【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第五章第一节数列的概念与简单表示法学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第五章第一节数列的概念与简单表示法学案

第一节数列的概念与简单表示法 ‎1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 ‎2.数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 ‎3.通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号n的值，直接代入求出an 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an ‎4.an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，‎ 则an＝ ‎5．数列的分类 分类的标准 名称 含义 例子 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 ‎1,2,3,4，…，100‎ 无穷数列 项数无限的数列 ‎1,4,9，…，n2，…‎ 按项的变化趋势 递增数列 从第二项起，每一项大于它的前一项的数列 ‎3,4,5，…，n 递减数列 从第二项起，每一项小于它的前一项的数列 ‎1，，，…， 常数列 各项都相等的数列 ‎6,6,6,6，…‎ 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 ‎1，－2,3，－4‎ 按项的有界性 有界数列 任一项的绝对值都小于某一正值 ‎1，－1,1，－1,1，－1，…‎ 无界数列 不存在某一正值能使任一项的绝对值小于它 ‎1,3,4,4，…‎ ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　)‎ ‎(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．(　　)‎ ‎(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　)‎ ‎(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是(　　)‎ A．21　　　　　　　　　　 B．33‎ C．152 D．153‎ 解析：选C　由9＋12n＝152，得n＝∉N*.‎ ‎3．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a4＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　由题意知，a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝.‎ ‎4．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，则a7＝(　　)‎ A．53 B．54‎ C．55 D．109‎ 解析：选C　由题意知，a2＝a1＋2×2，a3＝a2＋2×3，……，a7＝a6＋2×7，各式相加得a7＝a1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.‎ ‎5．数列1，，，，，…的一个通项公式an＝________.‎ 解析：由已知得，数列可写成，，，…，故通项公式可以为an＝.‎ 答案： ‎6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________________．‎ 解析：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1.‎ 又a1＝－1不适合上式，‎ 故an＝ 答案：an＝ 　　　　 ‎[考什么·怎么考]‎ 由Sn和an的关系求通项公式是一种常见题型，高考中选择题、填空题、解答题都有呈现，但以解答题的分支命题为重点，近几年来考查难度有所降低.‎ 考法(一)　已知Sn，求an ‎1．已知Sn＝3n＋2n＋1，则an＝____________.‎ 解析：因为当n＝1时，a1＝S1＝6；‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]‎ ‎＝2·3n－1＋2，‎ 由于a1不适合此式，‎ 所以an＝ 答案： ‎2．(2017·全国卷Ⅲ改编)设数列{an}满足a1＋‎3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝____________.‎ 解析：因为a1＋‎3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，‎ 故当n≥2时，‎ a1＋‎3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．‎ 两式相减得(2n－1)an＝2，‎ 所以an＝(n≥2)．‎ 又由题设可得a1＝2，满足上式，‎ 从而{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．‎ 答案：(n∈N*)‎ ‎[题型技法]　已知Sn求an的3步骤 ‎(1)先利用a1＝S1求出a1；‎ ‎(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；‎ ‎(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．‎ 考法(二)　由Sn与an的关系，求an，Sn ‎3．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)(n∈N*)，则an＝(　　)‎ A．2n　　　　　　　　　　　 B．2n－1‎ C．2n D．2n－1‎ 解析：选C　当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n.‎ ‎4．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.‎ 解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，‎ ‎∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.‎ ‎∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.‎ 又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．‎ ‎∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.‎ 答案：－ ‎[题型技法]　Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．‎ ‎(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．‎ ‎(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．‎ 　　　　 ‎[考什么·怎么考]‎ 由数列的递推关系式求通项公式在高考中经常出现，有选择题、填空题，也出现在解答题的第(1)问中，近几年考查难度有所降低，但也要引起关注.‎ 方法(一)　叠乘法求通项公式 ‎1．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为__________．‎ 解析：∵an＝an－1(n≥2)，‎ ‎∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.‎ 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1···…·＝＝.‎ 当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝(n∈N*)．‎ 答案：an＝(n∈N*)‎ ‎[方法点拨]　叠乘法求通项公式的4步骤 方法(二)　叠加法求通项公式 ‎2．