解析几何的3个高考热点与例题分析

解析几何的3个高考热点与例题分析

圆锥曲线考点——例题 考点一 求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.‎ ‎●典例探究 ‎［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=‎14 m，CC′=‎18 m,BB′=‎22 m,塔高‎20 m.‎ ‎ 建立坐标系并写出该双曲线方程.‎ ‎［例2］过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.‎ ‎［例3］如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.‎ 考点二 直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.‎ ‎●典例探究 ‎［例1］如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.‎ ‎［例2］已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)‎ ‎(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.‎ ‎(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.‎ ‎［例3］如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F‎2A|、|F2B|、|F‎2C|成等差数列.‎ ‎(1)求该弦椭圆的方程；‎ ‎(2)求弦AC中点的横坐标；‎ ‎(3)设弦AC的垂直平分线的方程为 y=kx+m，求m的取值范围.‎ 考点三 圆锥曲线综合题 圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.‎ ‎●典例探究 ‎［例1］已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？‎ ‎［例2］如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||‎ ‎(1)求f(m)的解析式；‎ ‎(2)求f(m)的最值.‎ ‎［例3］舰A在舰B的正东‎6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距‎4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为‎1千米/秒，炮弹的速度是千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？‎ ‎［学法指导］怎样学好圆锥曲线 圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始.‎ 高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到：‎ ‎1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容.‎ ‎2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等.‎ ‎3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查.‎ ‎4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程.‎ ‎(1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量.‎ ‎(2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效.‎ ‎(3)掌握坐标法 坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练.‎ 圆锥曲线考点——例题解析 考点一 ‎【例题1】‎ 命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题。‎ 知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程。‎ 错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键。‎ 技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程。‎ 解：如图，建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.‎ 设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0),则a=AA′=7‎ 又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上，所以有 由题意，知y2－y1=20,由以上三式得：y1=－12,y2=8,b=7 故双曲线方程为=1.‎ ‎【例题2】‎ 命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强.‎ 知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.‎ 错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.‎ 技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理.‎ 解法一：由e=,得,从而a2=2b2,c=b.‎ 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.‎ 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0, 设AB中点为(x0,y0),则kAB=－,又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是－=‎ ‎－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1.‎ 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),‎ 由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.‎ ‎∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1.‎ 解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b.‎ 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),‎ 将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.‎ 直线l：y=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=‎ ‎－1.‎ 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.‎ ‎【例题3】‎ 命题意图：本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.‎ 知识依托：定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程.‎ 错解分析：利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出 ‎△P1OP2的面积是学生感到困难的.‎ 技巧与方法：利用点P在曲线上和△P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值.‎ 解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.‎ 设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)由e2=，得.‎ ‎∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x 设点P1(x1, x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),则由点P分所成的比λ==2,得P 点坐标为(),又点P在双曲线=1上，所以=1,‎ 即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=‎9a2,整理得8x1x2=‎9a2 ①‎ 即x1x2= ②‎ 由①、②得a2=4,b2=9‎ 故双曲线方程为=1.‎ ‎●思路方法 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.‎ 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.‎ 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).‎ 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.‎ 考点二 ‎【例题1】‎ 命题意图：直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”.‎ 知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想.‎ 错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件.‎ 技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.‎ 解：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.‎ 由方程组,消去y,得x2+(‎2m－4)x+m2=0 ①‎ ‎∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，‎ ‎∴方程①的判别式Δ=(‎2m－4)2－‎4m2‎=16(1－m)＞0,‎ 解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－‎2m，x1·x2=m2,‎ ‎∴|MN|=4.‎ 点A到直线l的距离为d=.‎ ‎∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1－m)(5+m)2‎ ‎=2(2－‎2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.‎ ‎∴S△≤8,当且仅当2－‎2m=5+m,即m=－1时取等号.‎ 故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.