中考数学相似三角形及其应用复习

中考数学相似三角形及其应用复习

第四单元第25课时 相似三角形及其应用 知识点回顾：‎ 相似三角形及其应用是中学的一个重要内容，学好相似三角形不仅能使我们对图形相似有更深刻的认识，也能使我们以前学过的全等三角形的知识得以巩固和提高．在各种考试中，相似三角形及其应用都是重点考查的内容．它包括：了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过实例了解黄金分割；了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件和性质；能够利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）．‎ 知识点一：比例线段 ‎1．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于 ，那么这四条线段叫做成比例线段．‎ ‎2．若＝，则b叫做a、c的 ．‎ ‎3．比例的性质：(1)若＝ (b≠0，d≠0)‎ ‎(2)若＝ ．‎ ‎(3)若＝=……＝ （b＋d＋……＋m≠0），‎ 那么＝ ．‎ ‎4．若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，且使 是 ‎ 和 的比例中项，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做黄金分割点．‎ 图1‎ 例1：（2009山西太原）如图1是一种贝壳的俯视图，点分线段近似于黄金分割．已知=‎10cm，则的长约为 cm．（结果精确到‎0.1cm）‎ 解析：本题考查黄金分割的有关知识．‎ 由题意知，‎ ‎∴ ， 解得≈6.2，‎ 故填6.2.．‎ 同步检测一：‎ 图2‎ ‎1．（2009年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图2，某女士身高‎165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）‎ A．‎4cm B．‎6cm C．‎8cm D．‎‎10cm 图3‎ ‎2．（2009年衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（ ）‎ A．9.5 B．10.5‎ C．11 D．15.5‎ 知识点二：相似三角形的概念 ‎1．具有 的图形称为相似性．‎ ‎2．对应角 ，对应边 的三角形叫做相似三角形。‎ ‎3．如果△ABC和△A/B/C/相似，且，那么这个比值k就叫做这两个相似三角形的 ．‎ 图4‎ 例2：（2009年南宁）三角尺在灯泡的照射下在墙上形成影子（如图4所示）.现测得，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ．‎ 解析：考查平行线分线段成比例定理以及相似三角形的相关概念．‎ 由于三角尺和它在灯泡的照射下在墙上形成影子相似，所以三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比等于相似比．‎ 因为，所以对应边的比为．‎ 因此应填．‎ 同步检测二：‎ 图5‎ ‎1．（2009年娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图5所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA＝‎0.2米，OB＝‎40米，‎ AA′＝‎0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（ ）‎ A．‎3米 B．‎‎0.3米 图6‎ C．‎0.03米D．‎‎0.2米 ‎2． (2009年安顺)如图6，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：‎ ‎（1）DE＝1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1∶4．其中正确的有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 知识点三：相似三角形的条件 ‎1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 ．‎ ‎2． 对应相等，两三角形相似．‎ ‎3．两对应边 且 相等，两三角形相似．‎ ‎4．三边 ，两三角形相似．‎ ‎5．如果一个直角三角形的一条斜边和一条直角边与另一个直角三角形的一条斜边和一条直角边 ，那么这两个直角三角形相似．‎ 图7‎ 例3：（2008盐城）如图7，D、E两点分别在△ABC的边AB，AC上，DE与BC不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，△ADE∽△ACB．‎ 解析：考查相似三角形的判定方法，即满足怎样的条件时两个三角形相似，此类问题的答案不唯一，也是近年中考常见题型之一．‎ ‎ 比如：∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，AD∶AC＝AE∶AB．任选其一均可满足题目要求 同步检测三：‎ 图8‎ ‎1．（2009年滨州）如图8所示，给出下列条件：‎ ‎①；②；‎ ‎③； ④．‎ 其中单独能够判定的个数为（ ）‎ A．1 B．‎‎2 ‎‎ C．3 D．4‎ ‎2．（2009年新疆）如图9，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）‎ A.‎ 图9‎ 知识点四：相似三角形的性质 ‎1．相似三角形的 相等，对应边 ．‎ ‎2．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比 相似比．‎ ‎3．相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 ．‎ 图10‎ 例4：(2009年日照)将三角形纸片（△ABC）按如图10所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．‎ 解析：问题考查相似三角形的性质以及分类思想．‎ 设BF的长为x，‎ 当B/F平行于AB时，我们有＝，解得x＝．‎ 当B/F不平行于AB时，我们有＝，解得x＝2．