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ‎________________．‎ 解析：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．‎ 以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.‎ 又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．‎ ‎∵当n＝1时也满足上式，∴an＝(n∈N*)．‎ 答案：an＝(n∈N*)‎ ‎[方法点拨]　叠加法求通项公式的4步骤 方法(三)　构造法求通项公式 ‎3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为________________．‎ 解析：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，‎ ‎∴＝3，‎ ‎∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，‎ 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，‎ ‎∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．‎ 答案：an＝2·3n－1－1(n∈N*)‎ ‎[方法点拨]　构造法求通项公式的3步骤 ‎[怎样快解·准解]‎ ‎1．正确选用方法求数列的通项公式 ‎(1)对于递推关系式可转化为＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用叠乘法求数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式．‎ ‎(3)对于递推关系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．‎ ‎2．避免2种失误 ‎(1)利用叠乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．‎ ‎(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定叠加、叠乘后最后一个式子的形式．‎ 　　　　 从近几年高考可以看出，数列中的最值、周期是高考的热点，一般难度稍大.在复习中，从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，特别是利用函数的方法研究数列的有关性质.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎1．已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 018＝(　　)‎ A．－1　　　　　　　　　　 B. C．1 D．2‎ 解析：选D　由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，‎ a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…，‎ 于是可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 018＝a3×672＋2＝a2＝2.‎ ‎2．已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第________项．‎ 解析：因为an＝，所以数列{an}的最小项必为an<0，即<0,3n－16<0，从而n<.又n∈N*，所以当n＝5时，an的值最小．‎ 答案：5‎ ‎[解题师说]‎ ‎1．解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．‎ ‎2．判断数列单调性的2种方法 ‎(1)作差比较法：比较an＋1－an与0的大小．‎ ‎(2)作商比较法：比较与1的大小，注意an的符号．‎ ‎3．求数列最大项或最小项的方法 ‎(1)利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项；‎ ‎(2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项．‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2 018＝(　　)‎ A．1 B．0‎ C．2 018 D．－2 018‎ 解析：选B　∵a1＝1，an＋1＝a－2an＋1＝(an－1)2，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2 018＝a2＝0，选B.‎ ‎2．等差数列{an}的公差d<0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n的值为(　　)‎ A．5 B．6‎ C．5或6 D．6或7‎ 解析：选C　由a＝a，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，‎ 因为d<0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，‎ 又‎2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.‎ 因为d<0，所以{an}是递减数列，‎ 所以a1>a2>…>a5>a6＝0>a7>a8>…，显然前5项和或前6项和最大，故选C.‎ ‎(一)普通高中适用作业 A级——基础小题练熟练快 ‎1．已知数列1,2，，，，…，则2在这个数列中的项数是(　　)‎ A．16　　　　　　　　　　 B．24‎ C．26 D．28‎ 解析：选C　因为a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，解得n＝26.‎ ‎2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq＝(　　)‎ A．10 B．15‎ C．－5 D．20‎ 解析：选D　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20.‎ ‎3．(2017·河南许昌二模)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为(　　)‎ A．31 B．32‎ C．61 D．62‎ 解析：选A　∵数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，‎ ‎∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.‎ ‎4．(2018·云南检测)设数列{an}的通项公式为an＝n2－bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1] B．(－∞，2]‎ C．(－∞，3) D. 解析：选C　因为数列{an}是单调递增数列，所以an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N*)，所以b<2n＋1(n∈N*)，所以b<(2n＋1)min＝3，即b<3.‎ ‎5．(2018·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　∵数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，∴a2＝a‎1a1＝，a3＝a1·a2＝，∴a5＝a3·a2＝.‎ ‎6．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为(　　)‎ A．5 B. C. D. 解析：选B　∵an＋an＋1＝，a2＝2，‎ ‎∴an＝ ‎∴S21＝11×＋10×2＝.‎ ‎7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________.‎ 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，‎ 因此an＝ 答案： ‎8．