2020年中考数学专题复习：用函数的观点看方程与不等式

2020年中考数学专题复习：用函数的观点看方程与不等式

用函数的观点看方程与不等式 知识互联网 题型一：方程思想 思路导航 抛物线与轴的交点 抛物线与轴必有一个交点.‎ 抛物线与轴的交点 当时，抛物线与轴有两个不同的交点.‎ 当时，抛物线与轴有一个交点.‎ 当时，抛物线与轴没有交点.‎ 直线（或直线或直线）与抛物线 第 17 页 共 18 页 的交点问题，可运用方程思想联立方程（或或）求出方程组的解，从而得到交点坐标. 比如抛物线与轴的交点联立方程组为，其中的是一元二次方程的两根，则抛物线与轴交于两点.‎ 例题精讲 已知关于的二次函数．探究二次函数的图象与轴的交点的个数，并写出相应的的取值范围.[www.z#zste&*p~.co@m]‎ 令时，得： ‎，以下分三种情况讨论：[中^国教育~@出*版网#]‎ ‎①当时，方程有两个不相等的实数根，即 ‎∴，此时，的图象与轴有两个交点 ‎②当时，方程有两个相等的实数根，即 ‎∴，此时，的图象与轴只有一个交点 ‎③当时，方程没有实数根，即 ‎∴，此时，的图象与轴没有交点 综上所述：‎ 当时，的图象与x轴有两个交点； 当时，的图象与轴只有一个交点； 当时，的图象与轴没有交点．‎ 第 17 页 共 18 页 典题精练 ‎[来#源:~中国%*教育@出版网]‎ ‎1. 抛物线与轴的交点.‎ ‎⑴二次函数与轴的两个交点坐标为、，则一元二次方程的两根为_______．‎ ‎⑵已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是 ．‎ ‎2. 抛物线与直线的交点.‎ 图中抛物线的解析式为，根据图象判断下列方程根的情况．‎ ‎⑴ 方程的两根分别为 ．‎ ‎⑵ 方程的两根分别为 ．‎ ‎⑶ 方程的根的情况是 ．‎ ‎⑷ 方程的根的情况是 ．[来源:zz^@step.&com*%]‎ ‎3. 抛物线与直线的交点 ‎⑴直线与抛物线只有一个交点，则 ．[来&源:z^zs%@te*p.com]‎ ‎⑵当取何值时，抛物线与直线：① 有公共点；② 没有公共点．‎ ‎1.⑴，；⑵．[来&%源:#zz@step.c*om]‎ ‎2. 用图象求解 ‎⑴ ，‎ ‎⑵ ，直线与抛物线只有一个交点，‎ 故有两个相等实根，．‎ ‎⑶ 直线与抛物线有两个交点，故原方程有两个不相等的实根．‎ 第 17 页 共 18 页 ‎⑷ 直线与抛物线无交点，故原方程无实根．‎ ‎3. ⑴ 或；‎ ‎⑵ 联立方程组即，[www.zz&^st#ep.co*m~]‎ 若有公共点，，解得；当时，没有公共点．‎ 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于、两点，点 的坐标为．[来#^%源:中国教育&出版@网]‎ ‎(1) 求点坐标；‎ ‎(2) 直线经过点.‎ ‎① 求直线和抛物线的解析式；‎ ‎② 点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为．将抛物线在直线 上方的部分沿直线翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象．请结合图象回答：当图象与直线只有两个公共点时，的取值范围是 ．[来#@源&:zzste*p.com~]‎ ‎【解析】(1) 证明：①当时，方程为，所以，方程有实数根.‎ ‎②当时，‎ 所以，方程有实数根[来源:zz~step.^&%c#om]‎ 综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根 ‎(2) 令，则 解关于的一元二次方程，得 ，‎ ‎∵ 二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，‎ 第 17 页 共 18 页 ‎∴‎ ‎(3) 由(2)得抛物线的解析式为 配方得 ‎∴抛物线的顶点 ‎∴直线OD的解析式为 于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），‎ ‎∴平移后的抛物线解析式为．‎ ‎①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴，‎ 解得．‎ ‎∴ 当 ≤h＜ 时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点．‎ ‎②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，‎ 由方程组，．