AC→共线 B.DE→与CB→共线 C.AD→与AE→相等 D.AD→与BD→相等 考点 相等向量与共线向量 题点 几何图形中的相等向量与共线向量 答案 B 解析 如图所示，因为 D，E 分别是 AB，AC 的中点，由三角形的中位线定理可得 DE∥BC.所 以DE→与CB→共线． 5.如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是( ) A．与AB→相等的向量只有 1 个(不含AB→) B．与AB→的模相等的向量有 9 个(不含AB→) C.BD→的模恰为DA→的模的 3倍 D.CB→与DA→不共线 考点 向量的表示方法 题点 向量的模 答案 D 解析 由于AB→＝DC→，因此与AB→相等的向量只有DC→，而与AB→的模相等的向量有DA→，DC→，AC→，CB→，AD→， 10 CD→，CA→，BC→，BA→，因此选项 A，B 正确．而 Rt△AOD 中，∵∠ADO＝30°， ∴|DO→|＝ 3 2 |DA→|，故|DB→|＝ 3|DA→|，因此选项 C 正确．由于CB→＝DA→，因此CB→与DA→是共线的， 故选 D. 6.如图所示，四边形 ABCD，CEFG，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( ) A．|AB→|＝|EF→| B.AB→与FH→共线 C.BD→与EH→共线 D.CD→＝FG→ 考点 相等向量与共线向量 题点 几何图形中的相等向量与共线向量 答案 C 二、填空题 7．若 A 地位于 B 地正西方向 5km 处，C 地位于 A 地正北方向 5km 处，则 C 地相对于 B 地的位 移是________． 考点 向量的表示方法 题点 向量的几何意义及其应用 答案 西北方向 5 2km 8．已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，则|BD→|＝________. 考点 向量的表示方法 题点 向量的模 答案 2 3 解析 由题意知 AC⊥BD，且∠ABD＝30°， ∴在 Rt△ABO 中，|BO→|＝|AB→|·cos30°＝2× 3 2 ＝ 3， ∴|BD→|＝2|BO→|＝2 3. 9．在四边形 ABCD 中，若AB→＝DC→且|AB→|＝|AD→|，则四边形的形状为________． 考点 相等向量与共线向量 题点 相等向量与共线向量的应用 11 答案 菱形 解析 ∵AB→＝DC→，∴AB＝DC，AB∥DC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵|AB→|＝|AD→|，∴四边形 ABCD 是菱形． 10．某人向正东方向行进 100m 后，再向正南方向行进 100 3m，则此人位移的方向是________． 考点 向量的表示方法 题点 向量的几何意义及其应用 答案 南偏东 30° 解析 如图所示，此人从点 A 出发，经点 B，到达点 C， 则 tan∠BAC＝BC BA ＝100 3 100 ＝ 3， ∵∠BAC 是三角形的内角， ∴∠BAC＝60°，即位移的方向是南偏东 30°. 11.如图，若四边形 ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，则： (1)图中与AB→共线的向量有________； (2)图中与AB→相等的向量有________； (3)图中与AB→的模相等的向量有________； (4)图中与EC→相等的向量有________． 考点 相等向量与共线向量 题点 几何图形中的相等向量与共线向量 答案 (1)DC→，BE→，BA→，CD→，EB→，AE→，EA→ (2)DC→，BE→ (3)BA→，BE→，EB→，DC→，CD→，AD→，DA→，BC→，CB→ (4)BD→ 三、解答题 12 12.一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30°方向行驶 2 千米到 D 地，然 后从 D 地沿北偏东 60°方向行驶 6 千米到达 C 地，从 C 地又向南偏西 30°方向行驶 2 千米才 到达 B 地． (1)画出AD→，DC→，CB→，AB→； (2)求 B 地相对于 A 地的位置向量． 考点 向量的表示方法 题点 向量的几何意义及其应用 解 (1)向量AD→，DC→，CB→，AB→，如图所示． (2)由题意知AD→＝BC→， ∴AD∥BC，AD＝BC， 则四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AB→＝DC→，则 B 地相对于 A 地的位置向量为“北偏东 60°，长度为 6 千米”． 13.如图所示，在四边形 ABCD 中，AB→＝DC→，N，M 分别是 AD，BC 上的点，且CN→＝MA→，求证：DN→ ＝MB→. 考点 相等向量与共线向量 题点 相等向量与共线向量的性质和判定 证明 ∵AB→＝DC→，∴AB＝DC 且 AB∥DC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形，∴CB→＝DA→， 又CN→＝MA→，∴CN＝MA，CN∥MA， ∴四边形 CNAM 是平行四边形， ∴CM→＝NA→，∴CM＝NA，CM∥NA. ∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN. 13 又 DN∥MB，∴DN→与MB→的模相等且方向相同， ∴DN→＝MB→. 四、探究与拓展 14．给出以下 5 个条件： ①a＝b；②|a|＝|b|；③a 与 b 的方向相反；④|a|＝0 或|b|＝0；⑤a 与 b 都是单位向量．其 中能使 a∥b 成立的是________．(填序号) 考点 相等向量与共线向量 题点 相等向量与共线向量的性质与判定 答案 ①③④ 解析 相等向量一定是共线向量，故①能使 a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量， 故③能使 a∥b；零向量与任一向量平行，故④成立． 15．如图的方格纸由若干个边长为 1 的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点 A，B. 点 C 为小正方形的顶点，且|AC→|＝ 5. (1)画出所有的向量AC→； (2)求|BC→|的最大值与最小值． 考点 向量的表示方法 题点 向量的几何表示，向量的模 解 (1)画出所有的向量AC→，如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点 C 位于点 C1 或 C2 时， |BC→|取得最小值 12＋22＝ 5； ②当点 C 位于点 C5 或 C6 时， 14 |BC→|取得最大值 42＋52＝ 41. 所以|BC→|的最大值为 41，最小值为 5.