已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________．‎ 解析：各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－，‎ 故原数列可变为－，，－，，…‎ 故其通项公式为an＝(－1)n·，n∈N*.‎ 答案：an＝(－1)n·，n∈N*‎ ‎9．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．‎ 解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，‎ 得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，‎ 令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，‎ 则a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎10．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.‎ 解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.‎ 答案：28‎ B级——中档题目练通抓牢 ‎1．若a1＝，an＝4an－1＋1(n≥2)，则an>100时，n的最小值为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ 解析：选C　由a1＝，an＝4an－1＋1(n≥2)得，‎ a2＝‎4a1＋1＝4×＋1＝3，a3＝‎4a2＋1＝4×3＋1＝13，‎ a4＝‎4a3＋1＝4×13＋1＝53，a5＝‎4a4＋1＝4×53＋1＝213>100.‎ ‎2．(2018·咸阳模拟)已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　　)‎ A．an＝n B．an＝n2‎ C．an＝ D．an＝ 解析：选B　∵＋＋…＋＝，‎ ‎∴＋＋…＋＝(n≥2)，‎ 两式相减得＝－＝n(n≥2)，‎ ‎∴an＝n2(n≥2)．‎ 又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合上式，‎ ‎∴an＝n2，n∈N*.故选B.‎ ‎3．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ 解析：选B　∵a1＝19，an＋1－an＝－3，‎ ‎∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，‎ ‎∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.‎ 设{an}的前k项和数值最大，‎ 则有k∈N*，∴ ‎∴≤k≤，‎ ‎∵k∈N*，∴k＝7.∴满足条件的n的值为7.‎ ‎4．在数列{an}中，an>0，且前n项和Sn满足4Sn＝(an＋1)2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．‎ 解析：当n＝1时，4S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1；‎ 当n≥2时，由4Sn＝(an＋1)2＝a＋2an＋1，‎ 得4Sn－1＝a＋2an－1＋1，‎ 两式相减得4Sn－4Sn－1＝a－a＋2an－2an－1＝4an，‎ 整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，‎ 因为an>0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，‎ 又a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，‎ 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.‎ 答案：an＝2n－1‎ ‎5.已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．‎ a1‎ a‎2　‎a3‎ a‎4　‎a‎5　‎a6‎ ‎……‎ 解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝＋3＝48项，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97.‎ 答案：97‎ ‎6．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.‎ ‎(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；‎ ‎(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．‎ 解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，解得k>－3.‎ 所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．‎ ‎7．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1<0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．‎ 解：(1)依题意，Δ＝a2－‎4a＝0，‎ 所以a＝0或a＝4.‎ 又由a>0得a＝4，‎ 所以f(x)＝x2－4x＋4.‎ 所以Sn＝n2－4n＋4.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.‎ 所以an＝ ‎(2)由题意得cn＝ 由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn>0.‎ 又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，‎ 即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，‎ 所以数列{cn}的变号数为3.‎ C级——重难题目自主选做 ‎1．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)n(n∈N*)，则数列{an}的最大项是(　　)‎ A．a6或a7 B．a7或a8‎ C．a8或a9 D．a7‎ 解析：选B　因为an＋1－an＝(n＋3)n＋1－(n＋2)n＝n·，当n<7时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝7时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>7时，an＋1－an<0，即an＋1a9>a10>…，所以此数列的最大项是第7项或第8项，即a7或a8.故选B.‎ ‎2．(2018·成都诊断)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则an＝________.‎ 解析：由题意知＝＝，‎ 所以an＝a1×××…× ‎＝1×××…× ‎＝ ‎＝＝.‎ 答案： ‎(二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 ‎1．已知数列1,2，，，，…，则2在这个数列中的项数是(　　)‎ A．16　　　　　　　　　　　 B．24‎ C．26 D．28‎ 解析：选C　因为a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，解得n＝26.‎ ‎2.(2018·郑州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为(　　)‎ A．31 B．32‎ C．61 D．62‎ 解析：选A　∵数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，‎ ‎∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，‎ a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.