‎ ‎【例题2】‎ ‎ 命题意图：第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“差分法”.‎ 知识依托：二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式.‎ 错解分析：第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了.‎ 技巧与方法：涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.‎ 解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得 ‎(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 ‎ ‎(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点 ‎(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)‎ ‎①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.‎ ‎②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.‎ ‎③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.‎ 综上知：当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；‎ 当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；‎ 当k＞时，l与C没有交点.‎ ‎(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)‎ 又∵x1+x2=2,y1+y2=2‎ ‎∴2(x1－x2)=y1－y1‎ 即kAB==2‎ 但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.‎ ‎【例题3】‎ 命题意图：本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强.‎ 知识依托：椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.‎ 错解分析：第三问在表达出“k=y‎0”‎时，忽略了“k=0”时的情况，理不清题目中变量间的关系.‎ 技巧与方法：第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用y0的范围求m的范围.‎ 解：(1)由椭圆定义及条件知，‎2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.‎ 故椭圆方程为=1.‎ ‎(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F‎2A|=(－x1),|F‎2C|=(－x2)，‎ 由|F‎2A|、|F2B|、|F‎2C|成等差数列，得 (－x1)+(－x2)=2×,由此得出：x1+x2=8.‎ 设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0==4.‎ ‎(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.‎ 得 ‎ ‎①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,‎ 即9×=0(x1≠x2)将 (k≠0)代入上式，得9×4+25y0(－)=0‎ ‎(k≠0)‎ 即k=y0(当k=0时也成立).‎ 由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.‎ 由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得－＜y0＜,所以－＜m＜.‎ 解法二：因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为 y－y0=－(x－4)(k≠0)③‎ 将③代入椭圆方程=1,得 ‎(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0‎ 所以x1+x2==8,解得k=y0.(当k=0时也成立)‎ ‎(以下同解法一).‎ ‎●思路方法 ‎1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.‎ ‎2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.‎ 考点三 ‎【例题1】‎ ‎ 命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力.‎ 知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识.‎ 错解分析：在判断d与R的关系时，x0的范围是学生容易忽略的.‎ 技巧与方法：对第(2)问，需将目标转化为判断d=x0+与R=的大小.‎ 解：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,‎ 圆k的半径R=|AK|= ‎∴|MN|=2=‎2a(定值)‎ ‎∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化.‎ ‎(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，‎ 令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0‎ ‎∴y1y2=y02－a2‎ ‎∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项.‎ ‎∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=‎2a.‎ 又|MN|=|y1－y2|=‎‎2a ‎∴|y1|+|y2|=|y1－y2|‎ ‎∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0.‎ ‎∴0≤x0≤.‎ 圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,而圆k半径R=≥a.‎ 且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.‎ ‎【例题2】‎ 命题意图：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合.‎ 知识依托：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值.‎ 错解分析：在第(1)问中，要注意验证当2≤m≤5时，直线与椭圆恒有交点.‎ 技巧与方法：第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简.第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法.‎ 解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1‎ ‎∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0).‎ 故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.‎ ‎∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)‎ 考虑方程组,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)‎ 整理得：(‎2m－1)x2+2mx+‎2m－m2=0‎ Δ=‎4m2‎－4(‎2m－1)(‎2m－m2)=‎8m(m－1)2‎ ‎∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=.‎ 又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上 ‎∴|AB|=|xB－xA|==(xB－xA)·,|CD|=(xD－xC)‎ ‎∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(xA+xD)|‎ 又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0‎ ‎∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·=||·= (2≤m≤5)‎ 故f(m)=，m∈［2,5］.‎ ‎(2)由f(m)=，可知f(m)= ‎ 又2－≤2－≤2－ ‎∴f(m)∈［］‎ 故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5.‎ ‎【例题3】‎ 命题意图：考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力.‎ 知识依托：线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程.‎ 错解分析：答好本题，除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚.‎ 技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程.‎ 解：取AB所在直线为x轴，以AB 的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，2).‎ 由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为x－3y+7=0.‎ 又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线=1的右支上.‎ 直线与双曲线的交点为(8，5)，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10.‎ 据已知两点的斜率公式，得kPA=,所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.‎ 设发射炮弹的仰角是θ，初速度v0=，则,‎ ‎∴sin2θ=,∴仰角θ=30°.‎ ‎●思路方法 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.‎ ‎(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.‎ ‎(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.‎