‎ 所以BF的长为或2． ‎ 同步检测四：‎ ‎1．（2009年天津）在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为（ ）‎ A．8，3　　B．8，‎6　‎　C．4，3　　D．4，6‎ 图11‎ ‎2．(2009年牡丹江)如图，中，直线交于点交于点交于点若则 ．‎ 知识点五：相似三角形的应用 P O B N A M 图12‎ 例5：（2008年聊城）如图12，路灯（点）距地面‎8米，身高‎1.6米的小明从距路灯的底部（点 ）‎20米的A点，沿OA所在的直线行走‎14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？‎ 解析：考查相似三角形在解决生产、生活问题中的运用，解决问题的关键是寻找相关的相似三角形，建立起恰当的数学模型．‎ ‎∵ ∠MAC＝∠MOP＝90°，∠AMC＝∠OMP，‎ ‎∴ △MAC∽△MOP ∴ 即 ．‎ 解得MA＝5．‎ 同样由△NBD∽△NOP可求得NB＝1.5．‎ 所以，小明的身影变短了‎3.5米．‎ 同步检测五：‎ 图13‎ ‎1．（2009年甘肃白银）如图13，小东用长为‎3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距‎8m、与旗杆相距‎22m，则旗杆的高为（　　）‎ A．‎12m B．‎10m ‎ C．‎8m D．‎‎7m ‎2．（2008年金华）如图14是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝‎1.2米，BP＝‎1.8米，PD＝‎12米， 那么该古城墙的高度是（ ）‎ A B P D 图14‎ C C A．‎6米 B．‎8米 ‎ C．‎18米 D．‎‎24米 随堂检测：‎ ‎1．（2009年重庆綦江）若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）‎ A．1∶4 B．1∶‎2 ‎ C．2∶1 D．1∶‎ 图15‎ ‎2．(2009年牡丹江)如图15， 中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ）‎ ‎①②③‎ ‎④⑤‎ A．1　 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎3．（2009年重庆）已知与相似且面积比为4∶25，则与的相似比为 ． ‎ ‎4．（2008年咸宁）如图16，∠DAB＝∠CAE，请补充一个E 图16‎ D A C B 条件： ，使△ABC∽△ADE．‎ ‎5．（2009年烟台）如图17，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：‎ 图19‎ ‎①∠AFC＝∠C； ②DF＝CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD＝∠CAF．‎ 图17‎ 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．‎ 图18‎ ‎6．（2009年孝感）如图18，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ． ‎ 图20‎ ‎7．（2009年荆州）如图19，已知零件的外径为‎25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝‎10mm，则零件的厚度x＝ mm．‎ ‎8．（2009年郴州）如图20，在△ABC中，已知DE∥BC，‎ AD=4，DB=8，DE=3，‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求BC的长．‎ ‎9．（2009年甘肃庆阳）如图21，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．‎ 图21‎ ‎（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．‎ ‎10．(2009年陕西)小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：‎ 图21‎ 如示意图（图21），小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝‎1.2m，CE＝‎0.8m，CA＝‎30m（点A、E、C在同一直线上）．‎ 已知小明的身高EF是‎1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到‎0.1m）．‎ 参考答案 同步检测：‎ 知识点一：1．C 2．D 知识点二：1．B 2．D 知识点三：1．C 2．A 知识点四：1．A 2．‎ 知识点五：1．A 2．B 随堂检测：‎ ‎1．B 2．C 3．2∶5 4．∠B＝∠D或∠AED＝∠C或 ‎5．①，③，④ 6．①，③，④ 7．2.5‎ ‎8．解：（1）因为AD＝4，DB＝8，所以AB＝AD＋DB＝4＋8＝12，所以 ‎（2）因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以 ‎ 因为DE＝3，所以 ‎ 所以BC＝9‎ ‎9．证明：（1）∵ ， ∴ ‎ 又 ∠ACB=∠DCE=90°，∴ △ACB∽△DCE．‎ ‎（2）∵ △ACB∽△DCE，∴ ∠ABC＝∠DEC．‎ 又 ∠ABC＋∠A =90°，∴ ∠DEC＋∠A=90°．‎ ‎∴ ∠EFA=90°． ∴ EF⊥AB． ‎ ‎10．解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，（如答图1）‎ 答图1‎ 则EH＝AG＝CD＝1.2，‎ DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30．‎ ‎ ∵ EF∥AB， ∴ ．‎ 由题意，知：‎ FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5．‎ ‎∴ ，解之，得BG＝18.75．‎ ‎∴ AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95≈20.0．‎ ‎∴ 楼高AB约为‎20.0米．‎