‎ ‎3．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq＝(　　)‎ A．10 B．15‎ C．－5 D．20‎ 解析：选D　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20.‎ ‎4．(2018·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　∵数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，∴a2＝a‎1a1＝，a3＝a1·a2＝，∴a5＝a3·a2＝.‎ ‎5．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和最大时，n的值为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ 解析：选B　∵a1＝19，an＋1－an＝－3，‎ ‎∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，‎ ‎∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.‎ 设{an}的前k项和最大，‎ 则有k∈N*，∴ ‎∴≤k≤，‎ ‎∵k∈N*，∴k＝7.‎ ‎∴满足条件的n的值为7.‎ ‎6.(2018·河北唐山一模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝________.‎ 解析：∵Sn＝，a4＝32，‎ ‎∴S4－S3＝－＝32，∴a1＝.‎ 答案： ‎7．已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________．‎ 解析：各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－，‎ 故原数列可变为－，，－，，…‎ 故其通项公式为an＝(－1)n·，n∈N*.‎ 答案：an＝(－1)n·，n∈N*‎ ‎8．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.‎ 解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.‎ 答案：28‎ ‎9.已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值为8.试确定常数k，并求数列{an}的通项公式．‎ 解：因为Sn＝－n2＋kn＝－(n－k)2＋k2，其中k是常数，且k∈N*，所以当n＝k时，Sn 取最大值k2，故k2＝8，k2＝16，因此k＝4，从而Sn＝－n2＋4n.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝－＋4＝；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－－(n－1)2＋4(n－1)＝－n.‎ 当n＝1时，－1＝＝a1，所以an＝－n.‎ ‎10．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.‎ ‎(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；‎ ‎(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．‎ 解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，解得k>－3.‎ 所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．‎ B级——拔高题目稳做准做 ‎1.(2018·云南检测)设数列{an}的通项公式为an＝n2－bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1] B．(－∞，2]‎ C．(－∞，3) D. 解析：选C　因为数列{an}是单调递增数列，所以an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N*)，所以b<2n＋1(n∈N*)，所以b<(2n＋1)min＝3，即b<3.‎ ‎2.已知数列{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则的最小值为(　　)‎ A．21 B．10‎ C. D. 解析：选C　由已知条件可知，当n≥2时，‎ an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)‎ ‎＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)‎ ‎＝n2－n＋33，又n＝1时，a1＝33满足此式．‎ 所以＝n＋－1.‎ 令f(n)＝＝n＋－1，‎ 则f(n)在[1,5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数．‎ 又f(5)＝，f(6)＝，则f(5)>f(6)，‎ 故f(n)＝的最小值为.‎ ‎3.(2018·成都质检)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则an＝________.‎ 解析：由题意知＝＝，‎ 所以an＝a1×××…× ‎＝1×××…× ‎＝ ‎＝＝.‎ 答案： ‎4.已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．‎ a1‎ a‎2　‎a3‎ a‎4　‎a‎5　‎a6‎ ‎……‎ 解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝＋3＝48项，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97.‎ 答案：97‎ ‎5．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1<0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．‎ 解：(1)依题意，Δ＝a2－‎4a＝0，所以a＝0或a＝4.‎ 又由a>0得a＝4，‎ 所以f(x)＝x2－4x＋4.‎ 所以Sn＝n2－4n＋4.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.‎ 所以an＝ ‎(2)由题意得cn＝ 由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn>0.‎ 又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，‎ 即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，‎ 所以数列{cn}的变号数为3.‎ ‎6.已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，在数列{bn}中，bn＝.‎ ‎(1)求公差d的值；‎ ‎(2)若a1＝－，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；‎ ‎(3)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．‎ 解：(1)∵S4＝2S2＋4，∴‎4a1＋d＝2(‎2a1＋d)＋4，解得d＝1.‎ ‎(2)∵a1＝－，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝－＋(n－1)×1＝n－，‎ ‎∴bn＝＝1＋＝1＋.‎ ‎∵函数f(x)＝1＋在和上分别是单调减函数，‎ ‎∴b31－a1时，y>1.‎ ‎∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8，‎ ‎∴7<1－a1<8，∴－7

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