【数学】2018届一轮复习人教A版重点强化课不等式及其应用学案
重点强化课(三) 不等式及其应用
[复习导读] 本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法，简单的线性规划问题，基本不等式及其应用，针对不等式具有很强的工具性，应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式是解决问题的重要工具，如利用导数研究函数的单调性，往往归结为解一元二次不等式问题；函数、方程、不等式三者密不可分，相互转化，因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练．
重点1 一元二次不等式的综合应用
(1)(2016·山东青岛一模)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，1] B．[－1,1]
C．[1,2)∪(2，＋∞) D.∪
(2)已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是__________．
(1)D (2)(－1，－1) [(1)由题意得解得即－1≤x≤1且x≠－，所以函数的定义域为，故选D.
(2)由题意得或
解得－1
0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________. 【导学号：31222215】
(－5,0)∪(5，＋∞) [由于f(x)为R上的奇函数，
所以当x＝0时，f(0)＝0；当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，
即f(x)＝－x2－4x，
所以f(x)＝由f(x)>x，可得
或解得x>5或－50，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B.
C．1 D．2
B [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，
由得
∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.]
重点3 基本不等式的综合应用
(2016·江苏高考节选)已知函数f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，a≠1，b≠1)．设a＝2，b＝.
(1)求方程f(x)＝2的根；
(2)若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
[解] 因为a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋2－x.2分
(1)方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0.5分
(2)由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.
因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，
所以m≤对于x∈R恒成立.8分
而＝f(x)＋≥2＝4，且＝4，
所以m≤4，故实数m的最大值为4.12分
[规律方法]
基本不等式综合应用中的常见类型及求解方法
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
[对点训练3] (1)设a，b，c∈(0，＋∞)，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为__________．
(1)A (2)9 [(1)当a＝b＝c＝2时，有＋＋≤a＋b＋c，
但abc≠1，所以必要性不成立．
当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，
a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立．
故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
(2)由已知得＝1.
则＝＋＝
＝≥(10＋2 )＝9，
当且仅当x＝，y＝时取等号．]
重点强化训练(三) 不等式及其应用
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列不等式一定成立的是( )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
C [取x＝，则lg＝lg x，故排除A；取x＝π，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，排除D.]
2．(2016·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( )
A．－4 B．6
C．10 D．17
B [由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－x＋z，在图中画出直线y＝－x，
平移该直线，易知经过点A时z最小．
又知点A的坐标为(3,0)，
∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B.]
3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝( )
A．2 B．4
C．3 D．6
C [由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．
因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y
－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝＝3.故选C.]
4．不等式≤x－2的解集是( )
A．[－∞，0)∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞)
C．[2,4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞)
B [①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，解得x≥4；
②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，
解得0≤x<2.
综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]
5．(2015·山东高考)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
C [因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.化简可得a＝1，则＞3，即－3＞0，即>0，故不等式可化为＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.]
二、填空题
6．(2016·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________．
－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝－x＋＋过点A(－1，－1)时，z取得最小值，即zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]
7．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为__________.
【导学号：31222217】
3 [令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，
当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.
∴tmax＝＝3.]
8．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为__________．
【导学号：31222218】
∪ [由题意，要使8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，需Δ＝64sin2 α－32cos 2α≤0，
化简得cos 2α≥.
又0≤α≤π，∴0≤2α≤或≤2α≤2π，
解得0≤α≤或≤α≤π.]
三、解答题
9．已知不等式>0(a∈R)．
(1)解这个关于x的不等式；
(2)若x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．
[解] (1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.1分
①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1；
②当a>0时，不等式化为(x＋1)>0.
解得x<－1或x>；3分
③当a<0时，不等式化为(x＋1)<0；
若<－1，即－1－1，即a<－1，则 －10时，解集为.6分
(2)∵x＝－a时不等式成立，
∴>0，即－a＋1<0，10分
∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞).12分
10．(2016·全国卷Ⅰ改编)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，试求在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为多少元．
[解] 设生产产品A x件，产品B y件，则
5分
目标函数z＝2 100x＋900y.
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．
当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知a，b为正实数，且ab＝1，若不等式(x＋y)·>m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是( ) 【导学号：31222219】
A．[4，＋∞) B．(－∞，1]
C．(－∞，4] D．(－∞，4)
D [因为a，b，x，y为正实数，所以(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b，＝，即a＝b，x＝y时等号成立，故只要m<4即可．]
2．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是__________. 【导学号：31222220】
－ [法一：由于x>0，
则由已知可得a≥－x－在x∈上恒成立，
而当x∈时，max＝－，
∴a≥－，故a的最小值为－.
法二：设f(x)＝x2＋ax＋1，则其对称轴为x＝－.
①若－≥，即a≤－1时，f(x)在上单调递减，此时应有f≥0，从而－≤a≤－1.
②若－<0，即a>0时，f(x)在上单调递增，此时应有f(0)＝1>0恒成立，故a>0.
③若0≤－<，即－10.
(1)用定义证明f(x)在[－1,1]上是增函数；
(2)解不等式f0，
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x)在[－1,1]上为增函数，4分
(2)∵f(x)在[－1,1]上为增函数，
∴解得.8分
(3)由(1)可知f(x)在[－1,1]上为增函数，且f(1)＝1，故对x∈[－1,1]，恒有f(x)≤1，
∴要f(x)≤t2－2at＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，即要t2－2at＋1≥1成立，
故t2－2at≥0，记g(a)＝－2ta＋t2.10分
对a∈[－1,1]，g(a)≥0恒成立，只需g(a)在[－1,1]上的最小值大于等于0，
∴g(－1)≥0，g(1)≥0，解得t≤－2或t＝0或t≥2.
∴t的取值范围是{t|t≤－2或t＝0或t≥2}.12分