‎ 得，‎ ‎∴， 解得．‎ 此时抛物线与射线CD唯一的公共点为，符合题意 综上：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 或 ≤h＜．[来源#:zzst*ep@.co^%m]‎ 第 17 页 共 18 页 已知关于m的一元二次方程=0.[来源:zz@%s~tep.^com*]‎ ‎(1) 判定方程根的情况；[来源:中国%*教育~^出@版网]‎ ‎(2) 设m为整数，方程的两个根都大于且小于，当方程的两个根均为有理数时，[w#ww.zz%s~@tep^.com]‎ 求m的值．‎ ‎【解析】(1) ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ 所以无论m取任何实数，方程=0都有两个不相等的实数根.‎ ‎(2) 设．[来源@:*zzstep.^c%om&]‎ ‎∵ 的两根都在和之间，[ww&^w.zzstep*#.co@m]‎ ‎∴ 当时，，即： ．‎ 当时，，即：．[www.#zzst&*e~p.c@om]‎ ‎∴ ．‎ ‎∵ 为整数， ∴ ．‎ ① 当时，方程，‎ 此时方程的根为无理数，不合题意．[来源:%中国教@*育#出版网&]‎ ②当时，方程，，不符合题意．[来~源*:中国教育出版^&@网]‎ ③当时，方程，符合题意．‎ 综合①②③可知，．‎ 第 17 页 共 18 页 题型二：函数思想 思路导航 ‎[来&~*源^:中教网@]‎ 抛物线的重要结论 当时，图象落在轴的上方，‎ 无论为任何实数，都有.‎ 当时，图象落在轴的下方，‎ 无论为任何实数，都有．‎ 当，时，则；当时，则.‎ 当，时，则；当时，则.‎ 当， 或时，则；当或时，则；当时，则.‎ 当，或时，则；当或时，则；当时，则.‎ 第 17 页 共 18 页 例题精讲 ‎【引例】1. 如图，函数的图象如图所示：‎ ‎⑴ 当 时， ；‎ ‎⑵ 当 时， ；[来源:中@国教^育~出版*网%]‎ ‎⑶ 当 时， ．‎ ‎2. 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，一次函数的图象与抛物线交于、两点．‎ ‎⑴ 二次函数的解析式为 ．[中&国教育出版@*~%网]‎ ‎⑵ 当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大．‎ ‎⑶ 当自变量 时，一次函数值大于二次函数值．‎ ‎⑷ 当自变量 时，两函数的函数值的积小于．‎ ‎1. ⑴ 或；‎ ‎⑵ 或；‎ ‎⑶ ．‎ ‎2. ⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ．‎ 典题精练 ‎⑴下列命题：①若，则；②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若，则二次函数 第 17 页 共 18 页 的图象与坐标轴的公共点的个数是或．④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根．正确的是（ ）‎ A．②④ B．①③ C．②③ D．③④‎ ‎⑵若、（）是关于的方程的两根，且，则、、、的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．[来源:中*国教育出^版网@~#]‎ ‎⑶方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实根所在的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎⑴ C．⑵ A．⑶ B．‎ 第⑵题提示：[来源:zzst%&ep#*.c~om]‎ ‎1．特殊值法．2．运用法则比大小．3．二次函数图象法．‎ 方法一：与轴的交点为，，把的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，此图象与轴的交点为，，由图象可得 方法二：分析函数 可知，当时，，当时，，与轴有两个交点，则图象可得 点评：本题是运用函数思想讨论方程问题，既直观又简捷．起到了简化解题过程和加快解题速度的作用．用函数图象来解决方程问题起到了以形助数的作用．在讨论一元二次方程的解的个数、解的分布情况等问题时借助函数图象可获得直观简捷的解答．‎ 第 17 页 共 18 页 已知：关于的方程①有两个实数根是、（），若关于的另一个方程②的两个实数根都在和之间．试比较：代数式、、之间的大小关系．‎ 方程①、②分别对应的函数为和，显然这两个函数的图象的对称轴都为，即其中一个图象可以通过上下平移得到另一个图象，示意图如图所示：‎ ‎∴，即．再因为方程②有根，则[中国~教%@育&出版网*]‎ ‎∴，∴‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【例6】 在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于点，其对称轴与轴交于点．‎ ‎（1）求点，的坐标；‎ ‎（2）设直线与直线关于该抛物线的对称轴对称，求直线 的解析式；‎ ‎（3）若该抛物线在这一段位于直线的上方，并且 在这一段位于直线的下方，求该抛物线的解析式．[来源:z&zstep*~@.^com]‎ ‎【解析】（1）当时，.‎ ‎∴‎ 抛物线对称轴为 第 17 页 共 18 页 ‎∴[中国*教育^#出&版网%]‎ ‎（2）易得点关于对称轴的对称点为[来@源:中教~#&网%]‎ 则直线经过、.‎ 没直线的解析式为 则，解得 ‎∴直线的解析式为[来源:中国*%教育#~@出版网]‎ ‎（3）∵抛物线对称轴为 抛物体在这一段与在这一段关于对称轴对称 结合图象可以观察到抛物线在这一段位于直线的上方 在这一段位于直线的下方；‎ ‎∴抛物线与直线的交点横坐标为；‎ 当时，‎ 则抛物线过点（-1，4）‎ 当时，，‎ ‎∴抛物线解析为.‎ 第 17 页 共 18 页 ‎【例题精讲】针对例2例题精讲 ‎【探究对象】二次函数中的“数形结合”.‎ ‎【探究方式】通过抓住直线同三角形、四边形相交→直线同抛物线相交→直线同圆相交等情形的深入变化，来促使题目难度和层次差异化，引导学生运用类比、联想、归纳等发散性思维，将问题的结论向横向、纵向拓展与深入，从而帮助学生发现函数中的数形结合题型的本质属性，以达到深入浅出、以点串线的学习目的.‎ ‎【探究1】若点是四边形边上的点，且P点坐标满足，试 求z的最小值.‎ 分析：很显然与函数平行，画出函数的图象，若直线 平行移动时，可以发现当直线经过点时符合题意，此时最小的值等于 ‎[w@ww.zzstep*.#%co&m]‎ ‎【探究2】设二次函数的图象与 轴交于两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象恰好有三个公共点时，求出的值.‎ 分析：设点C坐标为(0，3)，注意数形结合，观察图象可知符合题意 的直线共有三条：[来^#源:@中教&%网]‎ 分别是经过点A.C的直线l1：；‎ 经过点B.C的直线l2：；‎ 经过C点与抛物线相切的直线l3：.[中~国@%*教^育出版网]‎ 第 17 页 共 18 页 ‎[www.zz*~st%^ep.@com]‎ ‎【探究3】设抛物线与y轴的交点为A，过点A作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线 l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答：当直线与新图象只有一个公共点P(x0，y0)且时，求b的取值范围.[来源*:中^%国教#育出版网&]‎ 分析：点A的坐标为(0，)；数形结合可知，如图所示B点 为纵坐标最大时的点，最大值为7；‎ 则B点坐标为(6，7)；‎ 直线l1：经过B点时，可得；‎ 直线l2：经过A点时，可得；‎ 直线l3：与抛物线相切时，得；‎ 结合图象可知，符合题意的b的取值范围为 或 ‎【探究4】二次函数的图象与轴交于点(点在点的左侧)，将二次函数的图象在点间的部分(含点和点)向左平移个单位后得到的图象记为，同时将直线向上平移个单位. 请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，‎ 第 17 页 共 18 页 的取值范围.‎ 分析：向左平移后得到的图象G的解析式为，；‎ 此时平移后的解析式为；‎ 由图象可知，平移后的直线与图象G有公共点，则两个临界的交点为B’与C’；‎ 直线l1：经过B’点时，可得；‎ 直线l2：经过C’点时，可得；‎ 结合图象可知，符合题意的n的取值范围为.‎ ‎(本题需注意的是要排除平移后的直线与图象G相切的情况，可以联立方程组后，利用判别式等于0，解得n=0，与题意矛盾，故舍去)‎ ‎【探究5】二次函数与x轴有两个交点O、A，连接这两点间的线段，并以线段OA为直径在x轴上方作半圆P，设直线l的解析式为，若直线l与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围.‎ 分析：如图所示：‎ ‎①当直线l1经过原点O时与半圆P有两个交点，即b=0；‎ ‎②当直线l2与半圆P相切于B点时有一个交点，如图由题意可得Rt△BPC与Rt△COD都是等腰直角三角形，可得CP=，∴OD=OC=；‎ 第 17 页 共 18 页 直线l1：经过O点时，可得b=0；[来源:#*中教&网%~]‎ 直线l2：与圆相切时，可得；‎ 结合图象可知，符合题意的b的取值范围为 ‎【总结】解答二次函数中的数形结合的题目大概步骤：‎ ‎(1)要对一次函数、二次函数解析式的各项参数所代表的几何意义非常熟悉，根据给出的含参解析式尽最大可能确定出函数图像的大概位置，例如，知道了一次函数的k，就应该能够确定出直线的倾斜程度；[来源:z@z#step.~co^m*]‎ ‎(2)在平面直角坐标系中尽可能地精确地画出函数图像；[来@#源^%:中*教网]‎ ‎(3)明确导致函数图像不确定的关键因素；分析随着关键因素的变化，函数图象的变化趋势，例如：给定一条直线解析式为：，则影响该图像的关键因素就是常数项c，二次函数的图像随着c的变化在上下平移.‎ ‎[来@源:zzstep^.co&%m#]‎ ‎(4)根据函数图像的变化趋势，结合图形，分析满足题目要求的临界图形；‎ ‎(5)根据临界图形的函数解析式求出参数的取值范围。[中~国&^教育#出*版网]‎ 临界情形中经常出现直线与图形相切的情形，相切时解析式的求法：‎ ‎①求过一点与圆相切的直线解析式，需连接圆心和切点，利用相似、三角函数等几何知识求解；‎ ‎②求过一点与抛物线相切的直线解析式，需将两个函数解析式联立方程中，利用消元后产生的一元二次方程的判别式等于0来求解；[www.z^z%s~@tep#.com]‎ ‎③过一点(x0，y0)且与抛物线相切的直线的斜率k=2ax0+b，(涉及到高中求导的知识，不用细讲，可以直接提供公式给学生)‎ 第 17 页 共 18 页 复习巩固 题型一 方程思想 巩固练习[www&.z~z*s@tep.com#]‎ 二次函数的部分图象如图所示，根据图象解答下列问题：‎ ‎⑴写出为何值时，的值大于；‎ ‎⑵写出为何值时，随的增大而增大；[www#.zzs&^te*p.co%m]‎ ‎⑶若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．‎ ‎⑴ 当时，的值大于；‎ ‎⑵ 当时，随的增大而增大；‎ ‎⑶ 由图可知，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为．‎ 由抛物线的对称性可知抛物线与轴的另一个交点为．‎ ‎∴可列方程组为解得 ‎ ‎∴解析式为 ‎∵， ∴．[中国~@*#教育出&版网]‎ ‎∵方程有两个不相等的实数根，‎ ‎∴．‎ 即．‎ 解得．‎ 第 17 页 共 18 页 如图是二次函数的图象，其顶点坐标为．‎ ‎⑴ 求出图象与轴的交点，的坐标；‎ ‎⑵ 在二次函数的图象上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；[来~*源#:中国教育出版网&%]‎ ‎⑶ 将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围．[www&.zz~*st#ep.com@]‎ ‎⑴ 因为是二次函数的顶点坐标，‎ 所以 令，解之得．‎ ‎∴，两点的坐标分别为，‎ ‎⑵ 在二次函数的图象上存在点，使 设，则，又，‎ ‎∴，即 ‎∵二次函数的最小值为，∴．‎ 当时，或．‎ 故点坐标为或.‎ ‎⑶ 如图，当直线经过点时，可得 当直线经过点时，可得 由图可知符合题意的的取值范围为．‎ ‎[ww~w.zz%@s*tep.co&m]‎ 题型二 函数思想 巩固练习 第 17 页 共 18 页 ‎⑴不论为何值时，永远是正值的条件是（ ）‎ A．， B．， C．， D．，[来源:@~%*中国教育出版网#]‎ ‎⑵若抛物线位于轴上方，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎⑶二次函数对于的任何值都恒为负值的条件是（ ）‎ A．， B．，[中~国#教育出版网&^%]‎ C．， D．，‎ ‎⑴ A；⑵ B；⑶ D．‎ 已知关于的一元二次方程，如果，，那么方程的根的情况是（ ）‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．必有一个根为 A．‎ 方程的正根的个数为（     ）.‎ A. 3         B. 2        C. 1      D. 0[中国教育&出^*@版网#]‎ B.‎ 第 17 页 共 18 页